Đề thi thử đại học môn Toán năm 2015 (16)

!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
"!
H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6)
DW&()L"I&X)/Y)Z[)77\]*)
V1US)#4%)()*^\*^\.*_])
L4`%)1%E&)$U6)aU%()_b*)@4c#d)24W&1)2e)#4`%)1%E&)1%E")>K)
f%g&)4h)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)Q)B4%)#%C#()iiiF6E#4$%&2:FG&))
)
Bj=)_)k.d*)>%e6lF!#$%!$&'!()!

y = x
3
− 3x
2
+ 4 (1)
*!
"* +$,%!( !(/!0123!.$143!5&!56!78!.$9!$&'!()!:";*!
<* =12.!>$?@3A!.BC3$!.12>!.DE23!FGH!:";!.I1!F-F!A1H%!71J'!FGH!:";!5K1!.BLF!$%&3$*!
Bj=).)k_d*)>%e6lF)
H; #$%!AMF!H!.$%,!'N3!

sina =
1
5
,a ∈ (
π
2
;π)
*!OP3$!A1-!.B9!FGH!01JD!.$QF!

M = (tana +1).cos2a
*!
0; #$%!()!>$QF!R!.$%,!'N3!

z + 2.z = 6−3i
*!OC'!()!>$QF!S143!$T>!FGH!R*!
Bj=)7)k*d])>%e6lF!U1,1!>$?@3A!.BC3$!

log
3
(x +1)+ 3= 2log
3
(x + 7)
*!
Bj=)^)k_d*)>%e6lF!U1,1!0V.!>$?@3A!.BC3$!

8 x(x
2
− x−2) + 4−8x ≥ (x
2
− 2x)
2
*!
Bj=)])k_d*)>%e6lF)OP3$!.PF$!>$W3!

I = (cosx + x.e
x
)dx
0

π
2
∫
*!
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

AB = a,AC = a 3
và
tam giác SBC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H
của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Bj=),)k_d*)>%e6lF!OB%3A!X$Y3A!A1H3!5K1!$Z!.BLF!.%I!7[!\]ER!F$%!$H1!71J'!^:<_`_`;!5&!a:"_"_b";*!
=12.!>$?@3A!.BC3$!'c.!>$d3A!:e;!71!fDH!0H!71J'!\g^ga*!=12.!>$?@3A!.BC3$!'c.!FhD!:i;!71!fDH!
\g^ga!5&!FM!0-3!XP3$!3$j!3$V.*!
Bj=)b)k_d*)>%e6lF)OB%3A!'c.!>$d3A!5K1!.BLF!.%I!7[!\]E!F$%!.H'!A1-F!^a#!FM!7k3$!a:<_l;!5&!
A1H%!71J'!FGH!7?m3A!>$W3!A1-F!.B%3A!AMF!^!5K1!7?m3A!>$W3!A1-F!3A%&1!AMF!a!FGH!.H'!A1-F!
^a#!S&!71J'!+:"n_"o;*!p?m3A!.$d3A!71!fDH!+!5DY3A!AMF!5K1!^+!Fq.!F-F!7?m3A!.$d3A!^ag^#!
Sh3!S?T.!.I1!rgs!.$%,!'N3!

BD.CE = 288
*!OC'!.%I!7[!F-F!7k3$!^g#!012.!r!FM!$%&3$!7[!t?@3A!
3u'!.B43!7?m3A!.$d3A!

