Bài tập Điện động lực học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (274.32 KB, 23 trang )
Đề 1. Biểu diễn rot, grad, div trong hệ tọa độ Đêcac và chứng minh rằng :
Rotgrad u = 0
Div rot
A
ur
= 0
Bài giải: Ta có: Grad
u
r
=
u u u
i j k
x y z
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
ur
r ur
Rot
A
ur
= =
Div
A
ur
= + +
1. Rot grad u =
=
i
y
∂
∂
r
j
z
∂
∂
r
+
k
x
∂
∂
r
u u u
y z x
i j k
z x y
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
− − −
∂ ∂ ∂
ur
r ur
=
2 2 2 2 2 2
. . . . . .
u u u u u u
i j k
y z z y z x x z x y y x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ur
r ur
= 0
2. Div rot
A
ur
=
A A
A A
A A
y y
x x
z z
x y z y z x z x y
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
=
2 2
2 2
2 2
. . . . . .
A A
A A
A A
y y
x x
z z
x y x z y z y z z x z y
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= 0
2
Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm
Đề 2. Tính div
.I R
r ur
=? Trong đó
I
r
là vector không đổi,
R
ur
là bán kính vector.
Bài giải:
Ta có:
x y
z
I iI jI kI= + +
r r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
.
x y z
i j k
I R I I I
x y z
⇒ =
r r r
r ur
=
( )
( )
( )
y z x z x y
i I z I y j I z I x k I y I x
− − − + −
r r r
( )
( )
( )
.
0
y z x z x y
x y z
div I R I z I y I z I x I y I x
x y z
y z z x x y
I I I
z y x z y x
∂ ∂ ∂
= − − − + −
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − + − + − = ⇒
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r ur
W
2
Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm
Đề 3. Tính
.div I R M
r ur uur
, Trong đó
I va M
r uur
#
là vector không đổi,
R
ur
là bán kính
vector.
Bài giải:
Ta có:
x y
z
M iM jM kM
= + +
uur r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
.M R
⇒
uur ur
=
( )
( )
( )
z y z x y x
x y z
i j k
x y z i yZ zM j xZ zM k xM yM
M M Z
= − − − + −
r r r
r r r
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
.
x y z
z y z x y x
y y x z z x
x y x z z y
x z x y z y
i j k
I R M I I I
yZ zM xZ zM xM yM
i I xM yM I xZ zM
j I xM yM I yZ zM
k I xZ zM I yZ zM
⇒ =
− − −
− − −
= − − − −
+ − − −
r r r
r uuruur
r
r
r
( )
.
2
2
y y z z x x x x z z y y
x x y y z z
div I R M I M I M I M I M I M I M
I M I M I M
IM
= + + + + +
= + +
= ⇒
r uuruur
W
Đề 4. Tính:
2
Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm
( )
{ }
.
R
rot U R va rot I R
ur r ur
#
Trong đó:
I
r
là vector không đổi và
R
ur
là bán kính vector.
Bài giải:
a. Ta có:
( ) ( )
( )
R R
U R U xi y j zk= + +
ur r r r
( )
{ }
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
R R
R R R
R R R
R R
i zU yU
y z
i j k
rot U R j zU xU
x y z x z
xU yU zU
k yU xU
x y
U R U R
R R
i z y
R y R z
U R U R
R R
j z x
R x R z
U R
R
k y x
R x
∂ ∂
−
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⇒ = = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
+ −
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
−
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= − −
∂ ∂ ∂ ∂
∂
∂
+ −
∂ ∂
r
r r r
ur r
r
r
r
r
( )
( )
( )
1
U R
R
R y
U R
R R R R R R
z y i z x j y x k
R y z x z x y
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − − − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r r r
Mặc khác, ta có:
2 2 2 2
; ;
R x R y R z
R x y z
x R y R z R
∂ ∂ ∂
= + + ⇒ = = =
∂ ∂ ∂
2
Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm
( )
2
R R
y z
z y
z y
y z
R R
R R x z
z x z x
x z R R
x y
R R
y x
y x
R R
x y
∂ ∂
−
−
∂ ∂
∂ ∂
⇒ − = −
∂ ∂
∂ ∂
−
−
∂ ∂
Từ (1) và (2), ta được:
( )
{ }
0
R
rot U R
= ⇒
ur
W
b. Ta có:
x y
z
I iI jI kI= + +
r r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
( )
( )
( )
.
