Sáng kiến kinh nghiệm về bất đẳng thức ở trường THPT chuyên Bắc Giang.PDF

sở GIáO DụC Và ĐàO TạO bắc giang
Trờng THPT Chuyên bắc giang

-----



-----

TH NHUNG

L I THU H NG

Bất đẳng thức
T :

Toỏn - Tin

Năm h c:

2010 - 2011

Mã s : ..........................................

B c Giang, tháng3 năm 2011


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

M cl c
trang
KÍ HI U VÀ C M T

VI T T T TRONG đề tài

2

Chng I. B t ủ ng th c và tính ch t c a b t đ ng th c

3

I.1.Khái ni m và tính ch t b t ñ ng th c .

6

I.2. M t s b t ñ ng th c thư ng g p.

7

Chương II . M t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c

12

II.1.M t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c .

12

II.2.M t s hư ng nhìn b t đ ng th c.

12

II.2.1. Nhìn b t ñ ng th c theo phương di n lư ng giác.

12

II.2.2. Nhìn b t đ ng th c theo phương di n hình h c.

19

II.2.3. Nhìn b t ñ ng th c theo phương di n khác.

22

II.2.4. Sáng t o b t ñ ng th c b ng cách nhìn b t đ ng th c đã có theo
nh ng phương di n m i.

46

II.2.5. ð xu t gi i pháp sư ph m

54

Chương III. Th c nghi m sư ph m.

56

III.1. M c đích, n i dung t ch c th c nghi m sư ph m.

56

III.2. ðánh giá th c nghi m sư ph m.

57

K T LU N

60

TÀI LI U THAM KH O

61

1


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chun B c Giang
B t đ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

KÍ HI U VÀ C M T

VI T T T TRONG ®Ị tµi

Vi t t t

ð c

BðT

B t đ ng th c

ðpcm

đi u ph i ch ng minh

GV

giáo viên

HS

H c sinh

NXB

nhà xu t b n

NXB ðHSP

Nhà xu t b n ð i h c sư ph m

NXB ðHQG

Nhà xu t b n ð i h c qu c gia

PGS

Phó giáo sư

THPT

Trung h c ph thông

TS

Ti n sĩ

THPT

Trung h c ph thông

TS

Ti n sĩ

2


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ph n th nh t

M

U

I. lí do chọn đề tài

Trong quỏ trình hình thành và phát tri n tư duy c a h c sinh thì Tốn h c
có vai trị ñ c bi t quan tr ng. Ngư i giáo viên c n rèn luy n cho h c sinh th y
đư c nhi u hình th c có th di n t cùng m t n i dung Toán h c ñ ng th i ph i
rèn luy n cho h c sinh bi t l a ch n hình th c phù h p nh t th hi n n i dung
đó. Theo quan đi m c a tri t h c duy v t bi n ch ng, b t kì s v t nào cũng
mang trong nó hai y u t n i dung và hình th c. N i dung có th đư c th hi n
b ng nhi u hình th c khác nhau, n i dung quy t đ nh hình th c và hình th c tác
đ ng tr l i n i dung.
B t ñ ng th c là m t trong nh ng n i dung hay c a Toán ph thông và thư ng
xu t hi n trong các kì thi Olympic Tốn. ðây cũng là m t n i dung quan tr ng
nh m rèn luy n trí tu cho h c sinh. Nhìn b t đ ng th c dư i nhi u phương di n
khác nhau s giúp h c sinh linh ho t trong l a ch n hình th c th hi n n i dung
này. ði u đó kích thích tư duy bi n ch ng, tư duy sáng t o cho các em.
Tuy nhiên, b t ñ ng th c cũng là m t n i dung khó, n u khơng có ñ nh
hư ng trong khi làm bài b t ñ ng th c và khơng ®ư c rèn luy n nhi u thì khơng
làm đư c. T nh ng lí do trên, đỊ tài đư c ch n là: “ b t ủ ng th c .
II. mục đích và nhiƯm vơ nghiªn cøu
M c đích nghiên c u là v n d ng ki n th c c a đ i s , hình h c, gi i tích ñ
gi i bài toán b t ñ ng th c .
Nhi m v nghiên c u
- Nghiên c u c¸c tính ch t cđa b t đ ng th c .
- Xây d ng cách nhìn nh n b t ñ ng th c d a trªn các phương di n khác
nhau.
- Th c nghi m sư ph m ñ ki m nghi m tính kh thi và hi u qu c a ñ
tài.
3


