ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 SỐ 1

TRƯỜNG THCS HƯNG MỸ
TỔ TOÁN – LÝ
(Đề chính thức)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG
NĂM HỌC :2013 – 2014
MÔN THI:TOÁN – KHỐI 7
Thời gian : 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1 : ( 4 điểm )
Tìm x biết :
2 5 3 4 7
a) x
5 3 2 15 6
− −
 
+ − =
 ÷
 
1 2 5
b) x 1 x 2 x 1 5
4 3 8
     
− + − − + =
 ÷  ÷  ÷
     
Bài 2 : ( 4 điểm )
Tìm số đo các góc của tam giác ABC , biết rằng số đo các góc này tỷ
lệ với 2 , 3 và 4.
Bài 3 : ( 6 điểm )
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
2

4
C
2x 3 5
−
=
− +
b) Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức
a b c a
a b c a
+ +
=
− −
suy ra hệ thức a
2
= b.c
Bài 4 : ( 6 điểm )
Cho ∆ABC có AB < AC . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB
Hai đường trung trực của BD và AC cắt nhau tại E. Chứng minh rằng :
a ) ∆AEB = ∆CED
b ) AE là tia phân giác trong tại đỉnh A của ∆ ABC.
BGH duyệt Tổ trưởng
Thang điểm
Câu Nội dung Điểm
1a)
Ta có :
2 5 3 5 4 7
. . x
5 3 2 3 15 6
− −
+ − =

0.5
2 5 4 7
x
5 2 9 6
− −
+ − =
0.25
4 7 2 5
x
9 6 5 2
− − −
 
= − +
 ÷
 
0.25
4 49
x
9 15
− −
=
0.25
49 4
x :
15 9
− −
=
0.25
49 9
x .

15 4
−
=
−
0.25
147
x
20
=
0.25
1b)
Ta có :
1 2 5
x 1 x 2 x 1 5
4 3 8
− + − − − =
0.5
( )
1 2 5
x 5 1 2 1
4 3 8
 
+ − = − − − −
 ÷
 
0.5
4
x 9
27
=

0.25
7
x 9:
24
=
0.25
24
x 9.
7
=
0.25
216
x
7
=
0.25
2
Trong ∆ABC ta có :
µ
µ µ
0
A B C 180+ + =
0.75
Theo giả thiết ta có :
µ
µ µ
A B C
2 3 4
= =
0.75

Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:
µ
µ µ
µ
µ µ
0
0
A B C A B C 180
20
2 3 4 2 3 4 9
+ +
= = = = =
+ +
1
Suy ra :
µ
µ
µ
µ
µ
µ
0 0
0 0
0 0
A
20 A 40
2
B
20 B 60
3

C
20 C 80
4
= − > =
= − > =
= − > =
0.5
0.5
0.5
Vậy :
µ
µ µ
0 0 0
A 40 ;B 60 ;C 80= = =
3a)
C nhỏ nhất ⇔ (2x – 3 )
2
+5 lớn nhất
0.5
Mà MS : (2x – 3 )
2
+5 ≥ 5 với mọi x ∈ Q
0.5
Vậy : C nhỏ nhất là
4
5
−
khi (2x – 3 )
2
= 0

0.5
⇔ 2x – 3 = 0 ⇔ 2x = 3⇔
3
x
2
=
0.5
3b)
Đặt
a b c a
k
a b c a
+ +
= =
− −
0.25
Ta có : a + b = k (a - b) 0.25
⇒ a + b = k a - kb
0.25
⇒ a - k a = - kb - b
0.25
⇒ a (1- k ) = b(- k – 1)
0.25
( )
( )
k 1
a k 1 k 1
b 1 k k 1 k 1
− +
− − +

⇒ = = =
− − − −
0.25
a k 1
b k 1
+
⇒ =
−
0.25
c + a = k (c - a) 0.25
⇒ c + a = k c - k a
0.25
⇒ c -k c = - k a -a
0.25
⇒ c (1- k ) = a(- k – 1)
0.25
( )
( )
k 1
c k 1 k 1
a 1 k k 1 k 1
− +
− − +
⇒ = = =
− − − −
0.25
c k 1
a k 1
+
⇒ =

−
0.25
a c k 1
b a k 1
+
⇒ = =
−
0.25
a c
b a
⇒ =
0.25
⇒ a
2
= b.c
0.25
4
1
a) xét ∆
v
BEM và ∆
v
DEM có:
BM = DM (gt) 0.5
ME cạnh chung 0.5
Vậy : ∆
v
BEM = ∆
v
DEM (cgv-cgv)

0.25
Suy ra :BE = DE (1) 0.25
xét ∆
v
AEN và ∆
v
CEN có:
AN = CN (gt) 0.5
NE cạnh chung 0.5
Vậy : ∆
v
AEN = ∆
v
CEN (cgv-cgv)
0.25
Suy ra :AE = CE (2) 0.25
AB = CD (gt) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra :∆ AEB = ∆ CED (c-c-c)
0.5
b) Vì ∆
v
AEN = ∆
v
CEN (cmt)
Suy ra :
·
·
ECN EAN=
0.25
Mà

·
·
BAE ECN=
( Do :∆ AEB = ∆ CED)
0.25
Nên
·
·
BAE EAN=
0.5
Mặt khác : AE nằm giữa hai tia AB và AN nên AE là tia
phân giác của góc trong tại đỉnh A của ∆ABC.
0.5