Bài toán hai vật trường xuyên tâm

BÀI TOÁN HAI VẬT-
TRƯỜNG XUYÊN TÂM
Giới thiệu:
Trong phần này ta xét chuyển
động của hai vật dưới lực tương
tác của chính hai vật đó. Bài
toán này có tầm quan trọng lớn
lao về mặt lý thuyết. Trong phần
này chúng ta sẽ nghiên cứu các
quy luật chuyển động của hai
vật, tìm phương trình chuyển
động của hai vật, Nghiên cứu
tác dụng của trường xuyên tâm
mà cụ thể là lực hấp dẫn.
Mục tiêu:
Giải bài toán hai vậtbằng cách
sử dụng hệ quy chiếu khối tâm và
chuyển động tương đối của hai
vật.
Sử dụng các định luật bảo toàn
trong việc giải các bài toán hai
vật và bài toán trường xuyên
tâm.
Xác định quỹ đạo chuyển động
của hạt trong trường xuyên tâm
cụ thể là trường hấp dẫn.

2


z

2
F

M
2

o
y
x
M
1

1
F

1
r

2
r

I. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HAI VẬT.
Xét hai vật M
1
và M
2
có khối lượng lần lượt là m
1
và m
2

chuyển động dưới tác dụng của cặp lực
trực đối
1
F
,
2
F
. Phương trình định luật II Newton viết cho hai vật là:
1 1 1
2 2 2
''
''
m r F
m r F


(1)
Cộng hai phương trình trên vế theo vế và lưu ý
21
0FF
. Ta có:
1 1 2 2 1 2
'' '' 0m r m r F F   
(2)
Gọi G là khối tâm của hai vật M
1
và M
2
, đặt
G

r
là
vecto hướng từ O đến G. Ta có:
1 2 1 2
()
G
m m r mr m r  
(3)
Lấy đạo hàm (3) theo t đến cấp hai và kết hợp với phương trình (2) ta suy ra:
'' 0
G
r 
(4)
Như vậy chuyển động của khối tâm hai vật là một chuyển động thẳng đều. Vị trí của tâm G tại
thời điểm t được xác định theo công thức:
( ) (0)
G G G
r t r v t
(5)
Từ hệ phương trình (1) ta có:
2 1 2 1 2
2 1 2 1
1 1 1 1
'' ''r r F F F
m m m m

    



Mà:
2 1 2 1
'' '' ''r r r r r r    
nên:
2
21
11
''rF
mm





Đặt
12
1 1 1
mm


ta thu được
2
''rF


(6)
Giải phương trình (6) ta được
()rt
mô tả chuyển động tương đối của M
2

đối với M
1
, kết hợp với
phương trình (5) ta thu được phương trình mô tả chuyển động của từng vật.
3


Ta có:
1 1 2 2
0m GM m GM
suy ra:
21
12
1 2 1 2
,
mm
GM r GM r
m m m m
  


Do đó vị trí của hai hạt tại thời điểm t là:
2
11
12
1
22
12
()
()

G
G
m
r OG GM r t r
mm
m
r OG GM r t r
mm
   

   

(7)
II. CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CHUYỂN ĐỘNG CỦA HAI VẬT
1. Bảo toàn động lượng
Hệ hai hạt được giả thiết là cô lập trong hệ quy chiếu nghiên cứu, tức không có ngoại lực tác
dụng, do đó động lượng được bảo toàn. Biểu thức (3) và (4) chứng tỏ điều đó.
2. Bảo toàn momen động lượng
Ta thấy rằng momen lực của
12
,FF
đối với khối tâm G bằng
0
. Do đó momen động lượng của
hai hạt đối với tâm G bảo toàn.
1 1 1 2 2 2
,,
G G G
L m GM v m GM v
   


   

12
,
GG
vv
là vận tốc tương đối của M
1
và M
2
đối với khối tâm. Tính
12
,GM GM
theo
r
ta có:
1 2 1 2
12
1 2 1 2
G G G
m m mm
L r v v
m m m m

   




 
21
=
GG
r v v r v

   
(8)
Momen động lượng là một vecto bất biến luôn vuông góc với
hai vecto vị trí khối tâm và vận tốc tương đối của hai hạt. Do
đó chuyển động của hai hạt luôn nằm trong mặt phẳng chứa
tâm G và vuông góc với vecto không đổi
G
L
.
Chuyển động tương đối của M
2
so với M
1
cho phép ta đơn
giản hóa như là chuyển động của một vật M với khối lượng μ
so với tâm G. Với :
GM r
,
21MG G G
v v v v  
.
z
z
L

y
x
2
F

M
θ
r
4


Chọn hệ quy chiếu tâm tỉ cự (G;
x
e
,
y
e
,
z
e
) như hình vẽ:
Biểu thức vận tốc trong hệ tọa độ cực là:
'' '
r
v r e r e