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

III. néi dung nghiªn cøu
- Nghiên c u tính ch t b t ñ ng th c .
- ð xu t m t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c.
- Nhìn nh n đ ng th c, b t ñ ng th c theo nhi u phương di n khác nhau
d a vào m i liên h tương ng gi a các s v i các ñ i lư ng hình h c và lư ng
giác.
- Sáng t o b t ñ ng th c b ng cách nhìn b t đ ng th c đã có theo nh ng
phương di n m i.
- ð xu t gi i phỏp s ph m.
IV. phơng pháp nghiên cứu
IV.1. Nghiên c u lý lu n.
Tìm hi u, nghiên c u nh ng v n ñ liên quan ñ n ñ tài ñ nh hư ng cho
vi c nghiên c u; phân tích và t ng h p nh ng quan ñi m d a trên các tài li u v
tâm lý h c, giáo d c h c, phương pháp d y h c mơn tốn và các tài li u v b t
ñăng th c.
IV.2 Th c nghi m sư ph m.
ð i tư ng th c nghi m: h c sinh l p 11 Tin, 11 Lí, ð i tuy n chän h c
sinh gi i qu c gia.
X lý k t qu b ng m t s phương pháp th ng kê toán h c.
V. cÊu trúc đề tài
ti g m ph n m ủ u và ba chương:
Chương I. B t ñ ng th c và tính ch t c a b t đ ng th c
Chương II . M t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c
Chương III. Th c nghi m sư ph m.
Cu i cùng là ph n k t lu n và tài li u tham kh o

4

L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ph n th hai

N I DUNG TI
Chng I
bất đẳng thức và tính chất của bất đẳng thức
I.1. Khỏi ni m v tính ch t b t đ ng th c.
I.1.1 Quan h th t trong R.
Trong t p h p các s th c có quan h th t , t c là :
V i m i c p s th c a, b b t kì , ln x y ra m t và ch m t trong ba kh
năng:
- ho c a b ng b, ký h u a = b.
- ho c a l n hơn b, ký hi u a > b.
- ho c a nh hơn b, ký hi u a < b.
I.1.2. ð nh nghĩa b t ñ ng th c.
I.1.2.1. ð nh nghĩa
Gi s A, B là hai bi u th c (trư ng h p đ c bi t A, B có th là hai s ).
M nh ñ ‘A l n hơn B’, ký hi u A > B ñư c g i là m t b t ñ ng th c.
A g i là v trái c a b t ñ ng th c, B g i là v ph i c a b t ñ ng th c
Ngư i ta cũng vi t b t ñ ng th c dư i d ng B < A, đó là m nh ñ “B nh
hơn A” tương ñương v i m nh ñ trên.
Như b t c m t m nh ñ tốn h c nào, b t đ ng th c A > B có th đúng
ho c sai.
I.1.2.2. B t ñ ng th c suy r ng.
Khi so sánh hai bi u th c A và B, nhi u khi chưa th k t lu n d t khoát :
A b ng B, A l n hơn B, A nh hơn B, mà ch có th đưa ra m t k t lu n m m

d o hơn, ch ng h n: A l n hơn ho c b ng B. Do v y, ngư i ta s d ng m nh ñ
sau ñây dư i d ng ký hi u:
A ≥ B : “A l n hơn ho c b ng B”.
A ≤ B : “A nh hơn ho c b ng B”.

5


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Các m nh ñ trên cũng ñư c g i là b t ñ ng th c, rõ hơn: b t ñ ng th c suy
r ng, ñ phân bi t v i các b t ñ ng th c nghiêm ng t d ng A > B, A < B.
Quy ư c: Khi nói m t b t đ ng th c mà khơng ch rõ gì hơn, thì ta hi u r ng
đó là m t b t đ ng th c đúng.
I.1.3. Tính ch t b t đ ng th c.
Tính ch t 1:

a > b ⇔ a - b > 0.

Tính ch t 2:

a > b
⇒a > c.
b > c

Tính ch t 3:

a > b ⇔ a + c > b+c.

H qu 1:

a > b ⇔ a - c > b – c.

H qu 2:

a + c > b ⇔ a > b – c.

Tính ch t 4:

a > b
⇒ a+c >b+d .
c > d

Tính ch t 5:

N u c > 0 thì a > b ⇔ ac > bc
N u c < 0 thì a > b ⇔ ac < bc

H qu 1:

a > b ⇔ -a < -b.

H qu 2:

N u c > 0 thì a > b ⇔

a b
>

c c

N u c < 0 thì a > b ⇔

a b
<
c c

1 1
< .
a b

Tính ch t 6:

a > b> 0 ⇔0<

Tính ch t 7:

a > b > 0 ⇒ a n > b n ∀n ∈ N * .

Tính ch t 8:

a > b ⇔ a 2 n+1 > b 2 n +1 ∀n ∈ N * .

