ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI MÔN TOÁN LỚP 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (498.19 KB, 14 trang )
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I MÔN TOÁN-CB LỚP 11
NĂM HỌC 2010-2011
Vấn đề 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (
dùng cho trắc nghiệm)
1/ Hàm số y = sinx: Tập xác định D = R; tập giá trị
1, 1
T
; hàm lẻ, chu kỳ
0
2
T
.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
* y = sin(f(x)) xác định
( )
f x
xác định
2/ Hàm số y = cosx: Tập xác định D = R; Tập giá trị
1, 1
T
; hàm chẵn, chu kỳ
0
2
T
.
* y = cos(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
* y = cos(f(x)) xác định
( )
f x
xác định.
3/ Hàm số y = tanx: Tập xác định
\ ,
2
D R k k Z
; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T
.
* y = tan(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
* y = tan(f(x)) xác định
( )
f x
( )
2
k k Z
4/ Hàm số y = cotx: Tập xác định
\ ,
D R k k Z
; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T
.
* y = cot(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
* y = cot(f(x)) xác định
( ) ( )
f x k k Z
.
5/ Nhận xét: y = f
1
(x) có chu kỳ T
1
; y = f
2
(x) có chu kỳ T
2
Thì hàm số
1 2
( ) ( )
y f x f x
có chu kỳ T
0
là bội chung nhỏ nhất của T
1
và T
2
.
Bài tập
B ài 1: Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:
a)
2
sin
1
x
y
x
b)
sin
y x
c)
2 sin
y x
d)
2
1 cos
y x
e)
1
sin 1
y
x
f)
tan
6
y x
B ài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y =
2sin 1
4
x
b)
2 cos 1 3
y x
c)
sin
y x
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
2
d)
2
4sin 4sin 3
y x x
e)
2
cos 2sin 2
y x x
f)
4 2
sin 2cos 1
y x x
B ài 3: Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:
a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx
d) y = tanx + cotx e) y = sin
4
x f) y = sinx.cosx
B ài 4: Tìm chu kỳ của hàm số:
a)
sin2
y x
b)
cos
3
x
y
c)
2
sin
y x
d)
sin2 cos
2
x
y x
e)
tan cot 3
y x x
www.mathvn.com
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
1) sinu = a (1)
Nếu
1
a
, pt (1) vô nghiệm
Nếu
1
a
, pt (1) có nghiệm
đặt a = sin = arcsina
Pt (1) sinu = sin
u k2
u k2
Đặc biệt : * sinu = 0
u k
* sinu = 1
u k2
2
* sinu = 1
u k2
2
2) cosu = a (2)
Nếu
1
a
, pt (1) vô nghiệm
Nếu
1
a
, pt (1) có nghiệm
đặt a = cos = arccosa
Pt (2) cosu = cos
u k2
u k2
Đặc biệt : * cosu = 0
u k
2
* cosu = 1
u k2
* cosu = 1
u k2
3) tanu = a (3)
Đặt a = tan = arctana (
u k
2
)
Pt (3) tanu = tan
u k
Đặc biệt : * tanu = 0
u k
* tanu = 1
u k
4
Dạng 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI
sinu và cosu
Là pt dạng : asinu + bcosu = c (1) (a
2
+ b
2
0)
Cách giải
* Nếu a
2
+ b
2
– c
2
< 0, pt (1) vô nghiệm
* Nếu a
2
+ b
2
- c
2
0, pt (1) có nghiệm
Chia 2 vế pt cho
2 2
a b
và biến đổi về dạng
Pt (1) sin(u + ) = sin ( pt cơ bản)
Với
2 2
a
cos
a b
,
2 2
b
sin
a b
,
2 2
c
sin
a b
Dạng 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI
MỘT HSLG
Là phương trình có một trong các dạng sau :
* asin
2
x + bsinx + c = 0 (1)
* acos
2
x + bcosx + c = 0 (2)
* atan
2
x + btanx + c = 0 (3)
* acot
2
x + bcotx + c = 0 (4)
Cách giải:
đặt t = sinx, t= cosx, t = tanx, t = cotx
Giải pt bậc hai theo t
Chú ý: pt (1) và (2) có nghiệm khi
1
t
Dạng 4. PHƯƠNG TRÌNH
asin
2
x + bsinx.cosx + c.cos
2
x = d
Cách giải:
Cách 1:
+) cosx = 0
x k
2
là nghiệm của pt không ?
