Bài tập Điện động lực học vi mô

Đề 1. Biểu diễn rot, grad, div trong hệ tọa độ Đêcac và chứng minh rằng :
Rot grad u = 0
Div rot
A
ur
= 0
Bài giải: Ta có: Grad
u
r
=
u u u
i j k
x y z
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
ur
r ur
Rot
A
ur
= =
Div
A
ur
= + +
1. Rot grad u =
=
i
y
∂

∂
r
j
z
∂
∂
r
+
k
x
∂
∂
r
u u u
y z x
i j k
z x y
 
∂ ∂ ∂
   
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂
   
 
∂ ∂ ∂
− − −
∂ ∂ ∂
ur
r ur

=
2 2 2 2 2 2
. . . . . .
u u u u u u
i j k
y z z y z x x z x y y x
     
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ur
r ur
= 0
2. Div rot
A
ur
=
A A
A A
A A
y y
x x
z z
x y z y z x z x y
   
 
 ÷  ÷

 ÷
 ÷  ÷
 
   
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
=
2 2
2 2
2 2
. . . . . .
A A
A A
A A
y y
x x
z z
x y x z y z y z z x z y
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= 0
Đề 2. Tính div
.I R

 
 
r ur
=? Trong đó
I
r
là vector không đổi,
R
ur
là bán kính vector.
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
Bài giải:
Ta có:
x y
z
I iI jI kI= + +
r r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
.
x y z
i j k
I R I I I
x y z
 

 ÷
 
⇒ =
 ÷
 
 ÷
 
r r r
r ur
=
( )
( )
( )
y z x z x y
i I z I y j I z I x k I y I x
− − − + −
r r r

( )
( )
( )
.
0
y z x z x y
x y z
div I R I z I y I z I x I y I x
x y z
y z z x x y
I I I
z y x z y x

∂ ∂ ∂
 
= − − − + −
 
∂ ∂ ∂
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − + − + − =
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
r ur
Đề 3. Tính
.div I R M
 
 
 
 
r uruur
, Trong đó
I va M
r uur
#
là vector không đổi,
R
ur
là bán

kính vector.
Bài giải:
Ta có:
x y
z
M iM jM kM
= + +
uur r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
.M R
 
⇒
 
uur ur
=
( )
( )
( )
z y z x y x
x y z
i j k
x y z i yZ zM j xZ zM k xM yM
M M Z
 
 ÷
= − − − + −
 ÷

 ÷
 
r r r
r r r
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
.
x y z
z y z x y x
y y x z z x
x y x z z y
x z x y z y
i j k
I R M I I I
yZ zM xZ zM xM yM
i I xM yM I xZ zM
j I xM yM I yZ zM
k I xZ zM I yZ zM
 
 ÷
 
 
⇒ =
 ÷

 
 
 ÷
 ÷
− − −
 

 
− − −
 


 
= − − − −

 

 
+ − − −

 

r r r
r uuruur
r
r
r
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học

Lớp: DH9L
( )
.
2
2
y y z z x x x x z z y y
x x y y z z
div I R M I M I M I M I M I M I M
I M I M I M
IM
 
 
= + + + + +
 
 
= + +
=
r uuruur
Đề 4. Tính:
( )
{ }
.
R
rot U R va rot I R
 
 
ur r ur
#

Trong đó:

I
r
là vector không đổi và
R
ur

là bán kính vector.
Bài giải: a/ Ta có:
( ) ( )
( )
R R
U R U xi y j zk= + +
ur r r r
( )
{ }
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )

( )
R R
R R R
R R R
R R
i zU yU
y z
i j k
rot U R j zU xU
x y z x z
xU yU zU
k yU xU
x y
U R U R
R R
i z y
R y R z
U R U R
R R
j z x
R x R z
U R
R
k y x
R x

 
∂ ∂
−


 
 
∂ ∂
 

 ÷

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 
 ÷
⇒ = = − −

 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 

 ÷

 ÷
 
∂ ∂
 
+ −

 
∂ ∂

 


∂ ∂
 
∂ ∂
−
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
∂ ∂
 
∂ ∂
= − −
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
∂
∂
+ −
∂ ∂
r
r r r
ur r
r
r
r
r
( )
( )
( )
1

U R
R
R y
U R
R R R R R R
z y i z x j y x k
R y z x z x y








∂
 
∂

 
∂ ∂

 

