Đề thi thử đại học môn Toán năm 2015 (1)

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!
!Cho!hàm!số!

y x − m x m x −
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với!

m =1
.!!
2. !Gọi!A!là!giao!điểm!của!(1)!với!Oy.!Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!A!và!cách!điểm!
B(1;2)!một!khoảng!bằng!

2
.!
a) Giải!hệ!phương!trình!

x
y =
y
xy
x − y = xy −
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪

.!!
b) Tìm!

m >
!để!giá!trị!lớn!nhất!của!hàm!số!

=
+
+
!trên!đoạn![0;2]!bằng!4.!
!Gọi!S!là!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!các!đường!

y =
1
e
x
3
+ 2
; y = 0;x = 0;x = 3ln2
.!
Tính!thể!tích!khối!tròn!xoay!sinh!ra!khi!quay!S!quanh!trục!hoành.!
!!
a) Trong!các!số!phức!z!thoả!mãn!

1
.!Tìm!số!phức!z!để!

z z
đạt!giá!trị!lớn!nhất.!!!
b) Cho!tập!A!gồm!n!phần!tử!phân!biệt!trong!đó!có!phần!tử!x.!Gọi!S!là!tập!hợp!các!tập!con!của!

A.!Tính!số!phần!tử!của!S,!lấy!ra!ngẫu!nhiên!một!phần!tử!từ!S!tính!xác!suất!để!phần!tử!đó!có!
chứa!x.!
!Cho!hình!chóp!S.ABC!có!

,
!
120
0
.!Gọi!I!là!trung!điểm!cạnh!
AB,!hình! chiếu!vuông!góc! của!S!trên! mặt!phẳng!(ABC)! là!trung!điểm!của!đoạn!CI;!góc!giữa!SA!
và! mặt! đáy! bằng!

60
0
!.! Tính! thể! tích! khối! chóp! S.ABC! và! khoảng! cách! từ! điểm! A! đến! mặt!
phẳng!(SBC).!
Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;w2;3),!B(w5;10;w1)!
và!mặt!phẳng!

P x + y + z − =
.!Chứng!minh!A,B!nằm!khác!phía!với!mặt!phẳng!(P).!Tìm!
toạ!độ!điểm!M!thuộc!(P)!sao!cho!

MA MB 4 14
.!!!!
!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!

B
21
5

;
3
5
.!Phương!
trình!tiếp!tuyến!tại!A!của!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!là!

x + 2y −7 = 0
.!Đường!phân!
giác!ngoài!của!góc!A!cắt!BC!kéo!dài!tại!điểm!E(9;3).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,C!biết!A!có!tung!độ!
dương.!!!!
Giải!bất!phương!trình!

(x 3+ 2 x )
3
+ 2 x + 2x 1
3
+ 3x 4
.!
!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!thoả!mãn!

x + y + z =
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!
thức!

P = 3
cos x
+ 3
cos y
+ 3
cos z

− 3.max cos x , cos y , cos z
{ }
.!
!
!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!
PHÂN TÍCH – BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN
!Cho!hàm!số!

y x − m x m x −
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với!

m =1
.!!
2. !Gọi!A!là!giao!điểm!của!(1)!với!Oy.!Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!A!và!cách!điểm!
B(1;2)!một!khoảng!bằng!

2
.!
1. Học!sinh!tự!làm.!
2. Ta!có!

A(0;−1)
.!Tiếp!tuyến!của!(1)!tại!A!có!dạng:!

d : y = (2m +1)x − 1
.!
Theo!giả!thiết!ta!có:!

!

d (B;d ) =
(2m +1).1−1− 2
(2m +1)
2
+ (−1)
2
= 2 ⇔ 2(m −1) = 2(4m
2
+ 4m + 2)
⇔ 4(m −1)
2
= 2(4m
2
+ 4m + 2) ⇔ 4m
2
+16m = 0 ⇔
m = 0
m = −4
⎡
⎣
⎢
⎢
.!!
Vậy!

m = −4;m = 0
là!giá!trị!cần!tìm.!!!
a) Giải!hệ!phương!trình!

x
y =
y
xy
x − y = xy −
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!!
b) Tìm!

m >
!để!giá!trị!lớn!nhất!của!hàm!số!