Do đó biểu thức của momen động lượng sẽ là:
 
2
'' ' '
z r z
L re r e r e r e

   
   
(9)
Sự bảo toàn vecto momen động lượng kéo theo định luật về diện tích hay còn gọi là định luật II
Kepler. Gọi dS là diện tích mà
r
quét trong thời gian dt. Ta có:
2
1
'
2 2 2
z
L
dS C
r
dt


  
(10)
C gọi là hằng số diện tích được xác định từ điều kiện ban đầu.
Lưu ý: chúng ta có thể thiết lặp các công thức trên bằng cách xét trực tiếp chuyển động tương đối
của M

2
đối với M
1
(bạn đọc tự thiết lặp).
3. Bảo toàn cơ năng
a. Động năng của cơ hệ đối với tâm G.
Ta đã thay thế chuyển động tương đối của hai hạt M
1
và M
2
bằng chuyển động của hạt M quanh
tâm G như vậy động năng của hệ đối với tâm G là:
2
1
2
K
Ev


(11)
Thật vậy, động năng của hai hạt đối với tâm G là:
22
1 1 2 2
11
22
K G G
E mv m v
, mà:
21
12

1 2 1 2
v ,
GG
mm
v v v
m m m m
  

. Từ đó suy ra:
   
22
2
11
''
22
K
E v r r
  

  

(12)
b. Thế năng tương tác giữa hai vật:
Các lực tương tác giữa hai vật sẽ phát sinh một thế năng
()
T
Er
sao cho:
1 21 2 12
( ) ( )

và
TT
dE r dE r
F e F e
dr dr
   

5


Như vậy năng lượng trong chuyển động là:
   
22
1
' ' ( )
2
T
E r r E r


  


Mà:
2
'Cr


nên biểu thức năng lượng viết lại là:
 

2
2
2
11
' ( )
22
T
C
E r E r
r


  
(13)
Năng lượng này được bảo toàn trong chuyển động.
c. Thế năng hiệu dụng
Thế năng hiệu dụng là hàm số của r được xác định bởi:
2
2
1
()
2
hd T
C
E E r
r


(14)
Còn cơ năng được viết gọn lại là:

 
2
1
'
2
hd
E r E


(15)
III. CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC XUYÊN TÂM
Trong phần trên ta đã tìm được một số phương trình quan trọng trong chuyển động của hạt ảo M
dưới tác dụng của lực xuyên tâm. Tiếp theo ta sẽ tìm phương trình tổng quát của hạt chuyển
động dưới tác dụng của lực xuyên tâm.
1. Giới hạn chuyển động của hạt dưới tác dụng của lực xuyên tâm.
Từ phương trình (15) ta suy ra:
2
2
hd
dr
EE
dt





(16)
Từ các điều kiện ban đầu đã cho ngăng lượng E được xác định. Khi đó chuyển động của hạt
được xác định bởi vecto vị trí

r
sao cho:
hd
EE
(17)
6


Các giá trị r cho
hd
EE
xác định các giới hạn chuyển động xuyên tâm của hạt. Rõ ràng khi
hd
EE
thì theo (16) ta có
dr
dt
=0, hàm số r(t) từ đồng biến sẽ thành nghịch biến hoặc ngược lại,
khi đó hạt sẽ quay ngược trở lại. Tuy nhiên ta không thể kết luận hạt sẽ đứng yên tại giới hạn đó
bởi vì thành phần vận tốc tiếp tuyến không bằng không tại giới hạn đó:
'0
C
vr
r


  
.

2. Phương trình tổng quát của hạt chuyển động trong trường xuyên tâm

Biểu thức (16) cho ta:
 
2
hd
dr
EE
dt

  
(18)
Dấu “+” hay “-“ tùy thuộc vào hạt chuyển động lại gần hay ra xa tâm lực. Từ (18) ta có thể tìm
được thời gian hạt chuyển động giữa hai điểm bất kỳ và tìm được phương trình quỹ đạo của hạt.
Thật vậy, tách biến phương trình (18) lấy tích phân hay vế ta được:
 
0
0
2
r
r
hd
dr
tt
EE

  


(19)
E
hd

E
1

E
2

r
min
(1)
r
min
(2)
r
O
Hình 3. Các trạng thái khuếch tán
Các hạt từ vô cùng chuyển động đến
r
min
(1) hay r
min
(2) tùy vào năng lượng của
chúng rồi quay trở lại vô cùng.
E
hd

r
E
1

E
2

O
r
min
r
min
r
max
r
max
Hình 4. Các trạng thái liên kết
Các hạt chuyển động giữa các điểm giới
hạn r
min và
r
max
.
7


Để tìm được phương trình quỹ đạo ta khử biến t nhờ hằng số diện tích:
 
2
2
hd
dr dr d C dr
EE
dt d dt r d


  
    

Suy ra:
 
0
2
0
2
r
r
hd
C
dr
r
EE


  


(20)
Dấu “+” hay “-“ trong (20) phụ thuộc vào chiều quay ban đầu của hạt. Bởi vì chiều quay của hạt
2
dC
dt r


có dấu không đổi nên tích phân trên chỉ lấy theo một dấu duy nhất là “+” hoặc “-“.