 
∂
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − − − + −

 
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
 
r r r
mặt khác ta có:
2 2 2 2
; ;
R x R y R z
R x y z
x R y R z R
 
∂ ∂ ∂
= + + ⇒ = = =
 
∂ ∂ ∂
 
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
( )
2
R R
y z
z y
z y

y z
R R
R R x z
z x z x
x z R R
x y
R R
y x
y x
R R
x y
∂ ∂


−
−


∂ ∂


∂ ∂
 
⇒ − = −
 
∂ ∂
 
∂ ∂
 
−

−
 
∂ ∂


Từ (1) và (2), ta được:
( )
{ }
0
R
rot U R
=
ur
b/ Ta có:

x y
z
I iI jI kI= + +
r r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
( )
( )
( )
.
x y z y z x z x y
i j k
I R I I I i I z I y j I z I x k I y I x

x y z
 
 ÷
 
⇒ = = − − − + −
 ÷
 
 ÷
 
r r r
r ur r r r
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
x y x z
x y y z
y z x z x y
x z y z
x x y y z z
x y
i I y I x I z I x
y z
i j k
rot I R j I y I x I z I y

x y z x z
I z I y I z I x I y I x
k I z I x I z I y
x y
i I I j I I k I I
iI jI

 
∂ ∂
− − −

 
 
∂ ∂
 

 ÷

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 
 ÷
 
⇒ = + − − − −

 
 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 


 ÷
 ÷

− − −
 
∂ ∂
 
+ − − −

 
∂ ∂

 

= + + + + +
= +
r
r r r
rur r
r
r r r
r r
( )
2
z
kI I+ =
r r
Đề 5. Tính:
3

PR
grad
R
urur

Trong đó:
P
ur
là vector không đổi
R
ur
là bán kính
vector.
Bài giải: Ta có:
( )
3
3 2 2 2
2
x y z
PR xP yP zP
R x y z

= + +



= + +

urur
14

Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
,
( ) ( ) ( )
3 3 3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y z x y z x y z
xP yP zP xP yP zP xP yP zP
PR
grad i j k
R x y z
x y z x y z x y z
     
+ + + + + +
∂ ∂ ∂
     
⇒ = + +
     
∂ ∂ ∂
     
+ + + + + +
     
urur
r r r
( )
( )
( )

3
6
3
6
3
6
3
.2
2
3
.2
2
3
.2
2
x x y z
y x y z
z x y z
P R xP yP zP R x
i
R
P R xP yP zP R y
j
R
P R xP yP zP R z
k
R

− + +





− + +

=



− + +




r
r
r
( )
( ) ( )
( )
3 5
3 5
3
1
3
x y z
PR xi y j zk
iP jP kP
R R
PR

P
R
R R
+ +
= + + −
= −
urur r r r
r r r
urur
ur
ur
Đề 6: Tính thông lượng của bán
kính vector
R
ur
qua một mặt trụ có
bán kính a và chiều cao h,
đặt như hình vẽ ( Tính bằng công
thức O – G và bằng phương pháp
trực tiếp).
Bài giải:
a/ Tính bằng định lí O – G:
Định lí O – G:
S V
RdS divRdV=
∫ ∫
ur ur ur
Ñ
Ta biết:
y

x z
R
R R
R xi y j zk div R
x y z
∂
∂ ∂
= + + ⇒ = + +
∂ ∂ ∂
ur r r r ur
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
2
3 3
S V
RdS dV a h
π
⇒ = =
∫ ∫
ur ur
Ñ
a. Tính trực tiếp:
( )
2
1 1
1
2
2 2

2
2. 2
0
S
S
h
R dS hS h a
R
h
R dS hS h a
R
π
π

= =
∫



= = =
∫





Từ (1) và (2), ta được:
2
3
S

Rd S a h
π
=
∫
ur ur
Ñ
Đề 7. Hai vòng tròn mảng, bán kính
cùng bằng R, tích điện đều và xếp đặt
như hình vẽ. Điện tích vành ngoài
1
O

là
1
e
điện tích vành ngoài
2
O
là
2
e
.
Công cần thiết để đưa điện tích e từ vô
cực đến
1
O
và
2
O
lần lượt là

1
A
và
2
A
. Tính các điện tích
1
e
và
2
e
Bài giải:
( )
1 2 3
1
S S S S
RdS RdS Rd S Rd S
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
ur ur ur ur ur ur ur ur
Ñ
( )
1 1
2 2
3
3
cos
cos
0
S S