=
+
+
!trên!đoạn![0;2]!bằng!4.!
a)!Điều!kiện:!

0 < x, y ≠1
.!
Phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!tương!đương!với:!

log
x
y =
1
2
log
y
x +1
( )
⇔ 2log
x
y = log
y
x +1
⇔ 2log
x
2
y − log
x
y −1 = 0 ⇔
log
x
y =1
log
x
y = −
1
2
⎡

⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = y
x =
1
y
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.
+)!Nếu!

x = y
thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:!

(x
2
−1)
2
= 0 ⇔ x = ±1(l )
.!
+)!Nếu!

x =
1
y
2
thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:!


1
y
2
− y = 3
1
y
−1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
⇔1− y
3

= 3( y−1)
2
⇔ y
3
+ 3y
2
−6y + 2 = 0 ⇔
y = 1(l )
y = −2+ 6(t / m)
y = −2− 6(l)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
→ (x; y) =
5−2 6
2
;−2+ 6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) =
5−2 6
2
;−2+ 6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
.
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!
b) Ta có:

y ' =
2 x
2
+1 −
x(2x + m)
x
2
+1
x
2
+1
=
2− mx
(x
2
+1)
3
; y' = 0 ⇔ x =
2
m
∈ 0;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.
Ta!có!

y(0) = m; y
2
m
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= m
2
+ 4; y(2) =
m + 4
5
⇒ y
max
= y
2
m
⎛
⎝
⎜
⎜

⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= m
2
+ 4
.!
Vậy!yêu!cầu!bài!toán!tương!đương!với:!

m
2
+ 4 = 4 ⇔ m
2
+ 4 = 16 ⇒ m = 2 3
.!
Vậy!giá!trị!cần!tìm!của!tham!số!là!

m = 2 3
.!!!!!
!Gọi!S!là!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!các!đường!

y =
1
e
x

3
+ 2
; y = 0;x = 0;x = 3ln2
.!
Tính!thể!tích!khối!tròn!xoay!sinh!ra!khi!quay!S!quanh!trục!hoành.!
Ta!có:!

V = π
dx
( e
x
3
+ 2)
2
0
3ln 2
∫
.!Đặt!

t = e
x
3
⇒ t
3
= e
x
⇒ e
x
dx = 3t
2

dt ⇒ dx =
3dt
t
.!
Vì!vậy!!

V = π
3dt
t(t + 2)
2
1
2
∫
=
3π
4
1
t
−
1
t + 2
−
2
(t + 2)
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜

⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
dt
1
2
∫
=
3π
4
ln
t
t + 2
+
2
t + 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟

⎟
⎟
⎟
2
1
=
3π
4
ln
3
2
−
2
12
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!
!!
a) Trong!các!số!phức!z!thoả!mãn!

1
.!Tìm!số!phức!z!để!

z z
đạt!giá!trị!lớn!nhất.!!!
b) Cho!tập!A!gồm!n!phần!tử!phân!biệt!trong!đó!có!phần!tử!x.!Gọi!S!là!tập!hợp!các!tập!con!của!
A.!Tính!số!phần!tử!của!S,!lấy!ra!ngẫu!nhiên!một!phần!tử!từ!S!tính!xác!suất!để!phần!tử!đó!có!
chứa!x.!
a) Giả!sử!

z = x + yi(x, y ∈ !)
.!
Vì!

z = 1 ⇔ x
2
+ y
2
= 1 ⇔ x
2
+ y
2
= 1
.!
Khi!đó!!!

1+ z + 31− z = (x +1)
2
+ y
2

+ 3 (x −1)
2
+ y
2
= (x +1)
2
+1− x
2
+ 3 (x −1)
2
+1− x
2
= 2( 1+ x + 3 1− x )
.!
Xét!hàm!số!

f (x) = 2( 1+ x + 3 1− x )
trên!đoạn![w1;1]!ta!có!


f '(x) = 2
1
2 1+ x
−
3
2 1− x
⎛
⎝
⎜
⎜

⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
; f '(x) = 0 ⇔ 1− x = 3 1+ x ⇔ x = −
4
5
.
Ta có:

f (−1) = 6; f (1) = 2; f −
4
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

= 2 10
.
Vì vậy

f
max
= f −
4
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= 2 10
. Từ đó suy ra

x = −
4
5
y
2
= 1− x

2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
x = −
4
5
, y = −
3
5
x = −
4
5
, y =
3
5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
.
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!
Vậy số cần cần tìm là

z = −
4
5
−
3
5
i;z = −
4
5
+
3
5
i
.
b) Số!tập!con!của!A!có!chứa!k!phần!tử!là!

