Đề thi học sinh giỏi toán 7 có đáp án

Phòng gd & đt sơn dơng đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 7
Trờng thcs HồNG THáI Năm học 2011 - 2012
Môn thi : TON
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao nhận đề )
Câu 1:(3điểm):
a) So sánh hai số : 3
30
và 5
20

b) Tính : A =
3 10 9
6 12 11
16 .3 120.6
4 .3 6
+
+
Câu 2:(2điểm):
Cho x, y, z là các số khác 0 và x
2
= yz , y
2
= xz , z
2
= xy.
Chứng minh rằng: x = y = z
Câu 3:(4điểm)
a) Tìm x biết :
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x

+ = +

b) Cho hai đại lợng tỉ lệ nghịch x và y ; x
1
, x
2
là hai giá trị bất kì của x;
y
1
, y
2
là hai giá trị tơng ứng của y.
Tính y
1
, y
2
biết y
1
2
+ y
2
2
= 52 và x
1
=2 , x
2
= 3.
Câu 4:(2điểm)
Cho hàm số : f(x) = a.x
2

+ b.x + c với a, b, c, d Z
Biết
(1) 3; (0) 3; ( 1) 3f f f M M M
.Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3
Câu 5:(3điểm)
Cho đa thức A(x) = x + x
2
+ x
3
+ + x
99
+ x
100
.
a) Chứng minh rằng x=-1 là nghiệm của A(x)
b)Tính giá trị của đa thức A(x) tại x =
1
2
Câu 6:(6điểm)
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lợt lấy hai điểm M và N
sao cho BM = MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC .
a) Chứng minh AM = AN và AH BC
b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm
c) Chứng minh MAN > BAM = CAN
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Hớng dẫn chấm toán 7
Câu Nội dung Điểm
1

( )
( )
( )
( )
10 10
3 2
30 10 20 10 10 30 20
)3 3 27 ;5 5 25 27 3 5a = = = = < >
1.5đ
1.5đ

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
4 9
10 2
12 10
12 10 10 12
6
12 12 11 11 11 11
2 11
12
12 10 11 11
11 11 11 11

2 .3 3.2.5.2 . 2.3
2 .3 1 5
2 .3 3 .2 .5
)
2 .3 2 .3 2 3 2.3 1
2 .3 2.3
6.2 .3 4.2 .3 4
7.2 .3 7.2 .3 7
b A
+
+
+
= = =
+ +
+
= = =
2
Vì x, y, z là các số khác 0 và x
2
= yz , y
2
= xz , z
2
= xy
; ;
x z y x z y x y z
y x z y x z y z x
= = = = =
.áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
1

x y z x y z
x y z
y z x y z x
+ +
= = = = = =
+ +
1đ
1đ
3
a
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x
+ = +
1 2 3 4
1 1 1 1
2009 2008 2007 2006
x x x x
+ = +
2010 2010 2010 2010
2009 2008 2007 2006
x x x x
+ = +
2010 2010 2010 2010
0
2009 2008 2007 2006
x x x x
+ =
( )
1 1 1 1

2010 0
2009 2008 2007 2006
x

+ =
ữ

2010 0 2010x x = =
1đ
1đ
b
Vì x, y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch nên:
2 2
2 2 2 2
1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2
2 1 1
2
1 1
2 52
4
3 2 3 2 3 9 4 9 4 13
) 36 6
x y y y y y y y y y y
x y y
y y
+

= = = = = = = =
ữ ữ
+

+ = =
Với y
1
= - 6 thì y
2
= - 4 ;
Với y
1
= 6 thì y
2
= 4 .
1đ
1đ
4
Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c

( )
( )
) (0) 3 3
) (1) 3 3 3 1
) ( 1) 3 3 3 2
f c
f a b c a b
f a b c a b
+
+ + + +
+ +
M M
M M M

M M M
Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b)
3 2 3 3a a M M M
vì ( 2; 3) = 1
3b M
Vậy a , b , c đều chia hết cho 3
1đ
1đ
5
a
A(-1) = (-1)+ (-1)
2
+ (-1)
3
+ + (-1)
99
+ (-1)
100
= - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) + (-1) + 1 = 0 ( vì có 50 số -1 và 50 số 1)
Suy ra x = -1 là nghiệm của đa thức A(x)
b
Với x=
1
2
thì giá trị của đa thức A =
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2
+ + + + + +

2. 2A
=
(
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2
+ + + + + +
) =
2 3 98 99
1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2
+ + + + + +
1.5đ

2 A =(
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2
+ + + + + +
) +1 -
100
1
2
100
1
2 1

2
A A = +
100
1
1
2
A =
6
a
Chứng minh ABM = ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AN
Chứng minh ABH = ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 90
0
AH BC
2đ
b
Tính AH: AH
2
= AB
2
- BH
2
= 5
2
- 3
2
= 16 AH = 4cm
Tính AM : AM
2
= AH
2

+ MH
2
= 4
2
+ 1
2
= 17 AM =
17
cm
2đ
c
Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = MK ,suy ra AMN= KMB ( c-
g- c) MAN = BKM và AN = AM =BK .Do BA > AM BA > BK
BKA > BAK MAN >BAM=CAN
2đ
Duyệt BGH Ngời ra đề
P. Hiệu trởng

Thân thị thuý hoàn TĂNG Bá DũNG
A
B M H N C

K