Giải tích 12 chương 1

Chương 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1.1 Tính đơn điệu của hàm số
1.1.1 Định lí
Giả sử hàm y = f (x) có đạo hàm trên khoảng I.
• Nếu f

(x) >0, ∀x ∈ I (f (x) = 0 tại một số hữu hạn
điểm) thì f đồng biến trên I.
• Nếu f

(x) < 0, ∀x ∈ I (f (x) = 0 tại một số hữu hạn
điểm) thì f nghịch biến trên I.
• Nếu f

(x) =0, ∀x ∈I thì f là hàm hằng trên I.
1.1.2 Xét sự biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f (x), ta thực hiện
các bước như sau:
① Tìm tập xác định của hàm số.
② Tính y

. Tìm các điểm mà tại đó y

=0 hoặc y

không
tồn tại (gọi là các điểm tới hạn).
③ Lập bảng xét dấu y

(bảng biến thiên). Từ đó kết

luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
số.
1.1.3 Bài tập
1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) y =3x
2
−8x
3
b) y = x
3
−2x
2
+x −2
c) y =(4 −x)(x −1)
2
d) y = x
3
−3x
2
+4x −1
e) y =
1
3
x
3
+x
2
+x +1
f) y =
1

4
x
4
−2x
2
−1
g) y =−x
4
−2x
2
+3
h) y = x
4
+8x
3
+5
i) y =
2x −1
x +5
j) y =
x −1
2 −x
k) y =1 −
1
1 −x
l) y =
2x −1
x
2
m) y =

4x
2
−15x +9
3x
n) y =
2x
2
+x +26
x +2
o) y =−x +3 −
1
1 −x
p) y =
x
2
−1
x
2
−4
q) y =
x
2
−x +1
x
2
+x +1
r) y =
x
x
2

−3x +2
s) y =
1
(
x −5
)
2
2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) y =−6x
4
+8x
3
−3x
2
−1
b) y =9x
7
−7x
6
+
7
5
x
5
+12
c) y =

2x −x
2
d) y = x +3 +2


2 −x
e) y =

2x −1 −

3 −x
f) y = x

2 −x
2
g) y =

x
x +100
h) y =
x

16 −x
2
3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
a) y = x −sin x trong
[
0;2π
]
b) y =sin2x

−
π
2

< x <
π
2

c) y = x +2cos x, x ∈

π
6
;
5π
6

d) y =sin2x −x,

−
π
2
< x <
π
2

4. Chứng minh rằng:
1
© Nguyễn Hồng Điệp L
A
T
E
X
2015
12

a) y =
x −2
x +2
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của
nó
b) y =
−x
2
−2x +3
x +1
nghịch biến trên mỗi khoảng xác
định
c) y =−x +

x
2
+8 nghịch biến trên R
d) y = x
3
−6x
2
+17x +4 đồng biến trên R
e) y =

2x −x
2
nghịch biến trên
[
1;2
]

f) y =

x
2
−9 đồng biến trên
[
3;+∞
)
g) y = x +
4
x
nghịch biến trên
[
−2;0
)
và
(
0;2
]
h) y =
x
2
−2mx −1
x −m
đồng biến trên R
i) y =−sin x +4x đồng biến trên R.
j) y = x
3
+x −cos x −4 đồng biến trên R
k) y =cos

2
x −x nghịch biến trên R
l) y =cos2x −2x +3 nghịch biến trên R
m) y =3x −sin(3x +1) đồng biến trên R
n) y =−5x +cot(x −1) nghịch biến trên R
o) y =cos x −x nghịch biến trên R
p) y =sin x −cos x −2

