Đề thi Cơ lý thuyết HK2 12-13 ĐH Sư phạm

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN MÔN CƠ LÝ THUYẾT
HỌC KÌ II – NH: 2012 – 2013
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
Câu 1 (3 điểm)
Chứng tỏ rằng khi chất điểm chuyển động trong trường lực thế thì tích phân đầu của
phương trình chuyển động chính là định luật bảo toàn cơ năng.
Câu 2 (4 điểm)
Cho một trụ tròn, nhỏ, đồng chất bán kính R, có khối lượng m, lăn không trượt theo mặt
trong của trụ tròn lớn có bán kính 4R đứng yên. Bỏ qua mọi ma sát. Chọn toạ độ suy rộng
là góc lệch α, góc hợp bởi đường nối tâm của hai trụ và phương thẳng đứng.
a. Hãy tìm hàm Lagrange của cơ hệ.
b. Cho biết lúc đầu trụ nhỏ được thả lăn không vận tốc đầu từ vị trí có góc α=θ
0
(góc
bé và dương), hãy tìm quy luật chuyển động của trụ nhỏ.
c. Hãy tìm thời gian ngắn nhất khi trụ nhỏ chuyển động từ vị trí có α=θ
0
/2 đến vị trí
thấp nhất của quỹ đạo.
Câu 3 (3 điểm)
Xét chất điểm khối lượng m chuyển động dưới tác dụng duy nhất của lực đẩy xuyên tâm
2
f m r
ω
= +
ur r
, trong đó ω
2
là hệ số tỷ lệ,
r
r

là bán kính vector của chất điểm.
a. Hãy chứng minh rằng chất điểm chuyển động trong một mặt phẳng cố định. Hãy
xác định mặt phẳng này.
b. Chọn mặt phẳng cố định trên là Oxy. Tìm quỹ đạo chất điểm với điều kiện ban
đầu:
(0)r ai=
r r
;
0
(0)v v j=
r r