+) cosx 0
x k
2
, chia hai vế pt cho cos
2
x
ta có pt bậc hai theo tanx
Cách 2:
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
3
* tanu = 1
u k
4
4) cotu = a (4)
Đặt a = cot = arccota (
u k
)
Pt (3) cotu = cot
u k
Đặc biệt : * cotu = 0
u k
2
* cotu = 1
u k
4
* cotu = 1
u k
4
Dùng công thức hạ bậc sin
2
x =
1 cos2
2
x
, sinx.cosx
=
sin 2
2
x
, cos
2
x =
1 cos2
2
x
biến đổi về dạng
Asin2x + Bcos2x = C
Dạng 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Chú ý :
Khi giải pt cần phải thuộc công thức lượng
giác
Tập luyện nhiều mới định hướng cho cách
giải ngắn nhất.
www.mathvn.com
Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) sin3x =
1
2
2) sin(2x - 3) = sin(x + 1)
3) tan(x + 60
o
) = -
3
4) sin3x = cos4x
5) cot
5
7
x
=
1
3
6) tan3x.tanx = 1
7) sin2x = sin
3
4
x
8) sin(2x + 50
o
) = cos(x + 120
o
)
9) tan
4
x
= - cot
2
3
x
10) 3tan
2
20
3
o
x
+
3
= 0
11) sin(2x - 10
o
) =
1
2
với -120
o
< x < 90
o
12) cos(2x + 1) =
2
2
với - < x <
Bài 2. Giải các phương trình:
1) 2sin
2
x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin
2
x + 4cosx - 1 = 0
5) cot
2
x - 4cotx + 3 = 0 6) cos
2
2x + sin2x + 1 = 0
7) sin
2
2x - 2cos
2
x +
3
4
= 0 8) 4cos
2
x - 2(
3
- 1)cosx +
3
= 0
9) tan
4
x + 4tan
2
x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x =
2
3) 2sin
4
x
+ sin
4
x
=
3 2
2
4)
2
3cos + 4sinx + = 3
3cos + 4sinx - 6
x
x
5) 2sin17x +
3
cos5x + sin5x = 0 6) cos7x - sin5x =
3
(cos5x - sin7x)
Bài 4. Giải các phương trình
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
4
1) sin
2
x - 10sinxcosx + 21cos
2
x = 0 2) cos
2
x - 3sinxcosx + 1 = 0
3) cos
2
x - sin
2
x -
3
sin2x = 1 4) 3sin
2
x + 8sinxcosx + (8
3
- 9)cos
2
x = 0
5) 4sin
2
x + 3
3
sin2x - 2cos
2
x = 4 6) cos
2
2x - 7sin4x + 3sin
2
2x = 3
Bài 5. Giải các phương trình:
1) sin
2
x + sin
2
2x = sin
2
3x 2) sin
4
x + cos
4
x =
1
2
3) (2sinx + 1)
2
- (2sinx + 1)(sinx -
3
2
) = 0 4) sinx + sin2x + sin3x = 0
5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 6) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
7) cos2x.cos5x = cos7x 8) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
9) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 10) cos7x + sin
2
2x = cos
2
2x - cosx
Bài 6. Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0
3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos
3
x + sin
3
x = 1
5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3
3
(sinx + cosx) + 5 = 0
7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x +
2
sin(x - 45
o
) = 1
www.mathvn.com
Vấn đề 3. ĐẠI SỐ TỔ HỢP,NHỊ THỨC NEWTON VÀ XÁC SUẤT
I/ ĐẠI SỐ TỔ HỢP, NHỊ THỨC NEWTON
LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1) Quy tắc cộng:
Có n
1
cách chọn đối tượng A
1
.
n
2
cách chọn đối tượng A
2
.
A
1
A
2
=
Có n
1
+ n
2
cách chọn một trong các đối tượng
A
1
, A
2
.