2x nghịch biến trên R
5. Chứng minh rằng:
a) y =
x −2
x +2
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của
nó
b) y =
−x
2
−2x +3
x +1
nghịch biến trên mỗi khoảng xác
định
c) y =−x +

x
2
+8 nghịch biến trên R
d) y = x
3
−6x

2
+17x +4 đồng biến trên R
e) y = x
3
+x −cos x −4 đồng biến trên R
f) y =cos
2
x −x nghịch biến trên R
g) y =cos2x −2x +3 nghịch biến trên R
h) y =

2x −x
2
nghịch biến trên
[
1;2
]
i) y =

x
2
−9 đồng biến trên
[
3;+∞
)
j) y = x +
4
x
nghịch biến trên
[

−2;0
)
và
(
0;2
]
k) y =3x −sin(3x +1) đồng biến trên R
l) y =
x
2
−2mx −1
x −m
đồng biến trên R
m) y =−5x +cot(x −1) nghịch biến trên R
n) y =cos x −x nghịch biến trên R
o) y =sin x −cos x −2

2x nghịch biến trên R
6. Chứng minh rằng:
1) sin x < x, ∀x >0
2) sin x > x, ∀x <0
3) x −
x
3
6
<sin x, ∀x >0
4) x −
x
3
6

>sin x ∀x <0
5) sin x < x −
x
3
6
+
x
5
120
x >0
6) cos x >1 −
x
2
2
, ∀x =0
7) phương trình x
3
−3x + c = 0 không thể có hai
nghiệm thực trong đoạn
[
0,1
]
.
1.1.4 Điều kiện biến thiên của hàm số
① Hàm đa thức f (x) đồng biến trên D khi và chỉ khi
f

(x) 0, ∀x ∈D
② Hàm đa thức f (x) nghịch biến trên D khi và chỉ khi
f


(x) 0, ∀x ∈D
③ Hàm nhất biến f (x) =
ax +b
cx +d
đồng biến trên mỗi
khoảng xác định khi và chỉ khi
f

(x) >0, ∀x ∈D
④ Hàm nhất biến f (x) =
ax +b
cx +d
nghịch biến trên mỗi
khoảng xác định khi và chỉ khi
f

(x) <0, ∀x ∈D
⑤ Tam thức bậc hai f (x) = ax
2
+bx+c =0, (a =0)
• f (x) ≥0, ∀x ∈R ⇔

∆ ≤0
a >0
• f (x) ≤0, ∀x ∈R ⇔

∆ ≤0
a <0
1.1.5 Bài tập

1. Tìm các giá trị của tham số m để
a) y = x
3
−3mx
2
+(m −2)x −1 đồng biến trên R. Đs:
−
2
3
 m 1
b) y =−
x
3
3
+(m −2)x
2
+(m −8)x +1 nghịch biến trên
tập xác định. Đs: −1  m 4
c) y =
1
3
x
3
+mx
2
+(m−6)x−2m−1 đồng biến trên R.
d) y =−
x
3
3

+(m −2)x
2
+(m −8)x +1 nghịch biến trên
R
e) y =
m −1
3
x
3
+mx
2
+(3m −2)x +3 đồng biến trên
tập xác định. Đs: m 
1
2
2
© Nguyễn Hồng Điệp L
A
T
E
X
2015
12
f) y = mx
3
−(2m−1)x
2
+4m−1 đồng biến trên R. Đs:
m =
1

2
2. Tìm các giá trị của tham số m để
a) y =
mx +1
x −m
đồng biến trên từng khoảng xác định
của hàm số. Đs: m <−1 hoặc m >1
b) y =
2mx −m +10
x +m
nghịch biến trên từng khoảng
xác định của hàm số. Đs: −
5
2
< m <2
c) y =
mx +4
x +m
đồng biến trên từng khoảng xác
định.
d) y = x +2 +
m
x −1
đồng biến trên từng khoảng xác
định.
e) y =
mx −1
x +m
đồng biến trên từng khoảng xác
định. Đs: m ∈ R

