đề thi HSG toán 9 cấp tỉnh bà rịa vũng tàu năm 2009

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009

Ngày thi: 04 tháng 3 năm 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1 (6 điểm)
1) Giải phương trình:
1 2 1 5x x− + − =
2) Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất:

2 2
5 2 2 4 2 3F x y xy x y= + − − + +
Bài 2 (4 điểm)
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số
abc
thỏa:
2
2
1
( 2)
abc n
cba n

= −


= −




( ; 2)n N n∈ >
Bài 3 (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC). Đường tròn đường kính
AH cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng:
3
. .EF EB BC CF=
.
Bài 4 (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và M là một điểm thay đổi trên nửa
đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường
tròn (O) tại các điểm C và D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và
BDM.
Bài 5 ( 3 điểm)
Cho 100 số tự nhiên
1 2 100
, , ,a a a
thỏa mãn điều kiện:

1 2 100
1 1 1
19
a a a
+ + + =
Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.
HẾT
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:
SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

TỈNH BÀ RỊA VŨNG – TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn này gồm có 02 trang)
Bài 1 (6 điểm)
Câu 1 (3 điểm):
Cách 1: Pt
2
1
1
3 2 2 ( 1)(2 1) 25
2 2 3 1 27 3
x
x
x x x
x x x
≥
≥


 
⇔ ⇔
 
− + − − =
− + = −




2 2 2

1 9 1 9
5
4(2 3 1) (27 3 ) 150 725 0
x x
x
x x x x x
≤ ≤ ≤ ≤
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
− + = − − + =
 
.
Cách 2: +/ Nếu x>5: VT =
1 2 1 5 1 2.5 1 5x x VP− + − > − + − = =
+/ Nếu
1 5x
≤ <
: Tương tự VT < VP.
+/ Khi x = 5 thì VT = VP, nên x = 5 là nghiệm của pt.
Câu 2 (3 điểm)
F =
2 2 2 2 2
( 2 ) (4 1 4 4 2 ) 2x y xy x y xy x y+ + + + + − − + +
=
2 2
( ) (2 1) 2x y x y+ + − − +
.
Ta thấy với mọi x, y thì
2F ≥

. Nên
min
1
0
3
2
2 1 0 1
3
x
x y
F
x y
y

=

+ =


= ⇔ ⇔
 
− − =


= −


.
Bài 2 (4 điểm)
Ta có:

2
100 10 1 (1)abc a b c n= + + = −


2
100 10 4 4 (2)cba c b a n n= + + = − +
Từ (1) và (2) ta có 99(a-c)=4n – 5
4 5 99 (3)n⇒ − M
Mặt khác:
2 2
100 1 999 101 1000 11 31n n n≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

39 4 5 119 (4)n⇔ ≤ − ≤
. Từ (3) và (4) suy ra n = 26.
Vậy
675abc =
.
Bài 3 (4 điểm)
Trong tam giác vuông ABC ta có: AB.AC = AH.BC và
2
.AH BH HC=
(1)
Trong tam giác vuông ABH ta có:
2
. (2)BH BE BA=
Trong tam giác vuông ACH ta có:
2
. (3)CH CF CA=
Từ (2) và (3) ta có:
( )

2
. . . . (4)BH CH BE BA CF CA=
Kết hợp (1) và (4) ta được:
4
. . .AH EB BC CF AH=
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên AH = EF nên suy ra
3
. .EF EB BC CF=
.
Bài 4 (3 điểm)
Ta có:
2
2
( ). .
2
2 2 2
ABDC
AC BD AB CD AB AB
S R
+
= = ≥ =
(1)
Kẻ MH vuông góc với AB thì:
2
1 1
. .
2 2
AMB
S AB MH MO AB R= ≤ =
(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
2 2 2
2
ACM BDM ABDC AMB
S S S S R R R+ = − ≥ − =
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM là
2
R
, đạt được khi
M là điểm chính giữa của cung AB.
Bài 5 (3 điểm)
Ta có kết qủa quen thuộc sau đây:
1 1 1
2 2
2 3
A n
n
= + + + < −
Thật vậy: Từ
( )
1 2 1
2 1
2 1
k k
k k k k
= < = − −
+ −
, suy ra:
2 ( 2 1) ( 3 2) ( 1) 2( 1) 2 2A n n n n
 

< − + − + + − − = − = −
 
(*)
Gỉa sử trong 100 số tự nhiện đã cho không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát,
giả sử:
1 2 100 1 2
1, 2, 100
n
a a a a a a< < < ⇒ ≥ ≥ ≥
Thế thì:
1 2 100
1 1 1 1 1 1

1 2 100a a a
+ + + ≤ + + +
2 100 1 19< − =
(áp dụng (*))
Kết qủa này trái với giả thiết. Vậy tồn tại bằng nhau trong 100 số đã cho.
LƯU Ý:
- Trên đây là hướng dẫn tóm tắt cách giải. Tổ chấm cần thống nhất thang điểm chi tiết
đến 0,25 hoặc 0,5.
- Các cách giải khác đúng (trong phạm vi chương trình THCS) vẫn cho điểm.