2) Quy tắc nhân:
Có n
1
cách chọn đối tượng A
1
.Ứng với mỗi
cách chọn A
1
, có n
2
cách chọn đối tượng A
2
.
Có n
1
.n
2
cách chọn dãy đối tượng A
1
, A
2
.
3) Hoán vị:
Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán
vị của n phần tử.
Số hoán vị: P
n
= n!.
4) Chỉnh hợp:
Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k
n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp
chập k của n phần tử.
Số các chỉnh hợp:
k
n
n!
A
(n k)!
5) Tổ hợp:
Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 k n)
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp:
k
n
n!
C
k!(n k)!
Hai tính chất
k n k
n n
C C
k 1 k k
n 1 n 1 n
C C C
6) Nhị thức Newton
n
n k n k k
n
k 0
0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n
n n n n
(a b) C a b
C a C a b C a b C b
Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng
bằng n
Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng
đầu và cuối thì bằng nhau
Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1):
k n k k
k 1 n
T C a b
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
5
Đặc biệt:
n 0 1 2 2 n n
n n n n
(1 x) C xC x C x C
0 1
2
n n
n n n
C C C
n 0 1 2 2 n n n
n n n n
(1 x) C xC x C ( 1) x C
0 1
( 1) 0
n n
n n n
C C C
www.mathvn.com
Bài tập
Bài 1. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5, có thể lập được bào nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?
Bài 2. Dùng 5 chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm 5 chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Bắt dầu bởi chữ số 2.
b. Bắt đầu bởi chữ số 36
c. Bắt đầu bởi chữ số 482
Bài 3. Dùng 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thành số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Có bao nhiêu số như vậy
b. Có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 1
Bài 4. Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó
nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Bài 5. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất cả các số có 9 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số
thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng chính giữa.
Bài 6. Cho A = {0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 4 chữ số khác nhau.
Bài 7.
a. Từ các chữ số 4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt.
b. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?
Bài 8. Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết
cho 5?
Bài 9. Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người.
Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ?
Bài 10. Một nhóm học sinh gồm 10 người, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10
hoc sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau?
Bài 11. Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chon ngẫu nhiên 4 viên bi lấy từ
hộp đó.Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số viên bi lấy ra không đủ 3 màu?
Bài 12. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội
nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người có ít nhất một cán bộ lớp?
Bài 13. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho:
1. Có đúng 2 người nam trong 5 người đó
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó
Bài 14. Một lớp học có 40 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chia:
1. Thành 4 tổ mỗi tổ có 10 học sinh.
2. Thành 4 tổ mỗi tổ có 10 học sinh và có một tổ trưởng
Bài 15. Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Giáo viên muốn chọn 3 học sinh xếp vào bàn ghế của lớp,
trong đó có ít nhất 1 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 16. Giải các phương trình sau :
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
6
a.
3 1
5
n n
C C
b.
1 2 3
2 2 2 7
n n n
C C C n
c.
6 5 4
n n n
A A A
d.
2 2
2
2 78
x x
A A
e.
1 1
7 7 7
2
n n n
C C C
f
.
2 2
2
2 78
x x
A A
g.
2 2
1 2
3 4
n n
C nP A
h.
79
12
1
nn
CA
Bài 17. Cho biết trong khai triển
n
x
x
3
2
1
tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba
bằng 11. Tìm hệ số của
x
2
.
Bài 18. Cho biết trong khai triển
2
1
,
n
x
x
tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là
46. Tìm hạng tử không chứa x.
Bài 19. Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển
2
2
3
n
x
là 97. Tìm hạng tử
của khai triển chứa x
4
.
Bài 20. Tìm hệ số của số hạng chứa
x
26
trong khai triển
n
x
x
7
4
1
, biết rằng:
n
n n n
C C C
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1
.
Bài 21. Tìm hệ số của số hạng chứa
x
10
trong khai triển
n
x
(2 )
, biết rằng:
n n n n
n n n n
C C C C
0 0 1 1 2 2
3 3 3 ( 1) 2048
www.mathvn.com
II. XÁC SUẤT
LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Biến cố
Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A .
