ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB NĂM 2015 -Toán 10 trường Chu văn An Hà nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐBBB 2015
Môn: Toán – Lớp 10
Bài 1.(4 điểm) Giải hệ phương trình
Bài 2.(4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có D, E lần lượt là tiếp điểm của đường
tròn nội tiếp (I) với AB, AC và H, K lần lượt là hình chiếu của B lên AC và C lên
AB. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AHK là trực tâm của
tam giác ADE.
Bài 3.(4 điểm) Cho sốn guyên tố p và ba số nguyên dương x,y,z thỏa mãn
x<y<z<p. Chứng minh rằng nếu (mod p) thì chia hết cho x+y+z.
Bài 4.(4 điểm)Cho ba số thực dương a,b và c thỏa mãn
Chứng minh rằng
Bài 5.(4 điểm)Trong mặt phẳng cho 7 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm
nào thẳng hàng. Tất cả các điểm đó được nối với nhau bởi các đoạn thẳng. Mỗi
đoạn thẳng được tô bởi hai màu xanh, đỏ hoặc không được tô màu. Gọi k là số
nguyên dương thỏa mãn với mọi cách tô màu k đoạn thẳng bất kì trong các đoạn
thẳng đó, luôn tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu.
a) Hãy chỉ ra một cách tô màu không thỏa mãn đề bài với k=19.
b) Tìm tất cả các giá trị k thỏa mãn đề bài.

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐBBB 2015
Môn: Toán – Lớp 10
Bà Đápán Đi
i ểm
1
(4
điể
m)

Điềukiệnxácđịnh
và
Dễthấyhệkhôngcónghiệmdạng (x;0).
Phươngtrìnhthứnhấtcủahệtươngđươngvới
hay
1,0
Mặtkhác, từphươngtrìnhthứhaicủahệ ta có
suyra
bởithếmàphươngtrìnhđầucủahệtươngđươngvới x=y.
2,0
Thayvàophươngtrìnhthứhaicủahệ ta được
hay
Kếthợpvớiđiềukiệnxácđịnh ta cónghiệmcủahệphươngtrìnhlàvà.
1,0
2
(4
điể
m)
Gọi J, J’ lầnlượtlàtâmđườngtrònnộitiếpcủa tam giác AHK vàtrựctâm
tam giác ADE.
Ta sẽchứng minh rằng J và J’ trùngnhau. Thậtvậy,
Dễthấyrằng tam giác AHK đồngdạngvới tam giác ACBtheotỉsố
cos
HK
A
BC
=
và do J
làtâmđườngtrònnộitiếp tam giác AHK và I nên
cosAJ AI A=

.
2,0
Nếugọi R làbánkínhđườngtrònngoạitiếp tam giác ADE thì ta có
' 2 cosAJ R A
=
.
Hơnnữa ta thấyrằng tam giác ADE nộitiếpđườngtrònđườngkính AI nên
' cosAJ AI A=
.
Do
, 'J J
cùngnằmtrênphângiácgóc A vàcácđoạn
'AJ AJ
=
nên J và J’
trùngnhau.
2,0
3
(4
Tronglờigiảinày, tấtcảcácđồngdưthứcđềulà modulo p.
Từgiảthiết ta có , suy ra
1,0
điể
m)
(1)
Ta có y-x làsốnguyêndươngbéhơn p và p làsốnguyêntốnên y-x và p
lànguyêntốcùngnhau.
Do đótừ (1) ta được. (2)
Chứng minh tươngtự ta cũngcó
(3), và (4)

Từ (2) và (3) ta có suy ra
.
Do đóx+y+z chia hếtcho p, mà 0<x+y+z<3p, suyra
x+y+zbằng p hoặc 2p. (5)
1,0
Sửdụng (2) ta có, kếthợpvới ta được, thaytrởlại (2) ta có (6) 1,0
Từ (5) và (6) vớichú ý x+y+zvà cùng tính chẵnlẻ ta cóđiềuphảichứng
minh.
1,0
4
(4
điể
m)
Xéthaitrườnghợp
1/ Nếuabc=1
Tồntạicácsốthựcdươngx,yvà z saocho
1,0
Bấtđẳngthứccầnchứng minh trởthành
. (1)
Theo bấtđẳngthứcgiữatrungbìnhcộngvàtrungbìnhnhân ta có , chứng
minh tươngtự ta được
và
Cộngtheovếbabấtđẳngthứcnày ta được (1).
1,0
2/ Nếuabc<1
Đặt ta có 0<k<1 và
Theo trườnghợp 1/ ta có
suyra
mà ta lạicó, suy ra
Vậybấtđẳngthứcđượcchứng minh, dấuđẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi

a=b=c=1.
2,0
5
(4
điể
m)
Trướchết, ta cókếtquảquenthuộcsau : Cho 6
điểmphânbiệtsaochokhôngcóbađiểmnàothẳnghàng. Nếu ta
tômàutấtcảcácđoạnthẳngnốicácđiểmnàybởihaimàuxanhhoặcđỏthìluônt
ồntạimộttamgiáccócáccạnhcùngmàu.
Từgiảthiếtkhôngcóbốnđiểmnàođồngphẳng, ta suy ra
rằngkhôngcóbađiểmnàothẳnghàngvàhaiđoạnthẳngbấtkìchỉcắtnhautạiđầ
umútchung (nếucó) củachúng.
Gọi 7 điểmđãcholà
1 2 7
, , ,A A A
. Ta thấyvới 7 điểmnày, cótấtcả
2
7
21C =
đoạnthẳng.
Do đó :
21k ≤
.Nếutômàutấtcả 21 đoạnthẳngnàythìchỉcầnchọn ra 6
điểmtrongđócũngsẽthỏamãnđiềukiệntheokếtquả ở trên. Ta thửtìmgiátrị
k nhỏhơn.
2,0
Với k = 20, ta tômàu 20 đoạnvàkhôngtômàu 1 cạnh, giảsửlà
1 7
A A

, khi
đótấtcảcácđoạnthẳngtrongbộ 6 điểm
1 2 3 4 5 6
, , , , ,A A A A A A
(hoặc
2 3 4 5 6 7
, , , , ,A A A A A A
) đềuđượctômàu, lạitheokếtquảtrên,
điềukiệnđượcthỏamãn, tức là k = 20 vẫnthỏamãnđềbài.
1,0
Với k = 19, ta tômàu 19 đoạnvàkhôngtômàu 2 cạnh. Ta sẽchỉ ra
mộtcáchtômàubỏđihaiđoạnthẳngvàkhôngcóhaitamgiácnàođượctôcùng
màunhưtrênhìnhvẽ.
Nếuhaicạnh
1 7
A A
và
2 6
A A
khôngđượctômàuthìtrongcácđoạnxuấtpháttừ A
3
,
tôxanhbốnđoạnvàtôđỏ 2 đoạn ; vớicácđỉnhcònlạitôxanh 3 đoạn, tôđỏ 3
đoạn (hoặc 2 đoạnđốivớihaiđiểm A
6
, A
7
).
Do đó, k = 19 khôngthỏamãnđềbài.
Vậytấtcảcácgiátrịcầntìmlà

20, 21k k= =
.
1,0
7
6
5
4
3
2
1
A
A
A
A
A
A
A