10x− y+ 7= 0
*!
Bj=)+)k_d*)>%e6lF!OB%3A!'[.!Xv!.$1!5V3!7->!.$P!(13$!^!>$,1!7Q3A!.B?KF!0H3!A1-'!X$,%!F$w3!
3AxD!3$143!y!>$12D!FWD!$j1!.z!'[.!.${3A!>$12D!A8'!o`!>$12D!FWD!$j1g!.B%3A!7M!FM!n!Fc>!
>$12D!FWD!$j1!'&!'|1!Fc>!>$12D!FM!3[1!tD3A!X$-F!3$HD!.z3A!7Y1!'[.!5&!.B%3A!'|1!'[.!Fc>!
>$12D!FM!3[1!tD3A!A1)3A!3$HD*!OP3$!]-F!(DV.!7J!.$P!(13$!^!F$w3!7?TF!y!>$12D!FWD!$j1!FM!3[1!
tD3A!X$-F!3$HD*!
Bj=)_*)k_d*)>%e6lF!#$%!F-F!()!.$/F!

a,b,c ∈ 1;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.$%,!'N3!

a
2
+ b
2
+ c
2
= 6
*!OC'!A1-!.B9!3$j!3$V.!
FGH!01JD!.$QF!

P = 4− a
2
+ 4− b
2
+ 4− c
2
*!!!!!
mmm!nLmm
!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))

B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
<!
M!oV)LpB!)qrV!)fstV)/uM)uV)
Bj=)_)k.d*)>%e6lF!#$%!$&'!()!

y = x
3
− 3x
2
+ 4 (1)
*!
"* +$,%!( !(/!0123!.$143!5&!56!78!.$9!$&'!()!:";*!
<* =12.!>$?@3A!.BC3$!.12>!.DE23!FGH!:";!.I1!F-F!A1H%!71J'!FGH!:";!5K1!.BLF!$%&3$*!
"* }wF!(13$!./!A1,1*!
<* e$?@3A!.BC3$!$%&3$!7[!A1H%!71J'~!

x
3
−3x
2
+ 4= 0 ⇔ (x +1)(x − 2)
2
= 0 ⇔
x = −1
x = 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢

*!
OH!FM~!

y' = 3x
2
− 6x
*!!
•;!€2D!

x = −1⇒ y '(−1)= 9;y(−1)= 0
!343!.12>!.DE23!S&~!

y = 9(x +1)+ 0= 9x + 9
*!!!!
•;!€2D!

x = 2 ⇒ y '(2)= 0;y(2)= 0
343!.12>!.DE23!S&!

y = 0
*!
+2.!SD•3~!=•E!FM!$H1!.12>!.DE23!!Fh3!.C'!S&!

y = 0;y = 9x+ 9
*!!!!
Bj=).)k_d*)>%e6lF)
H; #$%!AMF!H!.$%,!'N3!

sina =
1

5
,a ∈ (
π
2
;π)
*!OP3$!A1-!.B9!FGH!01JD!.$QF!

M = (tana +1).cos2a
*!
0; #$%!()!>$QF!R!.$%,!'N3!

z + 2.z = 6−3i
*!OC'!()!>$QF!S143!$T>!FGH!R*!
H;!OH!FM~!

cos
2
a = 1− sin
2
a = 1−
1
5
=
4
5
*!=C!

a ∈ (
π
2

;π)⇒ cosa < 0 ⇒ cosa = −
2
5
*!
r%!7M!

M = (
sina
cosa
+1).(2cos
2
a −1) = (
1
−2
+1).(2.
4
5
−1)=
3
10
*!!!!
0;!pc.!

z = x+ y.i(x,y ∈ !)
g!.$‚%!A1,!.$12.!.H!FM~!

x + y.i+ 2(x − y.i) = 6−3i ⇔ (3x − 6)+ (3− y).i = 0 ⇔
3x− 6 = 0
3− y = 0
⎧

⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = 2
y = 3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ z = 2+ 3i,z = 2−3i
*!
=•E!

z = 2− 3i
*!!
Bj=)7)k*d])>%e6lF!U1,1!>$?@3A!.BC3$!

log
3
(x +1)+ 3= 2log
3
(x + 7)
*!

p1ƒD!X1Z3~!

x >−1
*!
e$?@3A!.BC3$!.?@3A!7?@3A!5K1~!
!

log
3
(x +1)+ log
3
27= log
3
(x + 7)
2
⇔ log
3
27(x +1)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= log
3
(x + 7)
2
⇔ 27(x +1)= (x + 7)
2

⇔ x
2
−13x + 22= 0 ⇔
x = 2
x = 11
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
(t / m)
!*!
=•E!>$?@3A!.BC3$!FM!$H1!3A$1Z'!

x = 2;x = 11
*!!!
Bj=)^)k_d*)>%e6lF!U1,1!0V.!>$?@3A!.BC3$!