1.2 Cực trị
1.2.1 Các qui tắc tìm cực trị
1.2.2 Bài tập
1. Tìm cực trị các hàm số sau
a) y =3x
2
−2x
3
b) y = x
3
−2x
2
+2x −1
c) y =−
1
3
x
3
+4x
2
−15x
d) y =
x
4
2
−x
2
+3
e) y = x
4

−4x
2
+5
f) y =−
x
4
2
+x
2
+
3
2
g) y =
−x
2
+3x +6
x +2
h) y =
3x
2
+4x +5
x +1
i) y =
x
2
−2x −15
x −3
j) y =(x −2)
3
(x +1)

4
k) y =
4x
2
+2x −1
2x
2
+x −3
l) y =
3x
2
+4x +4
x
2
+x +1
m) y = x

x
2
−4
n) y =

x
2
−2x +5
o) y = x +

2x −x
2
p) y = x +

1
x
2. Tìm cực trị các hàm số sau
a) y = x −4sin
2
x
b) y =sin2x
c) y =cos x −sin x
d) y =sin
2
x
e) y =sin
2
x −

3cos x trên
[
0,π
]
f) y =2sin x −cos2x trên
[
0,π
]
1.2.3 Điều kiện để hàm số có cực trị
• Hàm số có k cực trị ⇔ phương trình y

= 0 có k
nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm đó.
• Hàm bậc 3 y = ax
3

+ bx
2
+ cx + d có 2 cực trị (cực
đại và cực tiểu) ⇔ phương tr ình y

=0 có 2 nghiệm
phân biệt.
• Hàm số đạt cực trị tại x = x
0
thì y

(x
0
) =0. Sau đó ta
dùng dấu hiệu I hoặc dấu hiệu 2 thử lại xem đó là
cực đại hay cực tiểu.1
• Hàm số đạt cực tiểu tại x
0
điều kiện là

y

(x
0
) =0
y

(x
0
) >0

• Hàm số đạt cực đại tại x
0
điều kiện là

y

(x
0
) =0
y

(x
0
) <0
1.2.4 Bài tập
1. Tìm m để hàm số:
a) y = mx
3
+3x
2
+5x +2 đạt cực đại tại x =2
b) y = x
3
−mx
2
−mx −5 đạt cực tiểu tại x = 1. Đs:
m =1
c) y =−x
3
+mx

2
−4 đạt cực tiểu tại x =6
d) y = x
3
+(m +1)x
2
+(2m −1)x +1 đạt cực đại tại
x =−2. Đs: m =
7
2
e) y = x
3
−3mx
2
+(m −1)x +2 đạt cực trị tại x =2.
f) y =
x
2
+mx +1
x +m
đạt cực trị tại x =2.
2. Tìm m để hàm số:
a) y =(m +2)x
3
+3x
2
+mx −5 có cực đại, cực tiểu.
b) y = x
3
−3(m −1)x

2
+(2m
2
−3m +2)x −m(m −1) có
cực đại, cực tiểu.
c) y = x
3
−3mx
2
+(m
2
−1)x +2 đạt cực đại tại x =2.
d) y = x
3
−2mx
2
+1 có cực đại và cực tiểu. Đs: m =0
e) y =
m
3
x
3
−2x
2
+(3m+1)x−1 có cực đại và cực tiểu.
Đs: −
4
3
< m <1, m =0
f) y =

x
2
−mx +2
x −1
có cực đại và cực tiểu. Đs: m < 3
g) y = x
4
−mx
2
+2 có 3 cực trị. Đs: m >0
h) y =−mx
4
+2( m −2)x
2
+m−5 có một cực đại x =
1
2
.
3
© Nguyễn Hồng Điệp L
A
T
E
X
2015
12
i) y =
x
2
−2mx +2

x −m
đạt cực tiểu khi x =2.
j) y =
x
2
−(m +1)x −m
2
+4m −2
x −1
có cực đại, cực
tiểu.
k) y =
x
2
−x +m
x −1
có một giá trị cực đại bằng 0.
3. Tìm m để hàm số không có cực trị
a) y = x
3
−3x
2
+3mx +3m +4
b) y = mx
3
+3mx
2
−(m −1)x −1
c) y =
−x

