ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB NĂM 2015 -Toán 10 trường Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN
VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ KHỐI 10-NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài 180 phút
TP ĐÀ NẴNG (Đề có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1. (4,0 điểm) Giải hệ phương trình
( ) ( )
( )
( )
( )
2
3
3
7 2 3 2 11 5 0
,
2 8 4
x x y y
x y
y y x x
ì
ï
- - + - - =
ï
ï
Î
í
ï
- + + =
ï
ï
î
¡

.
Câu 2. (4,0 điểm) Cho tam giác
ABC
nhọn nội tiếp đường tròn
( )
O
, hai đường cao
,BE CF
cắt nhau tại
H
. Gọi
M
là điểm trên cung nhỏ
BC
của
( )
,O
đường thẳng
MC

cắt đường thẳng
BE
tại L, đường thẳng
FC
cắt đường thẳng
BM
tại
K
. Chứng minh
rằng đường thẳng

EF
đi qua trung điểm đoạn
KL
.
Câu 3. (4,0 điểm) Cho
( )
3p p >
là số nguyên tố và
,m n
là các số nguyên thỏa mãn
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 3
3 3 3 3 3
.
1.2 2.3 3.4 1 2 2 1
k p
p p p p p
C C C C C
m
k k p p n
-
- - - - -
+ + + + + + =
+ + - -
Chứng minh
2m n-
chia hết cho
.p
(Với các số nguyên
0x y³ ³

, kí hiệu
y
x
C
để chỉ số các tổ hợp chập
y
của tập hợp gồm
x
phần tử).
Câu 4. (4,0 điểm) Cho
, ,a b c
là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức
( ) ( ) ( )
2 2 2
10
2
a b c abc
b c a c a b a b b c c a
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
+ + + ³
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
+ + + + + +
.
Câu 5. (4,0 điểm) Trong lớp học có 7 học sinh nam và 13 học sinh nữ. Trong 3 tháng,

mỗi học sinh nam đều đến chơi nhà mỗi học sinh nữ đúng 1 lần. Chứng minh rằng trong
1 tháng nào đó có 2 học sinh nam cùng đến chơi nhà 2 học sinh nữ.
HẾT
ĐÁP ÁN +BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10
Câu Ý Nội dung Điểm
1
Điều kiện
3; 5.x y£ £
Phương trình ban đầu biến đổi thành
( )
( )
( )
( )
( )
2 3 1 3 2 5 1 5 *x x y y- + - = - + -
Đặt
( ) ( )
2 1f t t t= +
với
0t ³
thì
( ) ( ) ( )
* : 3 5f x f y- = -
(1)
Nhận xét. Với mỗi số không âm
1 2
0 t t£ ¹
thì
( ) ( )
( )

2
2 2 1 1
2 1
2 1
1
2 1
0
t t t t
f t f t
t t
t t
+ + +
-
= >
-
+
Vậy
( )
f t
là hàm số đồng biến trên
[ )
0;+ ¥
. Do đó
( )
1 :3 5 2x y y x- = - = +Û
2,0
Thay vào phương trình còn lại được
( )
( )
( )

( ) ( )
( )
2
2 2
3
2
2 2
3
2 2 4 4
2 4 2 2 2 2 4 0
x x x x x
x x x x x x
+ + - + =
- + - + + + - + =Û
Đặt
3
2
2
2 4
x
t
x x
+
=
- +
phương trình trên thành
{ }
3 2 2
2 1 0 1 2 2 4 1;2t t t x x x x- - = = + = - +Û Þ ÞÎ
Vậy hệ có nghiệm

( ) ( )
1;3 ; 2;4 .
2,0
2 Kéo dài
EF
cắt
LK
tại
X
, tam giác
HLK
có 3 điểm thẳng hàng
, ,E F X
nên theo định lí Menelaus , ta có
( )
. . 1 . . *
XK EL FH XK EH FK EH FK
XL EH FK XL EL FH FH EL
= = =Û
1,0
Bốn điểm
, , ,A F H E
cùng thuộc một đường tròn đường kính
AH
nên
( )
cos
cos , cos 1
cos
FH B

