ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 SỐ 7

THI HSG TON 7
Bài 1:(2,5điểm)
A,Thực hiện phép tính : (1 +2 +3 + + 90). ( 12.34 6.68) :






+++
6
1
5
1
4
1
3
1
;
B, Tìm các số x, y nguyên biết rằng:
x 1 1
8 y 4
=
C,Với mọi số tự nhiên n

2 hãy so sánh:
a. A=
2222
1

4

1
3
1
2
1
n
++++
với 1
Bài 2 (1,5đ):
a) So sánh: 2
30
+ 3
30
+ 4
30
và 3.24
10
. b) So sánh: 4 +
33
và
29
+
14
c. Chứng minh với mọi n nguyên dơng thì: 3
n+3
-2
n+2
+3
n
-2

n
chia hết cho 10
Bài 3: ( 2 điểm)
Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau nh thế nào,biết nếu cộng lần lợt độ
dài từng hai đờng cao của tam giác đó thì các tổng này tỷ lệ theo 3:4:5.
Bài 4. (3điểm)
Cho
ABC

có

A
> 90
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia IB lấy
điểm D sao cho IB = ID. Nối C với D.
a. Chứng minh
CIDAIB =
b. Gọi M là trung điểm của AB; N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng I là
trung điểm của MN
c. Chứng minh
ã
ã
AIB BIC<

d. Tìm điều kiện của
ABC

để
AC CD

Bài 5. (1đ) Cho biểu thức A =
2014
14
x
x


. Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị
lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Đáp án (toán 7)
Bài 1
A, Tính . (1+2+3+ +90).( 12.34 6.68) :






+++
6
1
5
1
4
1
3
1
= 0 ( vì 12.34 6.68 = 0).
(0,5)
B,Từ:

x 1 1 1 x 1
8 y 4 y 8 4
= =
Quy đồng mẫu vế phải ta có :
1 x - 2
y 8
=
. Do đó : y(x-2) =8.
Để x, y nguyên thì y và x-2 phải là ớc của 8. Ta có các số nguyên tơng ứng cần tìm trong
bảng sau:
y 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8
x-2 8 -8 4 -4 2 -2 1 -1
x 10 -6 6 -2 4 0 3 1
C, Do
1
11
22

<
nn
với mọi n
2

nên . ( 0,2 điểm )
A< C =
1
1

14
1

13
1
12
1
2222

++

+

+
n
( 0,2 điểm )
Mặt khác:
C =
( ) ( )
1.1
1

5.3
1
4.2
1
3.1
1
+
++++
nn
( 0,2 điểm)
=

+


++++
1
1
1
1

5
1
3
1
4
1
2
1
3
1
1
1
2
1
nn

( 0,2 điểm)
=
1
4
3
2
3
.
2
1
1
11
2
1
1 <=<






+
+
nn
(0,2 điểm )
Vậy A < 1
Bài 2 ( 1,5 điểm)
a) Ta có 4
30
= 2

30
.4
15
3.24
10
= 2
30
.3
11
mà 4
15
> 3
11
4
30
> 3
11
2
30
+ 3
30
+ 4
30
> 3.24
10
(0,5đ)
b) 4 =
36
>
29

33
>
14
(0,25đ)

36
+
33
>
29
+
14
0,5đ
c/ 3
n+2
-2
n+2
+3
n
-2
n
=3
n
(3
2
+1)-2
n
(2
2
+1) = 3

n
.10-2
n
.5
vì 3
n
.10
M
10 và 2
n
.5 =
2n-1
.10
M
10 suy ra 3
n
.10-2
n
.5
M
10 0,5đ
Bài 3(2 )
Gọi độ dài các cạnh tam giác là a, b, c ; các đờng cao tơng ứng với các cạnh đó là h
a
, h
b
,
h
c
.

Ta có: (h
a
+h
b
) : ( h
b
+ h
c
) : ( h
a
+ h
c
) = 3 : 4 : 5
Hay:
1
3
(h
a
+h
b
) =
1
4
( h
b
+ h
c
) =
1
5

( h
a
+ h
c
) = k ,( với k

0).
Suy ra: (h
a
+h
b
) = 3k ; ( h
b
+ h
c
) = 4k ; ( h
a
+ h
c
) = 5k .
Cộng các biểu thức trên, ta có: h
a
+ h
b
+ h
c
= 6k.
Từ đó ta có: h
a
= 2k ; h

b
=k ; h
c
= 3k.
Mặt khác, gọi S là diện tích
ABCV
, ta có:
a.h
a
= b.h
b
=c.h
c

a.2k = b.k = c.3k

3
a
=
6
b
=
2
c
Bài 4( 3 điểm)
a. Tam giác AIB = tam giác CID vì có (IB = ID; góc I
1
= góc I
2
; IA = IC)

b. Tam giác AID = tam giác CIB (c.g.c)
góc B
1
= góc D
1
và BC = AD hay MB =ND tam giác BMI = tam giác DNI (c.g.c)
Góc I
3
= góc I
4
M, I, N thẳng hàng và IM = IN
Do vậy: I là trung điểm của MN
c. Tam giác AIB có góc BAI > 90
0
góc AIB < 90
0
góc BIC > 90
0
d. Nếu AC vuông góc với DC thì AB vuông góc với AC do vậy tam giác ABC vuông
tại A
Bµi 5(1 ®iÓm)
P =
14 2000 2000
1
14 14
x
x x
− +
= +
− −

P lín nhÊt khi
2000
14 x−
lín nhÊt
XÐt x > 14 th×
2000
14 x
−
< 0; XÐt x< 4 th×
2000
14 x
−
> 0 
2000
14 x
−
lín nhÊt  14 – x lµ sè
nguyªn d¬ng nhá nhÊt
 14 – x = 1  x = 13 ; khi ®ã
2000
14 x
−
= 2000  P
lín nhÊt
= 2001.