Đề bài khảo sát HSG môn Toán lớp 9 thcs yên lạc

Trng THCS Yờn lc
Nm hc 2008-2009
K thi kho sỏt i tuyn Hc sinh gii
bi kho sỏt mụn Toỏn
Lp IX
Thi gian lm bi 150 phỳt
Ngy thi 26 thỏng 2 nm 2009
bi:
Câu 1: a) Có thể hay không số
{
{
11 1211 1
n n
sẽ là số nguyên tố ?
b) Tồn tại 4 số nguyên x, y, u, v thoả mãn các đẳng thức:
2
2
ux vy
vx uy
=


+ =

Tìmtất cả bốn số nh thế?
Câu 2. a) Giải phơng trình:
1 1x y y x xy + =
b) Giải hệ phơng trình:
2
1 1
2 1 0

x y
y x
x y

=

+ +


+ + =

Câu 3. a) Cho ba s dng x, y v z tha món
2 2 2
3x y z+ + =
.
Chng minh rng:
1 1 1 3
1 1 1 2xy yz zx
+ +
+ + +
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3
16x y
xy
y x
+
Câu 4. a) Trong tam giác đều ABC, bên trong góc BAC lấy điểm M sao cho góc

CMA = 30
0

,

BMA = 45
0
. Tính góc ABM.
b) Cho hình thang ABCD có AB = BC = CD. Đờng chéo hình thang cắt nhau tại
O. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABO, cắt cạnh AD tại E.
Chứng minh BEDC là hình thoi.

Trng THCS Yờn lc
Nm hc 2008-2009
K thi kho sỏt i tuyn Hc sinh gii
ỏp ỏn kho sỏt mụn Toỏn
Lp IX
Thi gian lm bi 150 phỳt
Ngy thi 26 thỏng 2 nm 2009
THCS Yenlac/ thayNguyen Xuan Tranh/ 0809.
1
Cõu Hng dn Biu
im
1a
Giải: Biến đổi
{
{ {
{
{ {
{
1 1 1 1
11 1211 1 11 100 0 11 1 11 1 100 01
n n n n n n n+ + +

= + = ì
Vậy số đó không phải là số nguyên tố.
1
1b
áp dung hằng đẳng thức:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
u v x y ux vy vx uy+ + = + +
Theo điều kiện của đề bài ta có:
( ) ( )
2 2 2 2
8u v x y+ + =
(*)
Một trong các nhân tử là 1 hay là 8;
Hoặc một nhân tử là 2 hoc là 4
Ngoài ra các số còn có thể là 0.
Nếu
0u
=
thì (*) suy ra:
2
2 2
4
1
v
x y

=

= =


hay
2
2 2
1
4
v
x y

=


= =


Theo điều kiện của đề bài ta có :
2
2
vy
vx
=


=

Vậy ta có nghiệm ( x, y, u, v)= (1 1,0,2);(-1, 1, 0, -2); ( 2,-2,0,1);

( -2,2, 0, -1).
Trờng hợp
0v =
ta có nghiệm: ( 1,1,2,0);(-1,-1,-2,0);( 2,2,1,0);
( -2,-2,-1,0)
Và có thêm 8 nghiệm nữa nêu thay u và x với v và y.
Nh vậy ta có 16 nghiệm.
1,5
2a
Rõ ràng
1; 1x y
. Ta có
1
2
x
x
và
1
2
y
y
nên
1 1x y y x xy +
Đẳng thức xảy ra :
1
2
x
x =
và
1

2
x
x =
Nghiệm của phơng trình là: x = y = 2.
1
2b
Biến đổi phơng trình đã cho về dạng:
( ) ( )
1 1x x y y+ = +
biến đổi tiếp ta
nhận đợc
( ) ( )
1 0x y x y + + =
. Từ đó ta có
x y=
hay
1x y=
.
Trờng hợp thứ nhất
x y=
thì hệ phơng trình không có nghiệm.
Trờng hợp thứ hai
1x y=
ta có phơng trình
2
4 2 0x y+ + =
.
Nghiệm của hệ là:
( )
1 2, 2 2 +

;
( )
1 2, 2 2+ +
1
3a
Đầu tiên ta chứng minh bất đẳng thức:
2 2
2
x y
xy
+

sau đó áp dụng bất
đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có:
1,5
THCS Yenlac/ thayNguyen Xuan Tranh/ 0809.
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 2 2
9 3
2
1 1 1
2 2 2
x y y z z x
xy yz zx
x y y z z x

+ + + +
+ + +
+ + +
+ + +
=
+ + +
+ + + + +
3b
Ta đặt
3 3
16
( , )
x y
F x y xy
y x
= +
Với
0xy >
thì
3
16
0
x
a
y
= >
và
3
0
y

b
x
= >
. Theo bất đẳng thức
2a b ab+
dấu đẳng thức xảy ra khi a = b, ta nhận đợc
2 2
( , ) 2 16F x y x y xy=
.
Đặt
xy t=
khi đó
2
( , ) 8F x y t t
.
Hàm số này có giá trị nhỏ nhất là
1
32

khi
1
16
t =
Dấu đẳng thức xảy ra khi y = 2x.
1,5
4a
Xác định điểm M nằm trên đuờng tròn tâm B bán kính AB. Góc ABM
bằng 45 độ.
1
4b

Theo tính chất của hình thang cân BC = CD,
nên

BDC=

DBC=

BCA=

CAD, ngoài ra

CAD =

DBE,
hay

BDC=

DBE suy ra BE// CD suy ra BEDC là hình bình hành,
suy ra BEDC là hình thoi.
1,5
Hc sinh cú th gii quyt cỏc bi toỏn bng cỏc cỏch khỏc nhau. Cho im nh
bc ca thang im.
Trờng THCS Yên lạc
THCS Yenlac/ thayNguyen Xuan Tranh/ 0809.
3