8 x(x
2
− x−2) + 4−8x ≥ (x
2
− 2x)
2
*!
p1ƒD!X1Z3!]-F!793$~!

x ≥ 2
−1≤ x ≤ 0
⎡

⎣
⎢
⎢
⎢
*!
aV.!>$?@3A!.BC3$!.?@3A!7?@3A!5K1~!

8 x(x
2
− x−2) + 4−8x ≥ x
4
− 4x
3
+ 4x
2
⇔ 8 x(x
2
− x−2) + 4x
3
− 4x
2
−8x + 4≥ x
4
⇔ 4(2 x(x
2
− x−2) + x(x
2
− x−2)+1)≥ x
4
⇔ 4( x(x

2
− x−2) +1)
2
≥ x
4
⇔ 2( x(x
2
− x−2) +1)≥ x
2
(1)
*!
!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
y!
•;!€2D!

−1≤ x ≤ 0 ⇒ VP
(1)
≤1≤VT
(1)
_!0V.!>$?@3A!.BC3$!SDY3!7„3A*!
•;!€2D!

x ≥ 2
0V.!>$?@3A!.BC3$!.?@3A!7?@3A!5K1~!
!

x
2

−2 x(x
2
− x−2) −2 ≤ 0 ⇔ (x
2
− x−2)− 2 x(x
2
− x−2) + x ≤ 0
⇔ ( x
2
− x−2 − x)
2
≤ 0 ⇔ x
2
− x−2 = x
⇔ x
2
−2x −2 = 0 ⇔
x = 1− 3(l)
x = 1+ 3(t / m)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
*!
+2.!$T>!<!.B?m3A!$T>!.H!FM!.•>!3A$1Z'!FGH!0V.!>$?@3A!.BC3$!S&!

S = −1;0
⎡
⎣

⎢
⎤
⎦
⎥
∪ 1+ 3
{ }
*!!
qU%)#;@)#<v&1)#wm)
qU%)_F)U1,1!0V.!>$?@3A!.BC3$!

8 3x(x
2
− x−2) +1− 6x ≥ (
x
2
− 4x
2
)
2
*!p…(~!

S = −1;0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∪ 2+ 6
{ }

*!!!!
qU%).F)U1,1!0V.!>$?@3A!.BC3$!

8 2x(x
2
− x−2) + 4−16x ≥ (x
2
−3x)
2
*!p…(~!

S = −1;0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∪
3+ 17
2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪

⎫
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
*!
Bj=)])k_d*)>%e6lF)OP3$!.PF$!>$W3!

I = (cosx + x.e
x
)dx
0
π
2
∫
*!
•;!OH!FM~!

I = cosx dx
0
π
2
∫
+ x.e
x
dx

0
π
2
∫
*!
•;!

I
1
= cosx dx
0
π
2
∫
= sin x
π
2
0
= 1
*!
•;!

I
2
= x.e
x
dx
0
π
2

∫
= xd(e
x
)
0
π
2
∫
= x.e
x
π
2
0
− e
x
dx
0
π
2
∫
=
π
2
e
π
2
−e
x
π
2

0
=
π −2
2
e
π
2
+1
*!
•;!=•E!

I = I
1
+ I
2
= 1+
π − 2
2
e
π
2
+1=
π − 2
2
e
π
2
+ 2
*!!!!
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

AB = a,AC = a 3
và
tam giác SBC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H
của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).

Tam giác ABC vuông tại A, nên

BC = a
2
+ (a 3)
2
= 2a,S
ABC
=
1
2
AB.AC =
a
2
3
2
.
Do tam giác SBC vuông tại S nên

SH =
BC
2
= a
.