2
+mx +5
x −3
d) y =
x
2
−(m +1)x −m
2
+4m −2
x −1
4. Tìm a, b, c, d để hàm số
a) y = ax
3
+bx
2
+cx+d đạt cực tiểu bằng 0 tại x =0
và đạt cực đại bằng
4
27
tại x =
1
3
b) y = ax
4
+bx
2
+c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và
đạt cực trị bằng –9 tại x =

3.

c) y =
x
2
+bx+c
x −1
đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.
d) y =
ax
2
+bx+ab
bx +a
đạt cực trị tại x =0 và x =4.
e) y =
ax
2
+2x +b
x
2
+1
đạt cực đại bằng 5 tại x =1.
f) y = ax
3
+bx
2
+cx+d đạt cực đại tại x =0, f
(
0
)
=0
và đạt cực đại tại x =1, f

(
0
)
=1
g) y = x
3
+ax
2
+bx +c đạt cực trị bằng 0 tại x = −2
và đồ thị hàm số đi qua điểm A
(
1,0
)
h) y = x
3
−mx
2
+

m −
2
3

x+5 có cực trị tại x =1. Khi
đó hàm số đạt cực tiểu hay cực đại? Tính cực trị
tương ứng.
i) y = x
3
+ a x
2

+ bx + c đạt cực tiểu tại điểm x =
1, f
(
1
)
= −3 và đồ thị của hàm số cắt trục tung
tại điểm có tung độ là 2.
1.3 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ
nhất của hàm số
1.3.1 Bài tập
1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
a) y =2x
3
+3x
2
−12x +1 trên [–1;5]
b) y =3x −x
3
trên [–2;3]
c) y = x
4
−2x
2
+3 trên [–3;2]
d) y = x
4
−2x
2
+5 trên [–2;2]
e) y =

3x −1
x −3
trên [0;2]
f) y =
x −1
x +1
trên [0;4]
g) y =
4x
2
+7x +7
x +2
trên [0;2]
h) y =
1 −x +x
2
1 +x −x
2
trên [0;1]
i) y =

100 −x
2
trên [–6;8]
j) y =

25 −x
2
trên
[

−4,4
]
k) y =


x
2
−3x +2


trên
[
−10,10
]
l) y = x −sin2x trên

−
π
2
,π

m) y =2sin x +sin2x trên

0,
3π
2

n) y =
1
sin x

trên

π
3
,
5π
6

2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau
a) y =
x
x +2
trên
(
−2,4
]
b) y = x +
1
x
trên
(
0,+∞
)
c) y = x −
1
x
trên
[
0,2
)

d) y = x
2
+
1
x
(x >0)
e) y =
x
4
+x
2
+1
x
3
+x
(x >0)
f) y =
1
cos x
trên

d f racπ2,
3π
2

g) y =
1
sin x
trên
(

0,π
)
3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau
a) y =2sin
2
x +2 sin x −1
b) y =2sin
2
x −cos x +1
c) y =cos2x −2 sin x −1
d) y =cos
2
2x −sin x cos x +4
e) y =sin
4
x +cos
2
x +2
f) y =cos
3
x −6cos
2
x +9 cos x +5
g) y =sin
3
x −cos 2x +sin x +2
h) y =
2sin x −1
sin x +2
i) y =

1
cos
2
x +cos x +1
j) y =sin
4
x +cos
4
x
k) y =sin
3
x +cos
3
x
l) y =
2cos
2
x +
|
cos x
|
+1
|
cos x
|
+1
m) y =
x
2
−1

x
4
−x
2
+1
n) y =4

x
2
−2x +5+x
2
−2x +3
o) y =−x
2
+4x +

x
2
−4x +3
4