Tính ch t 9:

a > b >0 ⇒

Tính ch t 10:

a>b ⇔

2 n +1

a>nb

∀n ∈ N * .

a > 2 n +1 b

∀n ∈ N .

n

Ngoài ra ta cũng có các tính ch t tương ng v i các b t ñ ng th c suy r ng.
I.2. M t s b t ñ ng th c thư ng g p
I.2.1. B t đ ng th cC«si.
6


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I.2.1.1. D ng c th ( 2 s , 3 s )
n = 2:

∀ x, y ≥ 0 khi đó :

n = 3:

∀ x, y, z ≥ 0 khi đó :

x+ y
≥ xy
2

x+ y+z 3
≥ xyz
3

x + y ≥ 2 xy

x + y + z ≥ 3 3 xyz

2

3

 x+ y

 ≥ xy
 2 

 x+ y+z

 ≥ xyz
3



2
( x + y ) ≥ 4 xy

3
( x + y + z ) ≥ 27 xyz

1 1
4
+ ≥
x y x+ y

1 1 1
9
+ + ≥
x y z x+ y+ z

1
4
≥
xy ( x + y )2

1
4
≥
xyz ( x + y + z )3
ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z.

ð ng th c x y ra khi và ch khi x = y.

H qu 1:
N u hai s dương thay đ i nhưng có t ng khơng đ i thì tích c a chúng
l n nh t khi và ch khi hai s đó b ng nhau.
H qu 2:
N u hai s dương thay đ i nhưng có tích khơng đ i thì t ng c a chúng
nh nh t khi và ch khi hai s đó b ng nhau.
Ví d 1 : Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : f ( x) = x +
3
x

3
v i x > 0.
x

3
x

Gi i. Do x > 0 nên ta có : f ( x) = x + ≥ 2 x. = 2 3 và
f ( x) = 2 3 ⇔ x =

3
⇔ x = 3.
x

V y giá tr nh nh t c a hàm s

f ( x) = x +

3
v i x > 0 là f ( 3) = 2 3 .

x

1
x

1
y

1
z

Ví d 2: Ch ng minh r ng n u x, y, z là ba s dương thì ( x + y + z )( + + ) ≥ 9.
Khi nào x y ra ñ ng th c ?
Gi i. Vì x, y, z là ba s dương nên
x + y + z ≥ 3 3 xyz. ( ñ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z )
7


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 1
1 1 1
1
+ + ≥ 33
. ( ñ ng th c x y ra khi và ch khi = = ).
x y z
xyz
x y z

1
x

1
y

1
z

Do đó ( x + y + z)( + + ) ≥ 3 3 xyz .3 3

1
= 9.
xyz

x = y = z

ð ng th c x y ra khi và ch khi :  1 1 1 . ⇔ x = y = z.
x = y = z


I.2.1.2. D ng t ng quát (n s ) ∀x1, x2, x3 ,...,xn khơng âm ta có:
x1 + x2 + ...xn
D ng 1:
≥ n x1 x2...xn
n
D ng 2:

x1 + x2 + ... + xn ≥ n

n

D ng 3:

 x1 + x2 + ... + xn 


n



≥ x1 x2 ...xn

x1 x2...xn

n

D u “ = ” x y ra khi và ch khi: x1 = x2 = ... = xn

H qu 3:
N u: x1 + x2 +…+ xn = S
khi x1 = x2 =…= xn =

H qu 4:
N u: x1x2 ...xn = P

( S lµ h»ng sè) thì:

S
Max ( P = x1 x2 ...xn ) =  

n

n

S
n

( P lµ h»ng sè) thì:

Min ( S = x1 + x2 ... + xn ) = n n P khi x1 = x2 =…= xn = n P

I.2.1.3 Các quy t c c n chú ý khi s d ng b t ñ ng th c Côsi
1) Quy t c song hành: h u h t các BðT đ u có tính đ i x ng do đó vi c
s d ng các ch ng minh m t cách song hành, tu n t s giúp ta hình dung ra
đư c k t qu nhanh chóng và đ nh hư ng cách gii i nhanh hơn.
2) Quy t c d u b ng: d u b ng “=” trong BðT là r t quan tr ng. Nó giúp
ta ki m tra tính đúng ñ n c a ch ng minh. Nó ñ nh hư ng cho ta phương pháp
gi i, d a vào ñi m rơi c a BðT.
3) Quy t c v tính đ ng th i c a d u b ng: không ch h c sinh mà ngay
c m t s giáo viên khi m i nghiên c u và ch ng minh BðT cũng thư ng r t
hay m c sai l m này, áp d ng liên ti p ho c song hành các BðT nhưng không
chu ý ñ n ñi m rơi c a d u b ng. M t nguyên t c khi áp d ng song hành các
8


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

BðT là ñi m rơi ph i ñư c ñ ng th i x y ra, nghĩa là các d u “ = ” ph i ñư c

cùng ñư c th a mãn v i cùng ñi u ki n c a bi n.