Vì vậy

V
S.ABC
=
1
3
SH.S
ABC
=
1
3
.a.
a
2
3
2
=
a
3
3
6
(đvtt).

+) Do

BC = 2HC
, nên

d(B;(SAC)) = 2d(H;(SAC))

.
Kẻ HI song song với AB cắt AC tại I, Kẻ HK vuông góc với SI tại K, ta có

HK ⊥ SI (1)
.
!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
n!
Ta có

AC ⊥ HI,AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ (SHI) (2)
.
Từ (1), (2) suy ra:

HK ⊥ (SAC),HK = d(H;(SAC))
.
Tam giác vuông SHI có:

IH =
AB
2
=
a
2
,SH = a ⇒
1
HK
2
=

1
HI
2
+
1
SH
2
=
4
a
2
+
1
a
2
⇒ HK =
a
5
.
Vì vậy

d(B;(SAC)) =
2a 5
5
.
Bj=),)k_d*)>%e6lF!OB%3A!X$Y3A!A1H3!5K1!$Z!.BLF!.%I!7[!\]ER!F$%!$H1!71J'!^:<_`_`;!5&!a:"_"_b";*!
=12.!>$?@3A!.BC3$!'c.!>$d3A!:e;!71!fDH!0H!71J'!\g^ga*!=12.!>$?@3A!.BC3$!'c.!FhD!:i;!71!fDH!
\g^ga!5&!FM!0-3!XP3$!3$j!3$V.*!
OH!FM~!

OA
! "!
= (2;0;0),OB
! "!
= (1;1;−1)⇒ OA
! "!
,OB
! "!
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= (0;2;2) / /(0;1;1)
*!
•;!†c.!>$d3A!:e;!71!fDH!\!5&!3$•3!:`_"_";!S&'!5‡F!.@!>$->!.DE23!343!FM!>$?@3A!.BC3$!

(P): y + z = 0
*!
•;!Uw1!ˆ!S&!.W'!7?m3A!.B‰3!3A%I1!.12>!.H'!A1-F!\^ag!t%!ˆ!.$D[F!:e;!343!

I(x;y;−y)
*!
OH!FM~!

IO
2

= IA
2
IO
2
= IB
2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x
2
+ 2y
2
= (x − 2)
2
+ 2y
2
x
2
+ 2y
2
= (x −1)
2
+ 2(y−1)
2

⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = 1
y =
1
4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇒ I(1;
1
4
;−
1
4
)

*!
•;!Uw1!+!S&!.W'!'c.!FhD!:i;!5&!Š!S&!0-3!XP3$!FGH!:i;g!.H!FM~!

R
2
= KI
2
+ IO
2
≥ IO
2
=
9
8
*!rVD!0u3A!],E!BH!X$1!5&!F$k!X$1!

K ≡ I ⇒ K(1;
1
4
;−
1
4
)
*!
=•E!

(S):(x−1)
2
+ (y−
1

4
)
2
+ (z +
1
4
)
2
=
9
8
*!!!!!!!!
Bj=)b)k_d*)>%e6lF)OB%3A!'c.!>$d3A!5K1!.BLF!.%I!7[!\]E!F$%!.H'!A1-F!^a#!FM!7k3$!a:<_l;!5&!
.W'!7?m3A!.B‰3!0&3A!.12>!AMF!^!S&!71J'!+:"n_"o;*!p?m3A!.$d3A!71!fDH!+!5DY3A!AMF!5K1!^+!
Fq.!F-F!7?m3A!.$d3A!^ag^#!Sh3!S?T.!.I1!rgs!.$%,!'N3!

BD.CE = 288
*!OC'!.%I!7[!F-F!7k3$!^g#!
012.!r!FM!$%&3$!7[!t?@3A!3u'!.B43!7?m3A!.$d3A!

10x− y + 7 = 0
*!
!
OH'!A1-F!^rs!FW3!.I1!^!:t%!FM!7?m3A!FH%!F‹3A!S&!
7?m3A!>$W3!A1-F;*

⇒ D
!
= E
!

