Đề thi tuyển chọn HSG môn toán lớp 9(có đáp án)

ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI
BẬC THCS. NĂM HỌC 2006 -2007
MÔN THI: Toán
LỚP: 9
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề )
Câu 1:(4 điểm). Giải hệ phương trình:
x
2
- 4y = 1
y
2
- 6x= -14
Câu 2:(4 điểm). Toạ độ đỉnh của tam giác ABC là: A(2;2), B(-2;-8), C(-6;-
2)
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Câu 3:(3 điểm). Cho phương trình: 2x
2
+ (2m - 1) + m - 1
a) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1,
x
2
thoả mãn 3x
1
-
4x
2
= 11
b) Chứng minh rằng phương trình không có hai nghiệm số dương.
Câu 4:(2 điểm). Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
3x + 2y = 3

Câu 5:(7 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB, vẻ một sợi dây AC
bất kì.
Trên tia AC lấy điểm D sao cho: AD = 2AC.
a) Xác định vị trí của điểm C để BD là tiếp tuyến của đường tròn
tâm O.
b) Tìm tập hợp tất cả các điểm D khi C di chuyển trên đường tròn
tâm O.
Hết./.
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN - LỚP: 9
KÌ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS
NĂM HỌC: 2006 - 2007
Câu Nội dung – Yêu cầu Điểm
1
(4đ)
x
2
- 4y = 1 (1)
y
2
- 6x= -14 (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:
x
2
+ y
2
- 6x - 4y = - 13
1,0
<=> x
2
- 6x + 9 + y

2
-4y + 4 = 0
<=> (x - 3)
2
+ (y - 2)
2
= 0
2,0

x - 3 = 0 x = 3
y - 2 = 0 y = 2
Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất: x = 3
y = 2
1,0
2
(4đ)
-PT đường thẳng qua hai điểm là: y = ax + b
0,25
-Đường thẳng qua A(2;2), B(-2;-8) nên:
2 = 2a + b => a =2,5 ; b = 1
-2 = -2a + b Vậy Y
AB
= 2,5x -3
0,75
-Đường thẳng qua A(2;2), C(-6;-2) nên:
2 = 2a + b => a =0,5 ; b = 1
-2 = -6a + b Vậy Y
AC
= 0,5x + 1
0,75

-Đường trung tuyến BM: Gọi M là trung điểm của AC thì toạ độ
M(-2;0) vậy PT trung tuyến BM là: x = -2
-Gọi N là trung điểm của AB thì toạ độ của N (0;-3)
0,75
-Vậy PT đường trung tuyến CN là: y = -1/6x-3
0,5
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là toạ độ giao điểm của CN
và BM, tức là nghiệm của hệ
3
6
1
−−=
xy
Giải hệ ta có: x =
-2
x = -2 y =
-3/8

Vậy toạ độ trọng tâm G(-2; -8/3)
0,75
3
(3đ)
Ta có
∆
= (2m - 1)
2
- 4.2(m-1) = 4m
2
- 12m + 9 = (2m - 3)
2

0
≥
với
mọi giá trị của m. Vậy PT đã cho luôn luôn có nghiệm
1,0
Theo định lí Viét ta có: x
1
- x
2
=
2
21 m
−
(1) và x
1
x
2
=
2
1
−
m
(2)
Muốn có 3x
1
- 4x
2
= 11 (3)
Giải hệ PT (1) và (3) ta được x
1

=
7
413 m
−
và x
2
=
14
619 m
−−
1,0
Thế vào PT (2) ta được 8m
2
- 17m - 66 = 0
Giải PT này ta được: m
1
= -2; m
2

= 33/8
Để hai nghiệm của PT đều là số dương thì phải có:
x
1
+ x
2
> 0
0
2
21
>

−
m
m < 1/2
<=> <=>
x
1
x
2
> 0
0
2
1
>
−
m
m > 1
Hệ bất PT vô nghiệm. Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn
điều kiện của đề bài.
1,0
4
(2đ)
3x + 2y = 3 <=> y =
2
1
22
2
33
−
+−=
−

x
x
x
1,0
Đặt
tt
t
x
(
2
1
=
=
−
nguyên) =>x=2t+1 và y=2-2(2t+1)+t
Y = -3t
0,75
Vậy ngiệm nguyên của Pt là: x= 2t + 1
Y= - 3t t
∈
Z
0,25
5
(7đ)
a)
b)
D
A
D’
0,5

∆
ABD có BC
⊥
AD (Góc ACB = 1v góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn
0,5
Mặt khác C là trung điểm của AD (vì D nằm trên tia AC và AD =
2AC)
Nên BC là trung tuyến của
∆
ABD . Vậy
∆
ABD là tam giác cân
Nên
DA
∠=∠
1,0
Muốn BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O thì
∠
ABD = 90
o
=>
∠
A=45
o
. Góc A là góc nội tiếp chắn cung BC, vậy số đo của cung BC=
90
o
.
Vậy điểm C là trung điểm của cung AB

1,0
Thuận: Theo CM trên
∆
ABD là tam giác cân nên BD = AB, mà
AB không đổi. Khi C di chuyển trên đường tròn tâm o, D
luôn cách B một khoản cố định một khoảng không đổi.
Vậy D nằm trên đường tròn tâm B bán kính AB.
2,0
Đảo: Lấy một điểm D’ nằm bất kì trên đường tròn tâm B bán kính
AB. Nối D’ với A, B thì
∆
ABD’ là tam giác cân vì
AB=AD’(bán kính đường tròn tâm B bán kính AB), AD
Cắt đường tròn tâm O tại C’, ta có BC
⊥
AD’ nên C’ là
trung điểm của đoạn thẳng AD’ hay AD’ = 2AC’.
1,75
Kết luận: Tập hợp các điểm D là đường tròn tâm B bán kính AB.
0,25