4) Quy t c biên: C s c a quy t c biên này là các bài toán quy ho ch
tuy n tính, các bài tốn t i ưu, các bài tốn c c tr có đi u ki n ràng bu c, giá tr
l n nh t , giá tr nh nh t c a hàm nhi u bi n trên m t mi n đóng. Ta bi t r ng
các giá tr l n nh t, nh nh t thư ng x y ra các v trí biên và các ñ nh n m trên
biên.
5) Quy t c đ i x ng: Các BðT thư ng có tính ch t đ i x ng v y thì vai
trò c a các bi n trong BðT là như nhau do đó d u “ = ” thư ng x y ra t i v trí
các biên đó b ng nhau. N u bài tốn có g n h ñi u ki n ñ i x ng thì ta có th
ch ra d u “ = ” x y ra khi các bi n b ng nhau và mang m t giá tr c th ..
Chi u c a BðT cũng s giúp ta ñ nh hư ng ñư c cách ch ng minh : đánh
giá t Trung bình c ng (TBC) sang Trung bình nhân (TBN) và ngư c l i.
I.2.2. B t ñ ng th c Bunhiacopxky.
1. v i các s th c a, b và x, y ta có: ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ≥ ( ax + by )
ð ng th c x y ra khi và ch khi

2

x y
= .
a b

2. V i các s th c a, b,c và x, y, z ta có

(a

2

+ b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( ax + by + cz )

ð ng th c x y ra khi và ch khi

2

x y z
= = .
a b c

3.T ng quát : v i các s th c a 1 , a 2 , a 3 ..., a n và b1 , b 2 , b 3 ...b n ta có

(a

+ a2 2 + a32 + ... + a 2 n )( b12 + b2 2 + b3 2 + ... + b 2 n ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + ... + anbn )
a1
a
a
ñ ng th c x y ra khi và ch khi
= 2 = ... = n .
b1
b2
bn
2

1

I.2.3. B t ñ ng th c v d u giá tr tuy t ñ i.
1. |a| ≥ 0 v i ∀ a∈R.

a

2. |a| = 
− a

víi a ≥ 0
víi a ≤ 0

a > α
3. |a| > α ⇔ 
 a < -α

v i α >0

9

2


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. a < α ⇔ −α < a < α
v i α >0

5. | a | − | b |

≤

|a + b| ≤

|a |+ |b |

T ng quát:
a1 − a2 − .... − an ≤ a1 + a2 + ... + an ≤ a1 + a2 + ... + an

I.2.4. B t ñ ng th c Chebyshev.
1. Cho hai dãy s ñơn ñi u a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an và b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn
Ta có : ( a1 + a 2 + ... + a n )( b1 + b2 + ... + bn ) ≤ n ( a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn )
ð ng th c x y ra khi a1 = a2 = …= an ho c b1 = b2 = …= bn
2. Cho hai dãy s th a mãn a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an và b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn . Ta có:

(a1 + a2 +... + an )(b1 + b2 +... + bn ) ≥ n (ab1 + a2b2 +... + anbn )
1
ð ng th c x y ra khi a1 = a2 = …= an ho c b1 = b2 = …= bn

I.2.5. B t ñ ng th c Becnuli.
1. Cho s th c x > − 1 và α > 1 .
α

Khi đó (1 + x )

> 1 + α x,∀ α , x ∈ R

2. Cho s th c x > − 1 , 0 < α < 1 .
Khi ñó

(1 + x )

α

≤ 1 + α x , ∀ α , x ∈ R . ð ng th c x y ra khi x = 0

I.2.6. B t ñ ng th c Jensen.
Cho hàm s f liên t c trên [a,b] và có đ o hàm liên t c ủ n c p hai trờn

đoạn [a,b]. Gi s cú các s th c x1 , x2 ,.., xn ∈ [ a, b ] và α i > 0, ∀i = 1, n và tho
mãn α1 + α 2 + ... + α n = 1. Khi đó :
n

+) N u f '' ( x ) > 0, ∀x ∈ [ a, b ] thì

∑ α f ( x ) ≥ f (α x )

+) N u f '' ( x ) < 0, ∀x ∈ [ a, b ] thì

∑ α f ( x ) ≤ f (α x )

i =1

i

i

i

i

n

i =1

ð ng th c x y ra khi x1 = x2 = ... = xn

10

i

i

i

i


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chun B c Giang
B t đ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ch−¬ng II
Mét số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
II.1.M t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c
1. Phương pháp bi n ñ i tương ñương
2. Phương pháp tam th c b c hai
3. Phương pháp hình h c
4. Phương pháp s

d ng các b t ñ ng th c cơ b n Cauchy và

Bunhiacopxky
5. Phương pháp quy n p toán h c
6. Phương pháp ph n ch ng
7. Phương pháp hàm s

8. Phương pháp làm tr i
ð ng trư c m t b t ñ ng th c ho c m t bài toán v c c tr , ngư i làm
tốn thư ng đ t cho mình câu h i “ bài này làm theo hư ng nào, s d ng ki n
th c nào c a b t ñ ng th c ñ gi i?”…D a vào m i liên h gi a các s và các
đ i lư ng lư ng giác, hình h c,…ta có th nhìn nh n b t đ ng th c th c theo
các phương di n khác nhau và t đó có các cách gi khác nhau v bài tốn b t
đ ng th c . Sau ñây tác gi xin ñưa ra m t s cách nhìn b t đ ng th c.