:";*!
OQ!A1-F!ar#s!FM~!

B
!
+ C
!
+ D
!
+ E
!
= 360
0
⇒ E
!
+ KCE
"
+ KBD
"
= 180
0
(2)
*!
Œ‡.!.H'!A1-F!+#s!FM~!

E
!
+ KCE
"
+ CKE

"
= 180
0
(3)
*!!!!
Oz!:<;g:y;!(DE!BH~!

CKE
!
= KBD
!
(4)
*!
Oz!:";g:n;!(DE!BH!.H'!A1-F!ra+!783A!tI3A!5K1!.H'!A1-F!
s+#*!
r%!7M!

DB
EK
=
DK
CE
⇒ BD.CE = EK.DK = DK
2
:•;*!
•;!Uw1!

D(a;10a + 7),a > 0
.z!:•;!.H!FM!>$?@3A!.BC3$~!
!

!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
5!

(a −14)
2
+ (10a − 8)
2
= 288⇔ 101a
2
−188a − 28= 0 ⇔
a = 2(t / m)
a = −
14
101
(l)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Vậy!D(2;27),!K!là!trung!đểm!của!DE!nên!E(26;3).!
+)!Đường!thẳng!AB!đi!qua!B,D!nên!có!phương!trình:!

x − 2 = 0
.!
+)!Đường!thẳng!AK!đi!qua!K!và!vuông!góc!với!DE!nên!có!phương!trình!là!

x− y +1= 0
.!
Toạ!độ!điểm!A!là!nghiệm!của!hệ!

x− 2 = 0
x− y +1= 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = 2
y = 3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ A(2;3)
.!
+)!Đường!thẳng!AC!đi!qua!A,E!nên!có!phương!trình!là!

y− 3 = 0
.!
Đường!thẳng!BC!đối!với!AB!đối!xứng!qua!đường!thẳng!KB!nên!có!phương!trình!!

3x + 4y − 42 = 0
.!
Toạ!độ!điểm!C!là!nghiệm!của!hệ!

y−3= 0
3x + 4y − 42 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = 10
y = 3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ C(10;3)
.!!!!!
HC#)$=;&(!Vậy!A(2;3),!C(10;3).!
IJ&4)$=;&(!Với!giả!thiết!bài!toán!liên!quan!đến!tích!độ!dài!hoặc!tỷ!số!độ!dài!các!chúng!ta!cần!
chú!ý!đến!việc!chứng!minh!hai!tam!giác!đồng!dạng!với!nhau.!
IK%)#;@)#<L&1)#M)N!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!tâm!đường!tròn!nội!tiếp!

là!I(1;0).!Đường!thẳng!vuông!góc!với!AI!tại!I!cắt!các!cạnh!AB,AC!lần!lượt!tại!M,N!thoả!mãn!

BM.CN = 50
.!Viết!phương!trình!đường!thẳng!AC!biết!rằng!P(3;11)!thuộc!đường!thẳng!AB,!M!
có!hoành!độ!âm!và!thuộc!đường!thẳng!

x + y + 7= 0
.!!
HD:!Chứng!minh!tam!giác!MBI!đồng!dạng!với!tam!giác!NIC.!
Suy!ra:!

BM.CN = MI.NI = MI
2
⇒ M(−6;−1)
,!I!là!trung!điểm!MN!suy!ra!N(8;1).!
+)!Viết!pt!AI,AB!và!tìm!được!A(0;7),!đường!thẳng!AC!đi!qua!A,N!nên!có!pt!là!