C
n
k
(k = 0,n)
.!
Vì!vậy!tổng!số!phần!tử!của!S!là!!

C
n
k
k=0
n
∑
= 2
n
.!
+)!Ta!tìm!!số!tập!con!của!A!chứa!phần!tử!x.!
Số!tập!con!không!chứa!phần!tử!x!chính!là!số!tập!con!của!tập!hợp!

A\ x
{ }
.!Tập!hợp!này!có!(nw1)!
phần!tử.!
Vậy!số!tập!con!của!nó!bằng!

2
n−1
.!
Vì!vậy!số!tập!con!của!A!chứa!phần!tử!x!là!

2
n
− 2
n−1
= 2
n−1

.!
Vậy!xác!suất!cần!tính!là!

P =
2
n−1
2
n
=
1
2
.!!!!!
!Cho!hình!chóp!S.ABC!có!

AB = AC = a, BAC
!
= 120
0
.!Gọi!I!là!trung!điểm!cạnh!
AB,!hình! chiếu!vuông!góc! của!S!trên! mặt!phẳng!(ABC)! là!trung!điểm!của!đoạn!CI;!góc!giữa!SA!
và! mặt! đáy! bằng!

60
0
!.! Tính! thể! tích! khối! chóp! S.ABC! và! khoảng! cách! từ! điểm! A! đến! mặt!
phẳng!(SBC).!
!
Gọi!D!là!giao!điểm!của!AH!với!BC;!M!là!trung!điểm!cạnh!
BC.!Do!tam!giác!ABC!cân!tại!A!nên!AM!vuông!góc!với!BC.!
Ta!có:!

S
ABC
=
1
2
AB.AC sin120
0
=
a
2
3
4
.!
Sử!dụng!định!lý!hàm!số!Côsin!cho!tam!giác!ACI!ta!có:!
!

CI = AI
2
+ AC
2
−2AI .AC cos120
0
=
a
2
4
+ a
2
−2.

a
2
.a. −
1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
a 7
2
.!!
!
!
Sử!dụng!công!thức!đường!trung!tuyến!ta!có:!

AH =
2(AI
2
+ AC
2

)−CI
2
2
=
a 3
4
.!
Có!

SH ⊥ (ABC ) ⇒ SAH
!
= 60
0
⇒ SH = AH tan60
0
=
3a
4
.!
Vì!vậy!

V
S .ABC
=
1
3
SH .S
ABC
=
1

3
.
3a
4
.
a
2
3
4
=
a
3
3
16
(đvtt).!
+)!Kẻ!HK!vuông!góc!với!BC!tại!K,!kẻ!HI!vuông!góc!với!SK!tại!I!ta!có!

HI ⊥ (SBC )
.!
Ta!có!

HK =
1
2
d (I ;BC ) =
1
4
AM =
a
8

.!!
Sử!dụng!định!lý!Talets!ta!có:!


HD
AD
=
HK
AM
=
1
2
d (I ;BC )
AM
=
1
4
⇒ d(A;(SBC )) = 4d (H ;(SBC )) = 4HI
.
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Tam giác vuông SHK có

1
HI
2
=
1
SH

2
+
1
HK
2
=
16
9a
2
+
64
a
2
⇒ HI =
3a 37
148
.
Vì vậy

d (A;(SBC )) = 4.
3a 37
148
=
3a 37
37
.
BH=)-)IJK*)>%L6MF)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;w2;3),!B(w5;10;w1)!
và!mặt!phẳng!

(P ) : 2x + y + 2z −1 = 0

.!Chứng!minh!A,B!nằm!khác!phía!với!mặt!phẳng!(P).!Tìm!
toạ!độ!điểm!M!thuộc!(P)!sao!cho!