II.2. M t s hư ng nhìn b t đ ng th c
II.2.1.Nhìn b t ñ ng th c theo phương di n lư ng giác.
ð có th nhìn nh n bài tốn theo phương di n lư ng giác, HS c n hi u
bi t nh ng b t ñ ng th c lư ng giác cơ b n và m t s h th c lư ng giác trong
tam giác, c n n m v ng t p giá tr c a các hàm s lư ng giác, s liên h gi a các
s v i s liên h gi a các hàm lư ng giác.
M ts

dÊu hiƯu ®Ĩ nhËn biÕt mét bài toán có thể giải bằng phơng pháp

lợng giác:
- Có một trở ngại đại số cần khắc phục.
11


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- ði u ki n c a bi n phù h p v i t p giá tr hàm lư ng giác.
- Trong đề bài(ở giả thiết hoặc kết luận) có một bộ phận tơng tự với một công
thức lợng giác nào đó. Chẳng hạn:

1. V i ba s th c b t kì x, y, a th a mãn x2 + y2 = a2, ln t n t i góc α
đ x = acos α , y = a.sin α .
2. V i ba s th c dương b t kì m, n, p th a mãn m + n = p ln t n t i góc
2

2

α th a mãn m = p.sin α , n = p.cos α .

3. V i ba s th c dương x, y, z th a mãn x + y + z = xyz luôn t n t i tam
giác nh n ABC th a mãn x = tanA, y = tanB, z = tanC.
4. V i ba s th c dương x, y, z th a mãn x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1 luôn t n
t i tam giác nh n ABC th a mãn x = cosA, y = cosB, z = cosC.
5. V i ba s dương x, y, z th a mãn xy + yz + zx = 1 luôn t n t i tam giác
nh n ABC th a mãn x = cotA, y = cotB, z = cotC.
6. V i ba s dương x, y, z th a mãn xy + yz + zx = 1 luôn t n t i tam giác
nh n ABC th a mãn x = tan

A
B
C
; y = tan ; z = tan .
2
2
2

7. Bé phËn 1 + x2 t−¬ng tù víi c«ng thøc: 1 + tan 2 t =

1
.

cos 2 t

8. Bé phËn 4x3 - 3x t−¬ng tù víi c«ng thøc 4cos3t- 3cost = cos3t.
9. Bé phËn 2x2 -1 tơng tự với công thức 2cos2t-1= cos2t.
10. Bộ phận

2 tan t
2x
tơng tự với công thức
= tan 2t
2
1 x
1 tan 2 t

11. Bộ phận

2 tan t
2x
tơng tự với công thức
= sin 2t
2
1+ x
1 + tan 2 t

12. Bé phËn

tan α + tan
x+ y
tơng tự với công thức tan ( + β ) =
.

1 − xy
1 − tan α .tan

Nói chung trong mọi trờng hợp đều có thể đặt x = tan t.
Nếu có 2 đại lợng x, y biến thiên thoả mÃn x2 + y2 = a2 (v i a > 0) thì có thể
đặt x = acost, khi ®ã y = asint víi 0 ≤ t ≤ 2π ( ho c x = asint, khi ®ã y = acost
víi 0 ≤ t ≤ 2π ).

12


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------π π
a
13. NÕu x ≥ a v i a > 0 cã thể đặt x =
với t ; \ {0} .
 2 2
sin t



Ví d 1: Cho hai s th c x, y th a mãn x, y > 0 và x + y = 1. Ch ng minh r ng
x4 +

1
1 17
+ y4 + 4 ≥
4
2

x
y

Hư ng d n :
ð t x = cos2t, y = sin2t v i 0 ≤ t ≤ 2π .
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương
1
1  17

 
4
4
.
 cos t +
 +  sin t +
≥
4
cos t  
s in 4 t 
2


Tacó

1  
1 
1




4
4
4
4
 co s t +
 +  sin t +
 = ( sin t + co s t )  1 +

4
4
4
4
co s t  
sin t 
sin t .co s t 


16 
1
16  17


2
= (1 -2 sin 2 t .co s 2 t )  1 +
 = (1 - sin 2 t )  1 +
≥
4
sin 2 t 
2
sin 4 2 t 

2


D u “=” x y ra khi sin2t = 1

Ví d 2: Ch ng minh r ng

1 − x 2 .x ( 2 x 2 − 1)( 8 x 2 − 8 x 2 + 1) ≤

1
v i ∀x ∈ [ 0;1] .
8

Hư ng d n :
 π
ð t x = sint v i t∈ 0;  . B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương
 2
1-cos 2t .cos t.( 2cos 2 t − 1)( 8cos 4 t − 8cos 2 t + 1) ≤

1
8

.

1
⇔ sin t.cos t.( 2cos 2 t − 1)( 8cos 2 t − 8cos 2 t + 1) ≤ .
8
⇔ 4sin 2α .cos 2α .cos 4α ≤ 1 ⇔ 2sin 4α .cos 4α ≤ 1 ⇔ sin 8α ≤ 1 (đpcm) .