3x + 4y − 28 = 0
.!!!!!!!
BO=)+)PQR*)>%S6TF!Trong!một!kỳ!thi!vấn!đáp!thí!sinh!A!phải!đứng!trước!ban!giám!khảo!chọn!
ngẫu!nhiên!3!phiếu!câu!hỏi!từ!một!thùng!phiếu!gồm!50!phiếu!câu!hỏi,!trong!đó!có!4!cặp!
phiếu!câu!hỏi!mà!mỗi!cặp!phiếu!có!nội!dung!khác!nhau!từng!đôi!một!và!trong!mỗi!một!cặp!
phiếu!có!nội!dung!giống!nhau.!Tính!xác!suất!để!thí!sinh!A!chọn!được!3!phiếu!câu!hỏi!có!nội!
dung!khác!nhau.!
Không!gian!mẫu!là!số!cách!chọn!tuỳ!ý!3!phiếu!câu!hỏi!từ!thùng!đựng!50!phiếu!câu!hỏi,!vậy!

Ω = C
50
3
.!

+)!Gọi!A!là!biến!cố!thí!sinh!A!chọn!được!3!phiếu!câu!hỏi!khác!nhau.!
Để!tìm!số!phần!tử!của!A!ta!tìm!số!phần!tử!của!biến!cố!

A
,!lúc!này!cần!chọn!được!1!trong!4!cặp!
phiếu!có!câu!hỏi!giống!nhau!và!chọn!1!phiếu!trong!48!phiếu!còn!lại.!
Vậy!

Ω
A
= 48.C
4
1
.!
Vậy!xác!suất!cần!tính!

P =
Ω
A
Ω
=
Ω − Ω
A
Ω
=
C
50
3
− 48.C
4

1
C
50
3
=
1213
1225
≈ 0,9902
.!!!
BO=)Q*)PQR*)>%S6TF!Cho!các!số!thực!

a,b,c ∈ 1;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
thoả!mãn!

a
2
+ b
2
+ c
2
= 6
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!
của!biểu!thức!

P = 4− a
2
+ 4− b
2
+ 4− c
2
.!
!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
6!
Theo!giả!thiết!a,b,c!là!độ!dài!3!cạnh!một!tam!giác!có!thể!suy!biến!(!tức!có!thể!xảy!ra!

a + b = c
hoặc!

b = c + a
!hoặc!

c = a + b
).!
Ta!có:!

P =
2(b
2
+ c
2
)− a
2

3
+
2(c
2
+ a
2
)− b
2
3
+
2(a
2
+ b
2
)− c
2
3
=
2
3
(ma + mb + mc)
.!
Trong!đó!ma,mb,mc!là!độ!dài!ba!đường!trung!tuyến!kẻ!từ!A,B,C.!
Ta!cũng!có!ma,mb,mc!cũng!là!độ!dài!ba!cạnh!của!một!tam!giác!
Thậy!vậy!vì!tính!đối!xứng!của!ma,mb,mc!ta!chỉ!cần!chứng!minh!

ma + mb ≥ mc
.!
!

⇔ 2(b
2
+ c
2
)− a
2
+ 2(c
2
+ a
2
)− b
2
≥ 2(a
2
+ b
2
)− c
2
⇔ 2 2(b
2
+ c
2
)− a
2
. 2(c
2
+ a
2
)− b
2

≥ a
2
+ b
2
− 5c
2
⇔ 2 (2x− y + 2)(2y− x + 2) ≥ x + y− 5 (x =
a
2
c
2
,y =
b
2
c
2
)
.!
+)!Nếu!

x + y− 5< 0
bất!đẳng!thức!luôn!đúng.!
+)!Nếu!

x + y− 5≥ 0
,!ta!chỉ!cần!chứng!minh!
!

4(2x− y + 2)(2y− x + 2)≥ (x+ y− 5)
2

⇔ x
2
+ y
2
− 2xy− 2x− 2y +1≤ 0
⇔ (x − y +1)
2
≤ 4x ⇔ −2 x ≤ x − y +1≤ 2 x
⇔ ( x −1)
2
≤ y ≤ ( x +1)
2
⇔ x −1 ≤ y ≤ x +1⇔ a− c ≤ b ≤ a + c
.!
Bất!đẳng!thức!cuối!luôn!đúng.!
Áp!dụng!ta!có:!
!