Biến cố không: Biến cố chắc chắn:
Biến cố đối của A:
\
A A
Hợp hai biến cố: A B Giao hai biến cố: A B (hoặc A.B)
Hai biến cố xung khắc: A B =
Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất
Xác suất của biến cố: P(A) =
( )
( )
n A
n
0 P(A) 1; P() = 1; P() = 0
Qui tắc cộng: Nếu A B = thì P(A B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: A, B bất kì: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
P(
A
) = 1 – P(A)
Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)
Bài tập
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
7
B ài 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố:
a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8.
b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ.
c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn.
B ài 2: Một lớp học có 25 học sinh, trong đó gồm có 15 em học khá môn Toán, 17 em học khá
môn Văn.
a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn.
b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn.
B ài 3: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.
b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.
B ài 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một viên
bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh.
B ài 5: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4
viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.
B ài 6: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của
người thứ nhất là
3
5
, của người thứ hai là
1
2
. Tính xác suất để con thú bị bắn trúng.
B ài 7: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a) Cả 4 đồng xu đều ngửa.
b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa.
c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa.
B ài 8: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác
suất để lấy được:
a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nhất 1 bóng tốt
B ài 9: Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu
nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen.
B ài 10: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính
xác suất để 2 em đó khác phái.
B ài 11: Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn
ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để :
a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi
c) Không có học sinh trung bình.
B ài 12: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số
trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để:
a) Số đó là số lẻ.
b) Số đó chia hết cho 5
c) Số đó chia hết cho 9.
Vấn đề 4. DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ CỘNG
(Dùng cho trắc nghiệm)
LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I/ Dãy số.
1. Dãy số
: *
( )
u
n u n
Dạng khai triển: (u
n
) = u
1
, u
2
, …, u
n
, …
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
8
2. Dãy số tăng, dãy số giảm
(u
n
) là dãy số tăng
u
n+1
> u
n
với
n
N*.
u
n+1
– u
n
> 0 với
n
N*
1
1
n
n
u
u
với
n
N* ( u
n
> 0).
(u
n
) là dãy số giảm
u
n+1
< u
n
với
n
N*.
u
n+1
– u
n
< 0 với
n
N*
1
1
n
n
u
u
với
n
N* (u
n
> 0).
3. Dãy số bị chặn
(u
n
) là dãy số bị chặn trên
M
R: u
n
M,
n
N*.
(u
n
) là dãy số bị chặn dưới
m
R: u
n
m,
n
N*.
(u
n
) là dãy số bị chặn
m, M
R: m
u
n
M,
n
N*.
II. Cấp số cộng.
1. Định nghĩa: (u
n
) là cấp số cộng
u
n+1
= u
n
+ d,
n
N* (d: công sai)
2. Số hạng tổng quát:
1
( 1)
n
u u n d
với n
2
3. Tính chất các số hạng:
1 1
2
k k
k
u u
u
với k
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1 2
( )
2
n
n n
n u u
S u u u
=
1
2 ( 1)
2
n u n d
Bài tập (luyện tập để chọn đáp án đúng trong câu trắc nghiệm)
B ài 1: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (u
n
) cho bởi:
a)
2
2
2 1
1
n
n
u
n
b)
( 1)
2 1
n
n
n
u
n
c)
2
1
1
n
n
u
n
d)
2
cos
n
u n n
B ài 2: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (u
n
) cho bởi:
a)
1 1
1
2, 1
3
n n
u u u
b)
1 2 2 1
15, 9,
n n n
u u u u u
c)
1 1
2
2
0,
1
n
n
u u
u
B ài 3: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (u
n
), dự đoán công thức số hạng tổng quát u
n
và
chứng minh công thức đó bằng qui nạp:
a)
1 1
1, 2 3
n n
u u u
b)
2
1 1
3, 1
n n
u u u
c)
1 1
3, 2
n n
u u u
B ài 4: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u
n
) cho bởi:
a)
2 1
3 2
n
n
u
n
b)
4 1
4 5
n
n
n
u
c)
( 1)
2
n
n
u
n
d)
2
n
n
u
n
B ài 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (u
n
) cho bởi:
a)
2 3
2
n
n
u
n
b)
1
( 1)
n
u
n n
c)
2
4
n
u n
d)
2
2
2
1
n
n n
u
n n
B ài 6: Trong các dãy số (u
n
) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu
và công sai của nó:
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
9
a) u
n
= 3n – 7 b)
3 2
5
n
n
u
c)
2
n
u n
d)
3
n
n
u
B ài 7: Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:
a)
1 5 3
1 6
10
17
u u u
u u
b)
2 5 3
4 6
10
26
u u u
u u
c)
3
14
15
18
u
u
B ài 8: a) Ba góc của một tam giác vng lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo các góc đó.
b) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có cơng sai d = 3
0
. Tìm
số đo của các góc đó.
c) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ
nhất. Tìm số đo các góc đó.
B ài 9: Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với:
a)
2
10 3 ; 2 3; 7 4
a x b x c x
b)
2
1; 3 2; 1
a x b x c x
.
B ài 10: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng
thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, …. Hỏi có bao nhiêu hàng?
www.mathvn.com
Vấn đề 5. PHÉP BIẾN HÌNH
(Dùng cho tự luận và trắc nghiệm)
LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I. Phép tònh tiến
v
T
: M
M
'
MM v
v
T
(M) = M,
v
T
(N) = N
' '
M N MN
v
T
: M(x; y)
M(x; y). Khi đó:
'
'
x x a
y y b
II. Phép đối xứng trục
Đ
d
: M
M
0 0
'
M M M M
(M
0
là hình chiếu của M trên d)
Đ
d
(M) = M Đ
d
(M) = M
Đ
d
(M) = M, Đ
d
(N) = N MN = MN
Đ
Ox
: M(x; y)
M(x; y). Khi đó:
'
'
x x
y y
Đ
Oy
: M(x; y)
M(x; y). Khi đó:
'
'
x x
y y
III. Phép đối xứng tâm
Đ
I
: M
M
'
IM IM
Đ
I
(M) = M Đ
I
(M) = M
Đ
I
(M) = M, Đ
I
(N) = N
' '
M N MN
Cho I(a; b). Đ
I
: M(x; y)
M(x; y). Khi đó:
' 2
' 2
x a x
y b y
Đặc biệt: Đ
O
: M(x; y)
M(x; y). Khi đó:
'
'
x x
y y
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
10
'
'
x x
y y
IV. Phép quay
Q
(I,)
: M
M
'
( ; ')
IM IM
IM IM
Q
(I,)
(M) = M, Q
(I,)
(N) = N MN = MN
Q
(I,)
(d) = d. Khi đó:
0
2
, '
2
nếu
d d
nếu
Q
(O,90
0
)
: M(x; y)
M(x; y). Khi đó:
'
'
x y
y x
Q
(O,–90
0
)
: M(x; y)
M(x; y). Khi đó:
'
'
x y
y x
V. Phép vò tự
V
(I,k)
: M
M
' .
IM k IM
(k 0)
V
(I,k)
(M) = M, V
(I,k)
(N) = N
' ' .
M N k MN
Cho I(a; b). V
(I,k)
: M(x; y)
M(x; y). Khi đó:
' (1 )
' (1 )
x kx k a
y ky k b
Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến
ABC thành
A
B
C
thì nó
cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại
tiếp của
A
B
C
.