MA + MB = 4 14
.!!!!
Thay!toạ!độ!của!A,B!vào!mặt!phẳng!(P)!ta!được:

2.3− 2+ 2.3−1
( )
2.(−5) +10+ 2.(−1)
( )
< 0
.!!
Vì!vậy!A,B!nằm!khác!phía!với!(P)!(đpcm).!
Ta!có:!

AB
! "!!
= (−8;12;−4) ⇒ AB = MA + MB = 4 14
.!Vì!vậy!M!là!giao!điểm!của!AB!và!mặt!phẳng!
(P).!
Phương!trình!đường!thẳng!AB!là!

x = 3+ 2t
y = −2−3t
z = 3+ t
⎧
⎨
⎪
⎪

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
.!!
Toạ!độ!điểm!M!là!nghiệm!của!hệ!

x = 3+ 2t
y = −2−3t
z = 3+ t
2x + y + 2z −1 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔

x = −3
y = 7
z = 0
t = −2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇒ M (−3;7;0)
.!
Vậy!

M (−3;7;0)
là!điểm!cần!tìm.!!!!
BH=),)IJK*)>%L6MF!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!

B
21
5

;
3
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!Phương!
trình!tiếp!tuyến!của!tại!A!của!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!là!

x + 2y −7 = 0
.!Đường!
phân!giác!ngoài!của!góc!A!cắt!BC!kéo!dài!tại!điểm!E(9;3).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,C!biết!A!có!
tung!độ!dương.!!!!
Đường!thẳng!BC!đi!qua!điểm!B,E!có!phương!trình!là!

x − 2y − 3 = 0
.!!
Gọi!F!là!giao!điểm!của!tiếp!tuyến!và!đường!thẳng!BC.!
Toạ!độ!của!F!là!nghiệm!của!hệ!phương!trình!

x − 2y −3 = 0

x + 2y −7 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = 5
y = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ F (5;1)
.!
!
Gọi!D!là!chân!đường!phân!giác! trong!góc!A!của!tam!
giác!ABC.!
Xét!tam!giác!ADF!có!!

FA = FD
bởi!vì!!!

FAD
!

= FAC
!
+CAD
!
; FDA
!
= ABC
!
+ BAD
!
;
FAC
!
= BAD
!
;CAD
!
= BAD
!
.!
Tức!tam!giác!FAD!cân!tại!F.!
AD,AE!là!hai!phân!giác!góc!A!nên!vuông!góc.!Vì!vậy!
tam!giác!ADE!là!tam!giác!vuông!có!

FA = FD
nên!F!là!
trung!điểm!đoạn!ED.!!!
!Vì!F!là!trung!điểm!của!ED!nên!D(1;w1).!
Gọi!

A(7− 2a;a),a > 0
là!điểm!thuộc!tiếp!tuyến!

AD
! "!!
= (2a −6;−a −1), AE
! "!!
= (2a + 2;−a + 3)
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Ta!có!

AD ⊥ AC ⇒ AD
! "!!
.AE
! "!!
= 0 ⇔ (2a − 6)(2a + 2) + (−a −1)(−a + 3) = 0
⇔ 5a
2
−10a −15 = 0 ⇔
a = −1(l )
a = 3(t / m)
⎡
⎣
⎢
⎢
⇒ A(1;3)
.!

Gọi!I!là!tâm!ngoại!tiếp!của!tam!giác!ABC.!Do!IA=IB!và!IA!vuông!góc!với!tiếp!tuyến!tại!A!nên!
toạ!độ!I!là!nghiệm!của!hệ!

2(x −1)−(y −3) = 0
(x −1)
2
+ ( y −3)
2
= x −
21
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ y −
3
5
⎛
⎝
⎜

⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
2x − y +1= 0
4x −3y −5 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
⇔
x = −4
y = −7
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.!
Vậy!I(w4;w7).!Gọi!

C (2c + 3;c) ∈ BC ,c ≠
3
5
.!
Ta!có!

IC
2
= IA
2
= 125 ⇔ (2c + 7)
2
+ (c +7)
2
= 125 ⇔
c = −9(t / m)

c =
3
5
(l )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇒ C (−15;−9)
.!
Vậy!toạ!độ!hai!đỉnh!cần!tìm!là!

A(1;3),C (−15;−9)
.!!!!
BH=)N)IJK*)>%L6MF)Giải!bất!phương!trình!