Ví d 3: Ch ng minh r ng −1 ≤ 6a 1 − a 2 + 8a 2 ≤ 9 v i ∀a ∈ [− 1;1]

Hư ng d n :
ð t x = cos α , α ∈ [0;π ] .
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương
13


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

−1 ≤ 6cos α . 1 − cos 2 α + 8cos 2 α ≤ 9 .
6cos α . 1 − cos 2 α + 8cos 2 α = 6cos α .sin α + 4(1 + cos 2α ) .

Ta có :

= 3sin 2α + 4 cos 2α + 4

Áp d ng b t ñ ng th c − a 2 + b 2 ≤ a.sin x + b.cos x ≤ a 2 + b 2 ta ñư c
− 32 + 42 + 4 ≤ 3sin 2α + 4cos 2α + 4 ≤ 32 + 42 + 4 ⇒ −1 ≤ 3sin 2α + 4cos 2α + 4 ≤ 9

Ví d 4: Cho | a| ≥ 1 , | b| ≥ 1. Ch ng minh
Hư ng d n : ð t a =

a 2 − 1 + b 2 − 1 ≤ ab .

1
1
;b =
α , β ∈ 0; π  .
 2

cos α
cos β



B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương
1
−1 +
cos 2 α

⇔

1
1
1
.
−1 ≤
⇔ tan α + tan β ≤
2
cos β
cos α .cos β
cos α .cos β

sin(α + β )
1
≤
⇔ sin(α + β ) ≤ 1 .
cos α .cos β cos α .cos β

Ví d 5: (Toán h c & Tu i tr 9/2007).

Cho a, b, c là các s th c không nh hơn 1. Ch ng minh r ng

(a −

1
1
1
1
1
1
)(b − )(c −
) ≥ (a −
)(b −
)(c − ) .
b
c
a
a
b
c

Hư ng d n
V i ñi u ki n a ≥ 1; b ≥ 1; c ≥ 1 thì có th bi u di n các ñ i lư ng qua các hàm
1
1
1
 π
;b =
;c =
.

s lư ng giác : t n t i x, y , z ∈  0;  tho mãn a =
sin x
sin y
sin z
 2
B t ñ ng th c c n ch ng minh ñư c chuy n v b t ñ ng th c lư ng giác
 1
 1

 1
  1
 1
 1
− sin y 




 sin y − sin z  sin z − sin x  ≥  sin x − sin x  sin y − sin y  sin z − sin z .


 

 sin x



(

)(

)(

2
2
2
⇔ (1 − sin x sin y )(1 − sin y sin z )(1 − sin z sin x ) ≥ 1 − sin x 1 − sin y 1 − sin z
2
2
2
⇔ (1 − sin x.sin y )(1 − sin y.sin z )(1 − sin z.sin x ) ≥ cos x. cos y. cos z .

Ta có : 1 − sin x. sin y ≥ cos( x − y ) − sin x. sin y = cos x. cos y .
1 - sin y.sin z ≥ cos(y - z) – sin y.sinz = cosy.cos z
1- sin z.sin x ≥ cos(z - x) – sin z.sin x = cosz.cos x
14

)


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chun B c Giang
B t đ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 π
Vì x, y, z ∈  0;  nên nhân các v tương ng ta có đpcm.
 2

Ví d 6: Cho các s th c dương x, y, z <1 th a mãn xy + yz + zx = 1.
Ch ng minh r ng

3 3
x
y
z
+
+
≥
.
2
2
2
1− x 1− y 1− z
2

Hư ng d n
ð ng th c xy + yz + zx =1 tương ng v i h th c lư ng giác gi a các góc trong
m t tam giác : tan

A
B
B
C
C
A
tan + tan tan + tan tan = 1 .
2
2
2
2

2
2

A
B
C
π
Ch n A, B, C ∈  0;  sao cho x = tan ; y = tan ; z = tan


2
2
2
 2
tan

A
B
B
C
C
A
tan + tan tan + tan tan = 1 ⇒ A + B + C = π .
2
2
2
2
2
2

B t ñ ng th c c n ch ng minh ñư c chuy n v b t ñ ng th c

tan

A
2

1 − tan 2

A
2

tan

+

B
2

1 − tan 2

B
2

+

tan

C
2

1 − tan 2

C
2

≥

3 3
2 .

A
B
C
2 tan
2 tan
2 +
2 +
2 ≥3 3
.
A
B
C
1 − tan 2
1 − tan 2
1 − tan 2
2
2
2
2 tan

⇔

⇔ tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 .
ðây là b t ñ ng th c quen thu c trong lư ng giác.