www.mathvn.com
Bài tập
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(6; –5),B(-2;7).Tìm ảnh của điểm A,B qua
phép biến hình sau:
a/Phép tịnh tiến theo vectơ
(2; 1)
u
b/ Phép đối xứng qua trục Ox ; trục d: 2x-y=0
c/Phép đối xứng tâm O d/ Phép đối xứng tâm I(2;3)
e/Phép quay tâm O, góc quay 90
0
f/ Phép quay tâm O, góc quay
2
g/Phép vị tự tâm O, tỉ số -3 h/ Phép vị tự tâm I(-3;1), tỉ số ½
i /Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng tâm O và phép đối xứng trục Oy
k/Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng trục Ox và phép ttiến theo
( 2; 1)
u
l Phép đồng dạng bằng cách t.hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;0), tỉ số 2 và phép quay tâm O gócquay
90
0
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): -2x +5y -4 = 0
Viết phương trình đường thẳng (d’) là ảnh của đường thẳng (d) qua phép biến hình sau:
a/ Phép tịnh tiến theo vectơ
( 3;1)
u
b/ Phép đối xứng qua trục Ox
c/ Phép đối xứng tâm O d/ Phép đối xứng tâm I(-1;2)
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
11
e/ Phép quay tâm O, góc quay 90
0
f/ Phép quay tâm O, góc quay
2
g/ Phép vị tự tâm O, tỉ số -1/2 h/ Phép vị tự tâm I(-2;-1), tỉ số 3
i/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng tâm O và phép đối xứng trục Oy
k/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng trục Ox và phép ttiến theo
(2; 3)
u
l/ Phép đồng dạng bằng cách t.hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(0;3), tỉ số -2 và phép quay tâm O góc
quay 90
0
Bài 3 Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho 2đường tròn (C
1
):
2 2
1 3 5
x x
và (C
2
): x
2
+ y
2
+ 2x -
4y – 2 = 0
Viết pt đường tròn (C
1
’) và (C
2
’) là ảnh của 2đường tròn (C
1
) và (C
2
)qua phép biến hình sau:
a/ Phép tịnh tiến theo vectơ
(2; 3)
u
b/ Phép đối xứng qua trục Ox
c/ Phép đối xứng tâm O d/ Phép đối xứng tâm M(-2;3)
e/ Phép quay tâm O, góc quay 90
0
f/ Phép quay tâm O, góc quay
2
g/ Phép vị tự tâm O, tỉ số 2 h/ Phép vị tự tâm M(-3;1), tỉ số 2/3
i/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng tâm O và phép đối xứng trục Oy
k/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng trục Ox và phép ttiến theo
( 2; 1)
u
l/ Phép đồng dạng bằng cách t.hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;0), tỉ số 2 và phép quay tâm O góc
quay 90
0
Bài 4: Cho hcn ABCD.Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E,F lll trung điểm của AD,BC.
Chứng minh rằng hai hình thang AEIB và CFID bằng nhau.
Bài 5: Cho hcn ABCD. Gọi O là tâm của nó; E,F,G,H,I,J lll trung điểm của các cạnh
AB,BC,CD,DA,AH,OG. Chứng minh rằng: hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau.
Vấn đề 6. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
LÝ THUYẾT CƠ BẢN
Nội dung Kí hiệu Hình vẽ
ĐLí 1:
Qua một điểm không nằm trên
một đường thẳng cho trước, có
một và chỉ một đường thẳng
song song với đường thẳng đã
cho
Đlí 2:
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi
một cắt nhau theo ba giao tuyến
phân biệt thì ba giao tuyến ấy
đồng qui hoặc đôi một song
song
HQ:
Nếu hai mp phân biệt lần lượt
chứa hai đường thẳng song song
thì giao tuyến của chúng (nếu
có) cũng song song với hai
M d d’:
'
'//
M d
d d
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
// //
( ) ( )
a
a b c M
b
a b c
c
a b c
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
12
đường thẳng đó hoặc trùng với
hai thẳng đó
Đlí 3:
Hai đường thẳng phân biệt cùng
song song với đường thẳng thứ
ba thì song song với nhau
1
1 2
2
1 2
( ) ( )
( )
( ) ( ) // //
( )
//
d
d d d
d
d d
// //
//
a b
a c a b
b c
Nội dung Kí hiệu Hình vẽ
Đlí 1:
Nếu đường thẳng d không nằm
mp() và d song song với d’
nằm trong () thì d song với ()
Đlí 2
Cho đường thẳng a song song
với (). Nếu mp() chứa a và
cắt () theo giao tuyến b thì b
song song với a
HQ
Hai mp phân biệt cùng song
song với một mặt đường thẳng
thì giao tuyến của chúng (nếu
có) cũng song song với đường
thẳng đó
Đlí 3
Cho hai đường thẳng chéo nhau.