S S
S
RdS R dS
RdS R dS
RdS vi R S
ϕ
ϕ

=
∫ ∫



=
∫ ∫



= ⊥
∫


ur ur
ur ur
ur ur ur ur
#
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L

- Xét vành
1
O
:
Thế vô hướng tại
1
O
gây bởi 2 vành điện tích
1
e
và
2
e
với khoảng cách R và
2 2
R a
+
:
Theo nguyên lý chồng chất điện trường ta có:
- Thế vông hướng tại O1 do
1
e
và
2
e
gây ra là:
1 2
1 11 21
2 2
1

4
e e
R
R a
ϕ ϕ ϕ
πε
 
= + = +
 ÷
+
 
Với
1 1
1
0
O
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
∞ ∞
= ⇒ = − =
là hiệu điện thế tại
1
O
Điện thế
1
ϕ
bằng công dịch chuyển 1 điện tích dương từ
1
O
∞ →
( )

1 1 2
1
2 2
1
1
4
A e e
e R
R a
ϕ
πε
 
= = +
 ÷
+
 
- Tương tự đối với vành
2
O
:
( )
2 2 1
1
2 2
1
2
4
A e e
e R
R a

ϕ
πε
 
= = +
 ÷
+
 
Từ (1) và (2), ta được:
(
)
(
)
2 2 2 2
1 1 2
2
2 2 2 2
2 2 1
2
4
4
e R R a A R a A R
ea
e R R a A R a A R
ea
πε
πε
= + + −
= + + −
1
11

2
2
21
2 2
1
.
4
1
4
.
4
r r
e
R
e dr
Edl
e
r
R a
ϕ
πε
ϕ
πε
ϕ
πε
∞ ∞

=



= = ⇒
∫ ∫


=

+

ur r
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
Đề 8. Dùng định lý O – G để tính điện trường ở trong và ngoài một quả cầu
bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích mặt
ρ
=const. Hằng số điện
môi ở trong và ngoài quả cầu đều bằng
ε
.
Bài giải:
- Theo định lý O – G ta có:
divD
divE
D E
ρ
ρ
ε
ε


=

⇒ =

=


ur
ur
ur ur
- Xét trong hệ tọa độ cầu, do điện tích trong quả cầu phân bố đều:
( )
E E r
=
ur ur
( ) ( )
2 2 2
2
3
2
1
3
.
3 3
r
divE r E r E r
r r r
E r
r
r E E r

ρ ρ
ρ
ε ε
ε
ρ ρ
ε ε
∂ ∂

= = ⇒ =

∂ ∂ 
⇒ =


⇒ = ⇒ =


ur
uur r
- Xét những điện tích ngoài quả cầu:
S
DdS e
=
∫
ur ur
Ñ
Do
D
ur
cùng phương với vector pháp tuyến của mặt cầu, ta có:

2 3
3
3
3 3
2 2
4
4
3
3
3 3
S
N
DdS D r R
R
E r
r
R R
D E
r r
π ρ π
ρ
ε
ρ ρ
ε

= =
∫


⇒ =



⇒ = ⇒ =


ur ur
Ñ
uuur r
Đề 9. Tính điện dung của một tụ điện
có chiều dài bằng d và khoảng cách
giữa hai bản chứa hai điện môi khác
nhau.
Bài giải:
- Theo định lý O – G ta có:
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
1 2 3
S S S S
DdS q DdS Dd S DdS
= = + +
∫ ∫ ∫ ∫
ur ur ur ur ur ur ur ur
Ñ
Vì
D r
=
ur r
, nên:

1 2
0
S S
DdS DdS
= =
∫ ∫
ur ur ur ur
( )
1 2
3
.2 .
2 . 2 . .
S
DdS q D r d q R r R
q q
D E
r d r d
π
π ε π
= ⇒ =
∫
⇒ = ⇒ =
ur ur
p p
Mặt khác, ta có:
E grad
ϕ
= −

1

ln
2
q
r C
d
ϕ
πε
⇒ = − +
Với
1 1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
ln
2
ln
2
ln
2
R
R a
a
q
R C
d
q a

R r a
q
d R
a C
d
ϕ
πε
ϕ ϕ ϕ
πε
ϕ
πε

= − +


⇒ ⇒∆ = − =


= − +


p p
1 1
1
2
2
2 1
1
2
1

2
ln
2
ln
2
ln
2
R
a R
a
q
R C
d
Rq
a r R
q
d a
a C
d
ϕ
πε
ϕ ϕ ϕ
πε
ϕ
πε

= − +


⇒ ⇒∆ = − =



= − +


p p
Vậy hiệu điện thế giữa hai bản tụ là:
2
1 2
1 1 2
1 1
ln ln
2
Rq a
d R a
ϕ ϕ ϕ
π ε ε
 
