ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN TIN THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2013-2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 1 0
VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán
(Dành cho học sinh thi chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút.
Không kể thời gian giao đề
Câu 1: (3,0 điểm)
a) Giải h ệ phương trình:
 
2
2
x xy 2y 2 0
x,y
y xy 3x y 0
   









b ) G i ải phương trình:
 
22
x 3x 2 x 1 6 3 x 1 2 x 2 2 x 1 , x           
.

Câu 2: (2,0 đ i ể m)
a) Chứng minh rằn g n ếu n

l à s ố nguyên dương thì
 
2013 2013 2013
2 1 2 n  
chia hết cho
n(n+1).
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q thỏa mãn điều kiện
22
p 2q 1
.
Câu 3: (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh:
  
2 2 2
a b c ab bc ca 3 a b b c .       
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC và nội t i ếp đường tròn (O). D là điểm đối x ứn g v ới A q u a
O. Tiếp tuyến v ới ( O ) t ại D c ắt BC tại E. Đườn g t h ẳng DE lần lượt cắt các đườn g t h ẳn g
A B ,
A C t ại K, L. Đườn g t h ẳng qua A song song với E O c ắt DE tại F. Đườn g t h ẳng qua D song
song với E O lần lượt cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằn g :
a) Tứ giác BCLK nội t i ếp.
b ) Đườn g t h ẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại t i ếp tam giác BCF.
c) D là trung điểm c ủa đoạn t h ẳng MN.
Câu 5: (1,0 điểm)
Xét 20 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, 3, , 20. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính
chất: Với m ỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt a và b

sao
cho a + b

l à m ột số nguyên tố.
Hế t
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!