Có duy nhất một mặt phẳng
chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia
( )
// ' //( )
' ( )
d
d d d
d
//( )
( ) //
( ) ( )
a
a b a
b
( ) ( )
( )//
'//
( )//
( ) ( ) '
d
d d
d
d
a chéo b
!( )
( )//
a
b
Các dạng bài tập
Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (hai cách)
Cách 1. Tìm hai điểm chung
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
13
Cách 2. Tìm một điểm chung và hai đường thẳng song song chứa trong hai mặt phẳng
Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Cách 1. Chọn mặt phẳng thích hợp chứa đường thẳng đã cho – Tìm giao tuyến của mp vừa chọn – Giao
tuyến ấy cắt đường thẳng đã cho tại điểm cần tìm.
Cách 2. Dựng giao điểm sau đó chứng minh điểm đó thuộc đường thẳng và mặt phẳng đã cho.
Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng song song: thông thường sử dụng các dấu hiệu sau
Đường trung bình nếu giả thiết cho trung điểm
Tứ giác là hình bình hành.
Đoạn thẳng tỉ lệ nếu giả thiết cho trọng tâm hoặc tỉ lệ cho trước.
Một số định lí và hệ quả trong bài 2
Dạng 4. Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng. sử dụng định lí sau
Đlí 1:
Nếu đường thẳng d không nằm
mp() và d song song với d’
nằm trong () thì d song với ()
( )
// ' //( )
' ( )
d
d d d
d
Bài tập
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là một tứ giác lối có các cặp cạnh đối không song song
a. Xác định giao tuyến của
)(SAC
và (SBD)
b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
c. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC , một điểm I thuộc đoạn SA. Một đường thẳng a không song song với
AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại J , K. Tìm giao tuyến của các cặp mp sau :
a. mp( I,a) và mp (SAC )
b. mp( I,a) và mp (SAB )
c. mp( I,a) và mp (SBC )
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Trên đoạn AB lấy một điểm M, Trên
đoạn SC lấy một điểm N ( M, N không trùng với các đầu mút ) .
a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt là trung điểm của
đoạn AB và SC .
a. Xác định giao điểm I = AN (SBD)
b. Xác định giao điểm J = MN (SBD)
c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lối. Gọi M, N là hai điểm trên BC và SD.
a. Tìm giao điểm I = BN ( SAC)
b. Tìm giao điểm J = MN ( SAC)
c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung
điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Gọi M là điểm bất kì trên BC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (A’B’M) với đáy (ABCD)
c. Gọi O là tâm của đáy (ABCD), Chứng minh OA’ song với các mặt phẳng (SBC) và (SCD)
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com
14
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB CD).
Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
b. Tìm P = SC (ADN)
c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I .Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
Bài 8. Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ
song song với các mặt phẳng (ACD) và (BCD).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các
cạnh AB và CD .
a. Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD)
b. Gọi P là trung điểm cạnh SA . Chứng minh SB và SC đều song song với (MNP)
c. Gọi G
1
,G
2
lần lượt là trọng tâm của ABC và SBC. Chứng minh
21
GG
// (SAB)
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M là một điểm trên cạnh SC và
() là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.
a. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng () lần lượt với các cạnh SB, SD.
b. Gọi I là giao điểm của ME và CB , J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm
I,J, A thẳng hàng .
Bài 11. Cho hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB =
SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x . mặt phẳng () qua M song song với SA và BD cắt
SO , SB , AB tại N, P , Q .
a. Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b. Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và x . Tính x để diện tích lớn nhất
Bài 12: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O và O’ lần
lượt giao điểm của hai đường thẳng AC, BD và AE, BF
1) Chứng minh rằng OO’ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE)
2) Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng MN // (CEF)
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác
SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM.
1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
2) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng NG // (SCD)
3) Chứng minh rằng MG // (SCD)
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O là giao
điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
1) CMR: OG // (SBC)
2) Cho M là trung điểm của SD. CMR: CM // (SBA)
Giả sử I nằm trong đoạn SC sao cho SC = 3/2SI. CMR: SA // ( BID)
www.mathvn.com