∆ = ∆ − ∆ = +
 ÷
 
Điện dung của tụ là:
2
1 1 2
2
1 1
ln ln
q d
C
R

a
R a
π
ϕ
ε ε
= =
∆
+
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
Đề 10. Một hình cầu bán kính R, tích
điện đều trên bề mặt ngoài với mật độ
bằng
ρ
và quay quanh trục của nó
với vận tốc
ω
. Tính cảm ứng từ bên
trong hình cầu?
Bài giải:
Ta có:

Theo định lý O – G :
. .n dS dV
V
S
ϕ ϕ
= ∇

∫ ∫
ur
Ñ
( )
2
1 4 4
3
.
3
3 3
dS r
dV r r
r r
r
V
S
π π
⇒ = ∇ = =
∫ ∫
uuur
r
r
Ñ
Từ (1) và (2), ta được:
4
0 0
. .
4 3 3
0
.

3
R
A R r r
R
B rot A rot r
µ µ δ
δ ω π ω
π
µ δ
ω
 
 
= =
 
 
 
 
→ = =
 
ur ur r ur r
ur ur ur r
( )
0
.
0 0
4
. 1
4 4
.
dS

A i
R
dS
I
mat
r
A dS R
S
r r
S S
i V R
µ
δ ω
µ µ
π
δ ω
π π
δ δ ω

 
=

∫
 

 
→ = =
∫ ∫

 

 

 
= =

 

uuuuuuuuur
ur r
ur ur
ur
ur ur
r ur ur ur
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
( ) ( )
( )
( )
0 0
. . . . .
2
3 , . .
3
. . 0, 0
rot r divr r r div r
divr r B R
r div r
ω ω ω ω ω

ω ω ω ω µ δ ω
ω ω

 
= − ∇ + ∇ −
 


= ∇ = → =


∇ = =


ur r rur ur r r ur urr
rur ur ur r ur uur
r ur urr
Đề 11.Một mạch dao động gồm cuộn tự cảm L và một tụ điện phẳng có điện
tích mỗi bản bằng S, môi trường giữa các bản có độ dày bằng d và hằng số điện
môi
ε
. Tính chu kỳ dao động của mạch , cho biết L = 0.1 H; S = 500
2
cm
, d =
1 mm,
0
2
ε ε
=

, R=0.
Bài giải:
- Cường độ điện trường do mỗi bản gây ra:
E
σ
ε
=
Ta có: E = -grad
d
d Edx
dx
ϕ
ϕ ϕ
=− → = −
0 0 0
d d d
d Edx dx d
σ σ
ϕ ϕ
ε ε
⇒ = = − = − = −
∫ ∫ ∫
Điện dụng của tụ C sẽ là:
q s s
C
d
d
σ ε
σ
ϕ

ε
= = =
Vì dòng điện chạy trong L, C, có R=0, coi không có thể điện động ngoại lai :
( )
0
n
ξ
=
Ta có:
Trong đó: Tần số dòng:
( )
2
2
2
2
1 1
0
0
.sin .
d I
I if
dt LC LC
I I
I A t
ω
ω
ω ϕ
••
 
+ = =

 ÷
 
→ + =
⇔ = +
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
2 1
2 .
2 . 2 . .
f
T
LC
s
T LC L
d
π
ω π
ε
π π
= = =
→ = =
Thay số, ta được:
( )
2
5
0
3 9
2

0,1.5.10 .2
2 . . 2 9,4.10 sec
10 .4 .9.10
s
T L
d
ε
π π
π
−
−
−
→ = = =
Đề 12. Chứng minh rằng với các sóng phẳng đơn sắc, nếu thế vector
A
ur
thỏa
mãn phương trình
( )
0
.expA A i kr t
ω
= −
ur ur rr
thì các vector điện trường và từ
trường thỏa mãn các hệ thức:
.B i k A va E i A
ω
 
= =

 
ur r ur ur ur
#
Bài giải:
- Ta có:
B rot A
=
ur ur
, Trong đó:
( )
( )
( )
0
0
0
.exp
.exp
.exp
x x
y y
z z
A A i kr t
A A i kr t
A A i kr t
ω
ω
ω
= −
= −
= −

rr
rr
rr
- Ta được:
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
-
x y z
x z
y z x y
i j k
B rot A
x y z
A A A
y z x y
i j k
x z
A A
A A A A
B ik A
 