Ví d 7: (Korea 1998)
Cho các s th c x, y, z dương th a mãn x + y + z = xyz.
1
1
1
3
+
+
≤ .
2
2
2
2
1+ x
1+ y
1+ z

Ch ng minh r ng

Hư ng d n : ð ng th c x+ y + z = xyz tương ng v i h th c lư ng giác gi a
các góc trong m t tam giác : tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC.
π
Ch n A, B, C ∈  0;  sao cho x = tan A, y = tan B , z = tan C





2

15


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Theo gi thi t : tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC.
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương
1
1 + tan 2 A

1

+

1 + tan 2 B

⇔ cosA + cosB + cosC ≤

1

+

1 + tan 2 C

≤

3
.
2

3
( d dàng ch ng minh đư c).
2

Ví d 8: Cho các s th c dương x, y, z tho mãn xy + yz + zx =1.
Ch ng minh r ng :
1)

2x
1 + x2

2) 2

2y

+

x
1 + x2

1 + y2
+

2z

+

y
1 + y2

1 + z2
+

1

≤

z
1 + z2

1 + x2
≤

+

1
1 + y2

1

+

1 + z2

9
8

Hư ng d n
Ch n A, B, C ∈ (0;π ) , A, B,C là 3 góc c a m t tam giác sao cho
x = tan

A
B
C
; y = tan ; z = tan .
2
2
2

tan

Ta có

A
B
B
C
C
A
tan + tan tan + tan tan = 1
2
2
2

2
2
2

.

1) B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương
2 tan

A
2

1 + tan2

A
2

+

2 tan

B
2

1 + tan2

B
2

+

2 tan

C
2

1 + tan2

⇔ sin A + sin B + sin C ≤ cos

C
2

≤

1
A
1 + tan
2
2

+

1
B
1 + tan
2
2

+

1
C
1 + tan
2

.

2

A
B
C
+ cos
+ cos .
2
2
2

Ta có
sin A + sin B = 2sin

A+ B
A- B
C
A- B
C
.cos
= 2cos .cos
≤ 2cos .

2
2
2
2
2

16


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B+ C
B -C
A
B
.cos
= 2cos .cos
2
2
2
B+ C
B -C
A
B
sin B + sin C = 2sin
.cos
= 2cos .cos
2

2
2
sin B + sin C = 2sin

sin C + sin A = 2sin

- C
A
≤ 2cos
2
2
- C
A
≤ 2cos .
2
2

C + A
C - A
B
C - A
B
.cos
= 2cos .cos
≤ 2cos
2
2
2
2
2

C ng các v tương ng ta có

sin A + sin B + sin C ≤ cos

A
B
C
+ cos
+ cos
(ñpcm).
2
2
2

2) B t ñ ng th c c n ch ng minh ñư c chuy n v b t ñ ng th c lư ng giác
2 tan

A
2

1 + tan2

tan
A
2

+

B

2

1 + tan2

tan

B
2

+

C
2

9
≤ .
C 8
1 + tan2
2

B t đ ng th c ®· cho tương đương v i :
S = 2sin

Ta cã :

A
B
C
B +C
B +C

B −C
+ sin + sin = 2cos
+ 2sin
cos
.
2
2
2
2
4
4

2
= 2(1− 2sin

⇔ 4sin2
Ta cã

∆ ' = cos2

A
B
C 9
2sin + sin + sin ≤ .
2
2
2 4

B+C
B+C

B −C
) + 2sin
.cos
4
4
4

B+C
B −C
B+C
− 2cos
.sin
+ S − 2 = 0.
4
4
4

B −C
B −C 9
− 4S + 8 ≥ 0 ⇒ S ≤ 2 + cos2
≤ đpcm .
4
4
4

Ví d 9: Cho các s dương x, y, z tho mãn x2+ y2 + z2 + 2xyz =1.
Ch ng minh r ng:
a) x, y, z <1.
b)

1− x
1− y
1− z
+
+
≥ 3.
1+ x
1+ y
1+ z

Hư ng d n
a) Nh n xét 0 < x2, y2,z2 < 1 ⇒ 0
17


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- ð ng th c x2+y2+z2+2xyz =1 tương

ng v i h

th c lư ng giác

cos2A + cos2B + cos2C + 2cosAcosBcosC = 1.
π
Ch n A, B, C ∈  0;  sao cho x = cosA, y = cosB, z = cosC.