(x −3+ 2− x )
3
+ 2− x + 2x −1
3
+ 3x ≥ 4
.!
Điều!kiện:!

x ≤ 2
.!!
Bất!phương!trình!tương!đương!với:!
!

(x −3+ 2− x )
3
+ (x −3+ 2− x ) ≥ (1− 2x )+ 1− 2x
3
(1)
.!!
Xét!hàm!số!

f (a) = a
3
+ a
trên!R!ta!có!

f '(a) = 3a
2
+1> 0,∀a ∈ !
.!
Vì!vậy!f(a)!đồng!biến,!do!đó!

(1) ⇔ f (x −3+ 2− x ) ≥ f ( 1− 2x
3
) ⇔ x −3+ 2− x ≥ 1− 2x
3
.!
!

⇔ x + 2− x + 2x −1
3
≥ 3

.!!!!!
Đặt!

t = 2− x ≥ 0 ⇒ x = 2−t
2
.!Bất!phương!trình!trở!thành:!
!

2−t
2
+ t + 2(2−t
2
)−1
3
≥ 3
⇔ 3− 2t
2
3
≥ t
2
−t +1 ⇔ 3−2t
2
≥ (t
2
−t +1)
3
⇔ (t −1)(t
5
− 2t
4

+ 4t
3
−3t
2
+ 5t + 2) ≤ 0
⇔ t ≤1 ⇔ 2− x ≤1 ⇔ x ≥1
.!
Bởi!vì!

t
5
− 2t
4
+ 4t
3
−3t
2
+ 5t + 2 = t
3
(t −1)
2
+ t (3t
2
−3t + 5) + 2 > 0,∀t ≥ 0
.!
Kết!hợp!với!điều!kiện!bài!toán!ta!có!

1 ≤ x ≤ 2
.!!
Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!

S = 1;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.!!!!!
B4O)3F!Ta!có!thể!giải!bằng!cách!khác!sau!đây:!
Đặt!

a = x −3+ 2 − x
b = 2x −1
3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!Bất!phương!trình!trở!thành:!


a
3
+ a +b + b

3
≥ 0 ⇔ (a + b)(a
2
−ab + b
2
+1) ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 0
.
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!

⇔ x + 2− x −3+ 2x −1
3
≥ 0 ⇔ (x −2+ 2− x )+( 2x −1
3
−1) ≥0
⇔ 2− x 1− 2− x
( )
+ ( 2x −1
3
−1) ≥0
⇔
(x −1) 2− x
1+ 2− x
+
2(x −1)
(2x −1)
2
3
+ 2x −1

3
+1
≥ 0
⇔ (x −1)
2− x
1+ 2− x
+
2
(2x −1)
2
3
+ 2x −1
3
+1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
≥ 0 ⇔ x ≥1
.!
Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!

S = 1;2
⎡

⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.!!!!!
BH=)+)IJK*)>%L6MF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!thoả!mãn!

x + y + z = 0
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!
thức!

P = 3
cos x
+ 3
cos y
+ 3
cos z
− 3.max cos x , cos y , cos z
{ }
.!
Do!vai!trò!của!x,y,z!như!nhau!nên!không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử!

cos z = max cos x , cos y , cos z
{ }
.!!
Ta!có!!

cos x + cos y = cos
2

x + cos
2
y + 2 cos x.cos y ≥ cos
2
x + cos
2
y
= 1+
cos2x + cos2y
2
= 1+ cos(x + y)cos(x − y)
≥ 1− cos(x + y).cos(x − y) ≥ 1− cos z ≥1− cos z
.!
Mặt!khác:!

3
cos x
+ 3
cos y
≥ 2+ cos x + cos y
.!
Từ!đó!suy!ra:!

P ≥ 3+ 3
cos z
− 4 cos z
.!
Xét hàm số

f (t ) = 3

t
− 4t
, ta có

f '(t) = 3
t
ln3− 4 < 0,∀t ∈ 0;1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.
Vì!vậy!

P ≥ f (t) ≥ f (1) = 2
.!!
Dấu!bằng!đạt!tại!

cos x = cos y = 0; cos z = 1;x + y + z = 0
.!Chẳng!hạn!

x = y =
π
2
;z = −π
.!
Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!2.!!!
!

!!
!