8


IV. BÀI TẬP
Bài 1: Chứng minh rằng chuyển động tương đối của hai hạt không phụ thuộc vào tác dụng của
trường trọng lực.
Bài 2: Hai hạt M
1
và M
2
có khối lượng lần lượt là m
1
và m
2
, có điện tích q
1
và q
2
trái dấu nhau,
được thả ra dồng thời không vận tốc đầu, ở khoảng cách r
0
giữa hai hạt. Xét trong hệ quy chiếu
phòng thí nghiệm được coi là hệ quy chiếu quán tính.
a) Tìm thời điểm t
0
hai hạt gặp nhau? Từ đó chứng tỏ rằng bình phương của thời gian đi hết
quãng đường tỷ lệ với lập phương quãng đường đi.
b) Tìm khoảng cách r
1

mà ta phải thả các hạt không vận tốc đầu để thời gian gặp nhau của
hai hạt là t
1
=8t
0
?
Bài 3: Dao động của một hệ
Hai vật M
1
và M
2
có khối lượng lần lượt là m
1
và m
2
được nối với nhau bằng một lò xo có độ
cứng k và chiều dài tự nhiên l. Các vật trượt không ma sát trên một trục nằm ngang. Tại thời
điểm t=0 vật m được truyền cho một vận tốc v. Hãy xác định:
a) Chuyển động của khối tâm của hệ.
b) Quy luật biến thiên chiều dài l(t) của lò xo.
Bài 4: Xét hệ cô lập gồm hai hạt khối lượng m
1
và m
2
tương tác với nhau theo quy luật của lực
hút r
-2
, hai v=hạt dịch chuyển sao cho khoảng cách giữa hai hạt không đổi và bằng r
0
. Gọi v

0
là
vận tốc ban đầu của khối tâm. Chọn hệ quy chiếu phòng thí nghiệm sao cho
0Gx
v v e
.
a) Chứng minh rằng vận tốc tương đối của hai hạt luôn vuông góc với vecto vị trí của hai
hạt.
b) Xét trong hệ quy chiếu khối tâm, tìm phương trình chuyển động của hạt 2 so với hạt 1
bằng cách dùng hạt ảo M.
c) Từ đó suy ra chuyển động của từng hạt trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm.
Bài 5: Trong hệ quy chiếu quán tính phòng thí nghiệm, xét hai hạt M
1
và M
2
có khối lượng m
1

và m
2
mang điênh tích cùng dấu q
1
và q
2
. Ở thời điểm ban đầu, hai hạt được buông ra ở khoảng
cách r giữa chúng. Bỏ qua tác dụng của trọng lực. Tính các vận tốc giới hạn của chúng
12
và vv

bằng hai cách:

a) Sử dụng bảo toàn năng lượng trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm.
b) Bằng cách khảo sát chuyển động của hạt ảo M trong hệ quy chiếu khối tâm. Nhận xét kết
quả của hai cách giải.
Bài 6: Một sợi dây không khối lượng dài l không dãn được luồn qua một lỗ nhỏ trên mặt bàn
nằm ngang, một phần được thả xuống và một phần nằm trên mặt bàn. Hai đầu của dây được nối
9


với hai vật khối lượng m
1
và m
2
. Vật m
1
nối với đầu thả tự do. Lúc t=0 người ta thả tự do m
1

không vận tốc đầu, đồng thời truyền cho m
2
một vận tốc v
0
vuông góc với r
0
(r
0
là vị trí ban đầu
của m
2
).
a) Với giá trị v

c
nào của v
0
thì m
1
đứng yên? Khi đó m
2
chuyển động như thế nào?
b) Tính thế năng hiệu dụng của hệ?
c) Biện luận chuyển động của m theo giá trị của vận tốc ban đầu v
0
.
Bài 7: Hai hạt M và M có khối lượng lần lượt lag m và m mang điện tích cùng dấu q và q. Điện
tích q chuyển động từ rất xa đến gần điện tích q đứng yên. Tìm khoảng cách gần nhất giữa hai
điện tích trong quá trình chuyển động.