 ÷
∂ ∂ ∂
 ÷
= =
 ÷
∂ ∂ ∂
 ÷

 ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂
   
∂ ∂
 
 ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
= − +
∂ ∂
 ÷  ÷
 ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
   
→ =
r r r
ur ur
r r r
ur rur
- Vậy phương trình Macxell dạng:
( )
0
. .exp
.
B rot A A
rotE rot
t t t

A
E A i i kr t
t
i A
ω ω
ω
 
∂ ∂ ∂
= − = − = −
 ÷
∂ ∂ ∂
 
∂
→ = − = − −
∂
= −
ur ur ur
ur
ur
ur ur rr
ur
Đề 13: Tính điện dung của một tụ điện hình cầu có bán kính các bản là:

1 2
,R R
, khoảng cách giữa hai bản chứa hai điện môi khác nhau.
Bài giải:
- Điện trường bên ngoài quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện
tích
ρ

, hệ số điện môi
ε
là:
1
3
4 :
R r
e r
E
r e dien tich hinh cau ban kinh R
πε
≤

=


r
ur
- Hiệu điện thế giữa hai bản tụ:
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
2
2 2 2
1 2
1
1 1 1
1 2
3 2

2 1
1
4 4 4
1 1
4
R
R R R
R R
R
R R R
R R
e r e e
U Edr dr dr
r r r
e
U
R R
πε πε πε
πε
= − = − = − =
 
⇔ = −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
r
ur r r r
- Điện dung của tụ cầu:
( )
1 2

1 2
1 2
2 1
4
1 1
1 1
4
R R
e e
C R R
U
e
R R
R R
πε
πε
= = =
 
−
−
 ÷
 
p
Đề 14. Hai tụ điện có điện dung bằng
1 2
,C C
; điện tích bằng
1 2
,e e
, được mắc

song song với nhau. Tính và giải thích sự biến đổi điện tích tĩnh điện của
chúng?
Bài giải:
- Năng lượng các tụ khi chưa đấu nối với nhau:
2 2
1 1
1
2 2
1 1
1 2
1 2
2 2
1 2
2 2
2
2 2
1 1
W
2 2
1
W W W
2
1 1
W
2 2
q e
C C
e e
C C
q e

C C

= =

 

⇒ = + = +

 ÷
 

= =


- Năng lượng các tụ khi được đấu nối song song với nhau:
( )
2
2
1 2
'
1 2
1 2
1 2
1 1
W
2 2
C C C
e e
e
e e e

C C C
= +
+

⇒ = =

= +
+

- Sự biến đổi năng lượng tĩnh điện:
14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
( )
( )
( )
2
2 2
'
1 2
1 2
1 2 1 2
2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 1
W W W
2 2
1

0
2
e e
e e
C C C C
e C e C
C C C C
+  
∆ = − = − +
 ÷
+
 
− −
= ≤
+
- Vậy năng lượng của hai tụ giảm .
Đề 15. Một vật dẫn hình trụ dài vô tận, có một lỗ rỗng hình trụ dài vô tận.
Trong phần đặc của vật có dòng điện mật độ là j. Tính từ trường trong phần
rỗng? Bài giải:
Từ trường trong phần rỗng là sự chồng chập của hai từ trường:
 Từ trường do hình trụ lớn gây ra.
 Từ trường do phần trụ rỗng gây ra.
Xét điển M bất kì lắm trong lỗ rỗng
- Từ trường do hình trụ lớn gây ra tại M:
- 1. Áp dụng công thức dòng toàn phần dưới tích phân do dòng điện không
đổi:
- Theo công thức Bioxava:
Do:
( )
1

,H j r⊥
uur r r
1
3
.
4
j r
I
H dV
r
π
 
 
=
∫
r r
uur
1
2
1 1 1 1 1
. 2
2
C
jR
H dl I j S RH j R H
π π
= = ⇒ = ⇒ =
∫
uur uur
Ñ

14
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Lớp: DH9L
Ta được:
1
1
.
2
H j r
 
=
 
uur r r
- Từ trường do hình trụ rỗng gây ra: Với mật độ j thì cảm ứng từ tại M do
phần rỗng O gây ra với
1
O M r=
uuuur r
:
'
2
1
.
2
H j r
 
= −
 
ur

uuur r
=> Vậy từ trường tổng hợp tại M là:
( )
( )
1 2
0 0 1
1
. '
2
1
. OO
2
H H H j r r
H j r r
 
= + = −
 
 
⇒ = =
 
uur uur uuur r r r
uur r ur ur uuuur