ma + mb ≥ mc
mb + mc ≥ ma
mc + ma ≥ mb
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎪
⎪
⇒
mc(ma + mb)≥ mc
2
ma(mb + mc)≥ ma
2
mb(mc + ma)≥ mb
2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇒ 2(ma.mb + mb.mc + mc.ma)≥ ma
2
+ mb
2
+ mc
2
⇒ (ma + mb + mc)
2
≥ 2(ma
2

+ mb
2
+ mc
2
)=
3
2
(a
2
+ b
2
+ c
2
)= 9
⇒ ma + mb + mc ≥ 3⇒ P ≥ 2 3
.!
Nhận!thấy!

a = 2,b = c = 1
dấu!bằng!xảy!ra.!Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!

2 3
.!
IJ&4)$=;&(!Lời!giải!trên!dựa!vào!tính!chất!hình!học!của!tam!giác!đó!là!độ!dài!3!đường!trung!
tuyến!cũng!là!độ!dài!ba!cạnh!của!một!tam!giác.!
+)!Ngoài!ra!ta!có!thể!chứng!minh!trực!tiếp!các!bất!đẳng!thức:!

2(b
2
+ c

2
)− a
2
+ 2(c
2
+ a
2
)− b
2
≥ 2(a
2
+ b
2
)− c
2
,
2(c
2
+ a
2
)− b
2
+ 2(a
2
+ b
2
)− c
2
≥ 2(b
2

+ c
2
)− a
2
,
2(b
2
+ c
2
)− a
2
+ 2(a
2
+ b
2
)− c
2
≥ 2(c
2
+ a
2
)− b
2
!
Rồi!áp!dụng!tương!tự!cách!trên.!
+)!Nếu!đổi!giả!thiết!thành!

4− a
2
+ 4− b

2
+ 4− c
2
= 2 3(a,b,c ∈ 1;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
)
.!Bài!toán!đặt!ra!tìm!giá!
trị!lớn!nhất!của!biểu!thức!

P = a
2
+ b
2
+ c
2
.!!!
Cách%2:!
Không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử!

a = max a;b;c
{ }
⇒ a ∈ 2;2
⎡
⎣
⎢

⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
,!ta!có:!
!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
7!
!

4− b
2
+ 4− c
2
= 8−b
2
− c
2
+ 2 (4− b
2
)(4− c
2
)
= 2+ a
2
+ 2 16− 4(b
2
+ c

2
)+ b
2
c
2
= 2+ a
2
+ 2 4a
2
−8+ b
2
c
2
≥ 2+ a
2
+ 2 4a
2
− 7
.!
Vì!vậy!

P ≥ 4−a
2
+ 2+ a
2
+ 2 4a
2
−7 ≥ 2 3,∀a ∈ 2;2
⎡
⎣

⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
.!!!!
Cách%3:%Với!mọi!

x ∈ 1;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
!ta!có:!

4− x
2
≥
−2x
2
+ 3x + 2
3
(*)
.%
Thật!vậy,!sau!khi!bình!phương!hai!vế!bất!đẳng!thức!tương!đương!với:!!

(x − 2)(x −1)

2
(x +1)≤ 0
.!
Áp!dụng!bất!đẳng!thức!(*)!ta!có:!
!

P ≥−
2
3
(a
2
+ b
2
+ c
2
)+ 2 3 + 3(a + b + c) = 3(a + b + c)− 2 3
.!
Lại!có:!
!

(a −1)(a − 2)≤ 0 ⇒ a ≥
a
2
+ 2
3
⇒ a + b + c ≥
a
2
+ b
2

+ c
2
+ 6
3
= 4
.!
Vì!vậy!

P ≥ 3.4− 2 3 = 2 3
.!!!
IK%)#;@)#<L&1)#MN!
IK%)QF!Cho!các!số!thực!

a,b,c ∈ 1;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
thoả!mãn!

4− a
2
+ 4− b
2
+ 4− c
2
= 2 3
.!Tìm!giá!trị!lớn!

nhất!của!biểu!thức!

P = a
2
+ b
2
+ c
2
.!!!!
!
!!!!!!!!!!!