FH AH B HE AH C
HE C
= = =Þ
1,0
cos
cos , cos
cos
BF B
EC BC C BF BC B
EC C
= = =Þ
Vì
·
·
ECL ABK=
nên hai tam giác
BFK
và
CEL
đồng dạng nên
( )
cos
2
cos
FK BF B
EL EC C
= =

1,5
Từ

( ) ( )
1 , 2
và
( )
*
có được
1
XK
XL
=
, điều phải chứng minh.
0,5
3
Đặt
( ) ( )
3
3
0
.
1 2
k
p
p
p
k
C
A
k k
-
-

=
=
+ +
å
Với mọi
0 3k p-£ £
ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
2 3 !
2. ! 2 2 1 3
3 !
1 2 1 ! mod .
k
p
k
p
k C p k p k p
p k
k k k p
-
-
= = - - - - -
- -
- + +º
1,5
Do đó

( ) ( ) ( ) ( )
3
2 1 2 1 mod
k
k
p
C k k p
-
- + +º
nên tồn tại số nguyên
k
a
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
3
2 1 1 2
2
1 , 0,1,2, , 3
1 2 1 2
k
k
p k
k
k
p
k
C pa k k

C
pa
k p
k k k k
-
-
= + - + +
= + - = -Þ
+ + + +
( ) ( )
3
0
2
2 1 1
1 2
p
k
p
k
m a pA
A p
n k k B
-
=
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= = + = +ị
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
+ +
ố ứ
ồ

( ) ( )
2 0 modm n B npA p- =ị
Trong ú
,A B
l cỏc s nguyờn v
( ) ( )
1 ! 1 modB p p= - -
nờn
( )
2 modm n p
.
2,5
4 Bin i bt ng thc nh sau
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2

2 2
3 3
2
3
10 2
2 10 2
2 5 0
a a b a c
abc a b
b c
a a bc
a a abc a b
b c
a a b a c
a abc a b
b c
+ +
+ +
+
ộ ự
+
ờ ỳ
- + + +
ờ ỳ
+
ờ ỳ
ở ỷ
- -
+ + - +
+

ồ
ế
ồ ồ
ế
ồ ồ
ế
1,5
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
3 2
2
2 0
2 0
2 2
0
a a b a c
a abc a b c
b c
a a b a c
a a b a c
b c
a b c
a a b a c
b c

- -
+ + - +
+
- -
+ - -
+
+ +
- -
+
ồ ồ
ồ ồ
ồ
1,5
Theo bt ng thc Schur thỡ bt ng thc cui ỳng nờn bt ng
thc ban u c chng minh.
1,0
5 Kớ hiu 7 hc sinh nam : B
1
, B
2
,, B
7
; 13 hc sinh n G
1
,G
2
,,G
13

Xột cỏc b gm (2 nam-1 n) m 2 bn nam ú cựng n chi nh

1 n trong cựng 1 thỏng.
C nh 1 bn n. Gi n
1
, n
2
, n
3
l s bn nam n thm bn n ú
trong thỏng th 1, thỏng th 2 v thỏng th 3, ta cú n
1
+n
2
+n
3
=7, suy
ra s b thu c l
2,0
( )
( )
( ) ( )
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
2
1 2 3 1 2 3
2
1 1
2 2
1 1
6 2

7 7 14
6 2 3
n n n
T C C C n n n n n n
n n n n n n
T
= + + = + + - + +
+ + - + +³
- =Þ ³
Vậy có không dưới 5 bộ ứng với bạn nữ đó.
Xét bảng
G
1
G
2
G
3
… G
13
B
1
-B
2
X
B
1
-B
3
X
…

B
6
-B
7
X
Ta sẽ đánh dấu x vào các ô của bảng nếu có hai bạn nam cùng đến
chơi nhà 1 bạn nữ trong cùng 1 tháng. Vậy mỗi cột có không dưới 5
dấu x. Suy ra có không ít hơn 5.13=65 dấu x trong bảng nên có một
hàng có không ít hơn
2
7
65
C
é ù
ê ú
ê ú
ë û
+1=4 dấu x. Vậy có một cặp B
i
-B
j
đến
chơi nhà 4 bạn nữ trong 3 tháng, suy ra có một cặp B
i
-B
j
đến chơi
nhà hai bạn nữ trong cùng 1 tháng.
2,0