ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB NĂM 2015 -Toán 10 trường chuyên Bắc Ninh

TRNG THPT CHUYấN BC NINH
T TON TIN
NGH LM CHN HSG
KHU VC DUYấN HI HBB 2015
Mụn: Toỏn 10
Cõu 1
Gii h phng trỡnh:
( )
2
8 2 8 4
3 8
2 7 1
2
xy y y x y
x
x y

+ =



+ =


Cõu 2
Cho ng trũn (O) v hai im phõn bit A, B c nh (AB khụng phi l ng
kớnh). im C bt kỡ trờn cung ln
ằ
AB
, v ng kớnh CE. Gi H l hỡnh chiu
ca C trờn AB. CF l phõn giỏc trong ca

ACB

. ng thng EF ct li (O) ti
im th hai l K.
a) Chng minh rng ng thng vuụng gúc vi HK ti K luụn i qua mt
im c nh khi C di ng trờn cung ln
ằ
AB
.
b) K dõy cung CD ca (O) sao cho CD||AB. Gi P l giao im ca CK vi
AB, Q l giao im th hai ca DH v (O). Chng minh rng PQ luụn i
qua im c nh khi C di ng trờn cung ln
ằ
AB
.
Cõu 3
Cho đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
+) P(x) không có nghiệm thực
+)
Ryx
yx
PyPxP

+

, );
2
()().(
2
(*)

Chứng minh rằng P(x) có nghiệm duy nhất
Cõu 4
Tỡm b s nguyờn dng cú tng l 2015 v cú tớch ln nht.
Cõu 5
in 29 s nguyờn dng u tiờn vo cỏc ụ vuụng con ca bng 6 x 5 nh sau
(bng 1 ):
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14
15 16 17 18 19
20 21 22 23 24
25 26 27 28 29
Cho phép đổi vị trí các số trong bảng theo quy tắc : Mỗi lần, lấy 1 số nằm ở ô kề
với ô trống rồi chuyển số đó sang ô trống. Hỏi nhờ việc thực hiện liên tiếp một số
hữu hạn lần phép chuyển số nói trên đối với bảng ban đầu, ta có thể nhận được
bảng số sau (bảng 2) không?
29 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14
15 16 17 18 19
20 21 22 23 24
25 26 27 28 1