x y z y z x z x y
i j k
I R I I I i I z I y j I z I x k I y I x
x y z
⇒ = = − − − + −
r r r
r ur r r r
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
x y x z
x y y z
y z x z x y
x z y z
x x y y z z
x y
i I y I x I z I x
y z
i j k
rot I R j I y I x I z I y
x y z x z
I z I y I z I x I y I x
k I z I x I z I y
x y
i I I j I I k I I
iI jI
∂ ∂
− − −
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⇒ = + − − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − −
∂ ∂
+ − − −
∂ ∂
= + + + + +
= +
r
r r r
rur r
r
r r r
r r
( )
2
z
kI I+ = ⇒
r r
W
2
Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm
Đề 5. Tính:
3
PR
grad
R
urur
Trong đó:
P
ur
là vector không đổi
R
ur
là bán kính vector.
Bài giải:
Ta có:
( )
3
3 2 2 2
2
x y z
PR xP yP zP
R x y z
= + +
= + +
urur
2
Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
3 3 3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
6
3
6
3
3
.2
2
3
.2
2
3
.2
2
x y z x y z x y z
x x y z
y x y z
z x y z
xP yP zP xP yP zP xP yP zP
PR
grad i j k
R x y z
x y z x y z x y z
P R xP yP zP R x
i
R
P R xP yP zP R y
j
R
P R xP yP zP R
k
+ + + + + +
∂ ∂ ∂
⇒ = + +
∂ ∂ ∂
+ + + + + +
− + +
− + +
=
− + +
urur
r r r
r
r
r
( )
( ) ( )
( )
6
3 5
3 5
3
1
3
x y z
z
R
PR xi y j zk
iP jP kP
R R
PR
P
R
R R
+ +
= + + −
= − ⇒
urur r r r
r r r
urur
ur
ur
W
Đề 6: Tính thông lượng của bán
kính vector
R
ur
qua một mặt trụ có
bán kính a và chiều cao h,
đặt như hình vẽ ( Tính bằng công
thức O – G và bằng phương pháp
trực tiếp).
Bài giải:
a. Tính bằng định lí O – G:
Định lí O – G:
S V
RdS divRdV=
∫ ∫
ur ur ur
Ñ
2
Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm
Ta biết:
y
x z
R
R R
R xi y j zk div R
x y z
∂
∂ ∂
= + + ⇒ = + +
∂ ∂ ∂
ur r r r ur
2
3 3
S V
Rd S dV a h
π
⇒ = = ⇒
∫ ∫
ur ur
W
Ñ
b. Tính trực tiếp:
( )
1 2 3
1
S S S S
RdS Rd S RdS Rd S
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
ur ur ur ur ur ur ur ur
Ñ
( )
( )
1 1
2 2
3
3
2
1 1
1
2
2 2
2
cos
cos
0
2. 2
0
S S
S S
S
S
S
RdS R dS
RdS R dS
RdS vi R S
h
R dS hS h a
R
h
R dS hS h a
R
ϕ
ϕ
π
π
=
∫ ∫
=
∫ ∫
= ⊥
∫
= =
∫
= = =
∫
ur ur
ur ur
ur ur ur ur
#
Từ (1) và (2), ta được:
2
3
S
RdS a h
π
= ⇒
∫
ur ur
W
Ñ
2
Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm
Đề 7. Hai vòng tròn mảng, bán kính
cùng bằng R, tích điện đều và xếp đặt
như hình vẽ. Điện tích vành ngoài
1
O
là
1
e
điện tích vành ngoài
2
O
là
2
e
. Công
cần thiết để đưa điện tích e từ vô cực
đến
1
O
và
2
O
lần lượt là
1
A
và
2
A
. Tính
các điện tích
1
e
và
2
e
Bài giải:
- Xét vành
1
O
:
Thế vô hướng tại
1
O
gây bởi 2 vành điện tích
1
e
và
2
e
với khoảng cách R và
2 2
R a
+
:
1
11
2
2
21
2 2
1
.
4
1
4
.
4
r r
e
R
e dr
Edl
e
r
R a
ϕ
πε
ϕ
πε
ϕ
πε
∞ ∞
=
= = ⇒
∫ ∫
=
+
ur r
Theo nguyên lý chồng chất điện trường ta có:
- Thế vông hướng tại O1 do
1
e
và
2
e
gây ra là:
