Đề thi thử Đại học môn Toán khối B, D năm 2013 - Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc

www.MATHVN.com

www.mathvn.com
1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán 12. Khối B
−
D
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)
Câu I. (2,5 điểm) Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
= − − +

(
)
1

1. Khả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố

(
)
1
.
2. V
ớ
i nh
ữ
ng giá tr
ị
nào c
ủ
a
m
thì
đườ
ng th
ẳ
ng n
ố
i hai c
ự

c tr
ị

đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố

(
)
1
ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng tròn
(
)
(
)
(
)
2 2
: 1 5
C x m y m

− + − − =

Câu II. (2,5 điểm)

1.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
2
3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0
x x x x
+ − + − =

2.

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2

3 2
8 12
2 12 0
x y
x xy y
+ =


+ + =


( , )
x y
∈
ℝ

Câu III. (1,0 điểm)
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n:
2
3
1
7 5
lim
1
x
x x

L
x
→
+ − −
=
−

Câu IV. (1,0 điểm)
Cho t
ứ
di
ệ
n
ABCD
có
AD
vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
ABC
,
3 ; 2 ; 4 ,
AD a AB a AC a
= = =


0
60
BAC
=
.G
ọ
i
,
H K
l
ầ
n l
ượ
t là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
B
trên
AC
và
CD
.
Đườ
ng th
ẳ

ng
HK
c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
AD
t
ạ
i
E
.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
BE
vuông góc v
ớ
i
CD
và tính th
ể
tích kh
ố
i t
ứ

di
ệ
n
BCDE
theo a.
Câu V. (1,0 điểm)

Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

2 1 4
1 2
x x
y
x x

− − +
=
+ − +

PHẦN RIÊNG (2,0 điểm).Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a. (1,0 điểm)
Cho tam giác
ABC
có
( 2;1)
B
−
,
đườ
ng th
ẳ
ng ch
ứ
a c
ạ
nh
AC
có ph
ươ
ng trình:
2 1 0
x y
+ + =
,

đườ
ng th
ẳ
ng ch
ứ
a trung tuy
ế
n
AM
có ph
ươ
ng trình:
3 2 3 0
x y
+ + =
. Tính di
ệ
n tích c
ủ
a
tam giác
ABC
.

Câu VII.a. (1,0 điểm)
Tính t
ổ
ng:
0 1 2 3 2012
2012 2012 2012 2012 2012

2 3 4 2013
S C C C C C
= + + + + +

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b. (1,0 điểm)
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ

Oxy
, cho
đ
i
ể
m
(
)
1;0

E −
và
đườ
ng tròn
(
)
2 2
: 8 4 16 0
C x y x y
+ − − − =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua
đ
i
ể
m
E
c
ắ
t
đườ

ng tròn
(
)
C

theo dây cung
MN
có
độ
dài ng
ắ
n nh
ấ
t.

Câu VIIb. (1,0 điểm)

Đề chính thức

(
Đề
thi g
ồ
m 01 trang)
www.MATHVN.com

www.mathvn.com
2

Cho khai triển Niutơn

(
)
2
2 2 2 *
0 1 2
1 3 ,
n
n n
x a a x a x a x n
− = + + + + ∈
⋯ ℕ
.Tính h
ệ
s
ố

9
a
bi
ế
t
n
tho
ả

mãn h
ệ
th
ứ
c:

2 3
2 14 1
.
3
n n
C C n
+ =

Hết


ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán; Khối:B+ D
(Đáp án – thang điểm: gồm 05 trang)

Câu
Đáp án
Điểm
1. (1,0 điểm)

3 2
3 4
y x x
= − − +

+ Tập xác định:
D
=
ℝ

+ Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
2
' 3 6 , ' 0
0
x
y x x y
x
= −

= − − = ⇔

=


Hàm s
ố đã cho nghịch biến trên các khoảng
(
)
; 2
−∞ −
và
(
)
0;
+∞
, đồng
biến trên khoảng

(
)
2;0
−
.
0,25
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
C (0)
0; 4
Đ
x y y
= = =

Hàm số đạt cực tiểu tại
CT ( 2)
2; 0
x y y
−
= − = =

- Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞


0,25
- Bảng biến thiên:

x

−∞

-2 0
+∞

,
y


−


0


+


0

−



y
+∞

0
4






−∞




0,25
+ Đồ thị


0,25
2. (1,0 điểm)
I
(2,0 điểm)

Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu
(
)
2;0
A
−
,cực đại

(
)
0;4
B
.Phương trình đường


0,50
www.MATHVN.com

www.mathvn.com
3

th
ẳng nối hai cực trị của hàm số (1) là:
( )
: 1
2 4
x y
AB
+ =
−

(
)
:2 4 0
AB x y
⇔ − + =

(

)
(
)
(
)
2 2
: 1 5
C x m y m
− + − − =
có tâm
(
)
; 1
I m m
+
bán kính
5
R =




Đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
AB
ti

ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng tròn
(
)
(
)
(
)
;
C d I AB R
⇔ =

(
)
( )
2
2
2 1 4
8
5 3 5
2
2 1
m m
m
m
m

− + +
= −

⇔ = ⇔ + = ⇔

=

+ −

0,50

Đ
áp s
ố
:
8
m
= −
hay
2
m
=


Câu II
1.( 1,25điểm)

(2,5điểm
)
Pt:

(
)
(
)
2
3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0
x x x x
+ − + − =




(
)
2
2 3 1 sin 3cos 2 3 3sin 2sin cos 0
x x x x x
⇔ − + − + − =

(
)
(
)
3sin 3 2sin cos 3 2sin 0
x x x x
− + − =

0,50

( )( )

3 2sin 0
3 2sin 3sin cos 0
3sin cos 0
x
x x x
x x

− =
− + = ⇔

+ =



0,25

2
3
3
sin
2
2
2
3
1
tan
3
6
x k
x

x k
x
x k
π

= + π



=

π


⇔ = + π


= −


π


= − + π



(
)
k

∈
Z

0,25

Phương trình có ba họ nghiệm
2
2 ; 2 ;
3 3 6
x k x k x k
π π π
= + π = + π = − + π

(
)
k
∈
Z

0,25

2.( 1,25 điểm)


H
ệ
ph
ươ
ng trình
(

)
( )
2 2
3 2
8 12 *
2 12 0 **
x y
x xy y
+ =



+ + =



Th
ế
(*) vào (**) ta
đượ
c:
(
)
3 2 2 2
2 8 0
x xy x y y
+ + + =

0,25

(
)
(
)
(
)
3 3 2 2
8 2 0 2 2 4 0
x y xy x y x y x xy y xy
⇔ + + + = ⇔ + − + + =

0,25

Tr
ườ
ng h
ợ
p 1:
2 0 2
x y x y
+ = ⇔ = −
th
ế
vào (*) ta
đượ
c
2 2
12 12 1 1 2
y y y x
= ⇔ = ⇔ = ±

⇒
=
∓

0,25
www.MATHVN.com

www.mathvn.com
4


Trường hợp 2:
2
2
2 2
0
15
4 0 0
2 4
0
2
y
y y
x xy y x
y
x
=


 

− + = ⇔ − + = ⇔

 
− =
 



0
x y
⇒ = =
không thoả mãn (*) hệ vn
0,25

Đáp số:
(
)
(
)
(
)
; 2; 1 , 2;1
x y
= − −

0,25
Câu III
(1,0 điểm)

2 2
3 3
1 1 1
7 5 7 2 2 5
lim lim lim
1 1 1
x x x
x x x x
L
x x x
→ → →
+ − − + − − −
= = +
− − −

0,25

( ) ( )
(
)
( )
(
)
2 2
3
2
2
1 1
3
3

2 5
7 2
lim lim
1 2 5
1 7 2 7 4
x x
x
x
x x
x x x
→ →
− −
+ −
= +
 
− + −
− + + + +
 
 

0,25

( )
(
)
22
1 1
3
3
1 1 1 1 7

lim lim
12 2 12
2 5
7 2 7 4
x x
x
x
x x
→ →
+
= + = + =
 
+ −
+ + + +
 
 

0,25

Vậy :
7
12
L
=

0,25
Câu IV
(1,0 điểm)

Vì
(
)
;
BH AC BH AD BH ACD BH CD
⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

mà
(
)
BK CD CD BHK CD BE
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

0,25

T
ừ
gt ta có
0 2 2
1 1 3
sin60 8 2 3
2 2 2
ABC
S AB AC a a
∆
= ⋅ ⋅ = =

0
1
cos60 2 .

2
AH AB a a
= = =

0,25

Vì
(
)
CD BHK CD KE AEH ACD
⊥
⇒
⊥
⇒
∆ ∆
∼
do
đ
ó
4 4 13
3
3 3 3
AE AH AH AC a a a
AE DE a
AC AD AD
⋅
= ⇒ = = ⇒ = + =
0,25

3

2
. .
1 1 13 26 3
2 3
2 3 3 9
BCDE D ABC E ABC ABC
a a
V V V DE S a
∆
⋅
= + = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

0,25
Câu V
(1,0 điểm)


2 1 4
1 2
x x
y
x x
− − +
=
+ − +
T
ậ
p xác
đị
nh c

ủ
a hàm s
ố
là
[
]
0;1
D =



Đặ
t
cos
0;
2
1 sin
x t
t
x t

=
π
 

 
∈

 
 

 
 
− =



0,25

Khi
đ
ó
( )
2cos sin 4
cos sin 2
t t
y f t
t t
− +
= =
+ +
v
ớ
i
0;
2
t
π
 
∈
 

 

0,25
www.MATHVN.com

www.mathvn.com
5


xét hàm số
( )
2cos sin 4
cos sin 2
t t
f t
t t
− +
=
+ +
với
0;
2
t
π
 
∈
 
 

( )

( )
'
2
3 6cos
0 0;
2
sin cos 2
t
f t t
t t
− − π
 
= < ∀ ∈
 
+ +
 
v
ậ
y hàm s
ố

(
)
f t
liên t
ụ
c và
ngh
ị
ch bi

ế
n trên
đ
o
ạ
n
0;
2
π
 
 
 

0,25

do
đ
ó
( ) ( ) ( )
0 0; 1 2 0;
2 2 2
f f t f t f t t
π π π
     
≤ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ≤ ∀ ∈
 
   
     

giá tr

ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
(
)
(
)
max 0 2 0 0
y f t f t x
= = = ⇔ = ⇔ =

giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
( )
min 1 1
2 2
y f t f t x
π π

 
= = = ⇔ = ⇔ =
 
 

0,25
câu VIA
(1,0 điểm)


Do
:
C dt
∈

2
2 1 0 ( , 2 1) ,
2
a
x y C a a M a
−
 
+ + = ⇒ − − ⇒ −
 
 

:
M dt
∈

3 2 3 0 0 (0, 1)
x y a C
+ + =
⇒
=
⇒
−
.
To
ạ

độ

A
là nghi
ệ
m h
ệ

3 2 3 0
(1, 3) ( 1,2) 5
2 1 0
x y
A AC AC
x y
+ + =

⇒ − ⇒ − ⇒ =

+ + =




0,50

K
ẻ

( )
BH AC H AC
⊥ ∈




4 1 1
2 1
( , ) . 1
2
5 5
ABC
BH d B AC S AC BH
− + +
= = = ⇒ = =
(dvdt).
V
ậ
y
1
ABC

S
=
(dvdt).
0,50
Câu 7A
(1,0điểm )


0 1 2 3 2012
2012 2012 2012 2012 2012
2 3 4 2013
S C C C C C
= + + + + +



Ta có
( )
( )
1
2012 2012 2012 2012 2011 2012
2012!
1 2012
! 2012 !
k k k k k k
k C kC C k C C C
k k
−
+ = + = + = +
−

với
0,1,2, ,2012
k
∀ =

0,25
www.MATHVN.com

www.mathvn.com
6


(
)
(
)
0 1 2011 0 1 2012
2011 2011 2011 2012 2012 2012
2012S C C C C C C= + + + + + + +⋯ ⋯

0,25

(
)
(
)
2011 2012
2011 2012 2012
2012 1 1 1 1 2012 2 2 1007 2

S = + + + = ⋅ + = ⋅

0,25

Vậy
2012
1007 2
S
= ⋅

0,25
Câu VI B
(1,0 điểm)


Đường tròn
( )
C
có bán kính
6
R
=

và tâm
(4;2)
I

Khi đó:
29 6 ,
IE R

= < =
suy ra
điểm
E
nằm trong hình tròn
( )
C
.


Giả sử đường thẳng
∆
đi qua
E
cắt
( )
C
tại
M
và
N
. Kẻ
IH
⊥ ∆
.
Ta có
( , )
IH d I IE
= ∆ ≤
.

0,50

Như vậy để
MN
ngắn nhất
IH
⇔
dài nhất
H E
⇔ ≡ ⇔ ∆
đi qua
E
và
vuông góc với
IE

0,25

Ta có
(5;2)
EI
=

nên đường thẳng
∆
đi qua
E
và vuông góc với
IE
có

phương trình là:
5( 1) 2 0 5 2 5 0
x y x y
+ + = ⇔ + + =
.
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình:
5 2 5 0
x y
+ + =
.
0,25
Câu 7B
(1,0 điểm )


….
(
)
2
2 2 2 *
0 1 2
1 3 ,
n
n n
x a a x a x a x n
− = + + + + ∈
⋯ ℕ
.
Tính h
ệ

s
ố

9
a
bi
ế
t
n
tho
ả
mãn h
ệ
th
ứ
c:
2 3
2 14 1
.
3
n n
C C n
+ =



Điều kiện
*
, 3
n n

∈ ≥
ℕ


( ) ( )
( ) ( )( )
2 14 1 4 28 1
! !
1 1 2
3
2! 2 ! 3! 3 !
GT
n n
n n n n n n n
n n
⇔ + = ⇔ + =
− − −
− −

0,50

2
3
9
7 18 0
n
n
n n
≥


⇔ ⇔ =

− − =


0,25

T
ừ

đ
ó
( )
( )
18
18
2
18
0
1 3 1 3
k
k
k k
k
x C x
=
− = −
∑

Do

đ
ó h
ệ
s
ố
c
ủ
a
9
9 18
81 3 3938220 3
a C= − = −
0,25


Lưu ý khi chấm bài:
-Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh.
Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
www.MATHVN.com

www.mathvn.com
7

-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không
được điểm.
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

Hết