2

Theo gi thi t cos2A + cos2B + cos2C + 2cosAcosBcosC = 1 ⇒ A + B + C = π .
B t ñ ng th c c n ch ng minh ñư c chuy n v b t ñ ng th c lư ng giác
1 − cos A
1 − cos B
1 − cos C
+
+
≥ 3.
1 + cos A
1 + cos B
1 + cos C
Ta có: tan
tan

A
B
B C
C
A
tan + tan tan + tan tan = 1 .
2
2
2
2
2

2

A
B
C
A
B
C
+ tan + tan ≥ 3 ⇔ (tan + tan + tan ) 2 ≥ 3
2
2
2
2
2
2

⇔ (tan

A
B
C
A
B
B
C
C
A
+ tan + tan ) 2 ≥ 3(tan tan + tan tan + tan tan )
2
2

2
2
2
2
2
2
2

⇔ tan 2

A
B
C
A
B
B
C
C
A
+ tan 2 + tan 2 ≥ tan .tan + tan .tan + tan .tan .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2

2

A
A
B 
B
C 
C

⇔  tan − tan  +  tan − tan  +  tan − tan  ≥ 0 (ðpcm).
2
2 
2
2 
2
2


II.2.2. Nhìn b t đ ng th c theo phương di n hình h c.
ð có th nhìn nh n bài tốn theo phương di n hình h c, HS c n n m
v ng nh ng bi u th c, công th c, ñ ng th c, b t ñ ng th c cơ b n c a hình h c,
s liên h v t p xác ñ nh c a các s

v i đ đo các đ i lư ng hình h c, ch ng

h n:
- M i s dương a ln t n t i đo n th ng AB có đ dài b ng a.

- Ba s dương a, b, c th a mãn: t ng hai s b t kì l n hơn s th ba ln t n t i
m t tam giác nh n a, b, c là ñ dài các c nh..
- V i ba s dương b t kì x, y, z thì x+ y, y+ z, z+ x là ñ dài ba c nh tam giác.

- Chuy n bài tốn b t đ ng th c hình h c, tam giác v i ba c nh a, b, c v b t
ñ ng th c v i ba s dương b ng cách ñ t x = b+ c - a, y= c+a - b, z = a+ b - c.
- N u x2 + y2 = a2 và x, y, a > 0 thì t n t i tam giác vng sao cho a là đ dài
c nh huy n cịn x, y là đ dài các c nh góc vng.
18


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2a

- Ba s dương x, y, z có t ng b ng a ln t n t i tam giác đ u ABC c nh

3

và

ñi m M n m trong tam giác sao cho kho ng cách t M ñ n 3 c nh l n lư t là x,
y, z.

Ví d 1: Cho a, b, c là ñ dài ba c nh m t tam giác, ch ng minh r ng
(b+ c – a ).(c + a – b )(a + b – c ) ≤ abc.

Hư ng d n
V i ñi u ki n ñã cho thì b + c – a > 0, c + a – b > 0, a + b – c > 0.
ð t b + c – a = x, c + a – b= y, a + b – c = z.

suy ra a =

y+ z
z+x
x+ y
;b =
;c =
.
2
2
2

B t ñ ng th c c n ch ng minh v b t ñ ng th c

xyz ≤

y+z z+x x+ y
.
.
.
2
2
2

Áp d ng b t đ ng th c Cơsi cho hai s dương
x + y ≥ 2 xy , y + z ≥ 2 yz , z + x ≥ 2 zx .
Nhân các v tương ng ta có đpcm.

Ví d 2: Ch ng minh r ng

a
b
c
+
+
≥ 3 v i a, b, c là ñ dài
b + c -a c + a -b a +b -c

ba c nh m t tam giác.

Hư ng d n
ð t b+c-a =x, c+a-b =y, a+b-c=z. Suy ra

a=

y+z
z+x
x+ y
;b =
;c =
.
2
2
2

B t ñ ng th c c n ch ng minh ñươc chuy n v b t ñ ng th c :

y+z z+x x+ y
2 + 2 + 2 ≥3
x

y
z

⇔

y + z
z+ x
x+ y
y
x
z
x
y
z
+
+
≥ 6⇔ ( + )+( + )+( + )≥ 6
x
y
z
x
y
x
z
z
y

Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho hai s dương
 y
 y

x
x
z 
 z
 +  ≥ 2;  +  ≥ 2;  +  ≥ 2 .
 z

 x
y
z
y
 x




C ng các v tương ng ta có đpcm.
19


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chun B c Giang
B t đ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví d 3 : (International Mathematical Olympiad 1983)
Cho a, b, c là ñ dài ba c nh tam giác cã di n tích S. Ch ng minh r ng
1. a2b.(a-b)+b2c.(b-c)+c2a.(c-a) ≥ 0.
2. a2 +b2 + c2 ≥ 4S. 3 .
3. 2ab +2bc +2ca - a2 - b2 - c2 ≥ 4S. 3 .

Hư ng d n
T n t i x, y, z > 0 th a mãn a = y+z, b =z +x, c = x+y.
1. B t ñ ng th c c n ch ng minh ñư c chuy n v b t ñ ng th c
(y+z)2(z+x).(y-x)+(z+x)2.(x+y).(z-y)+(x+y)2.(y+z)(x-z) ≥ 0.
Ta ph i ch ng minh : x3.z +y3.x + z3.y ≥ x2yz +xy2z + xyz2
⇔

x2 y2 z 2
+ + ≥ x+ y+ z.
y z x

Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho hai s dương

x2
y2
z2
+ y ≥ 2 y,
+ z ≥ 2 z, + x ≥ 2 z
y
z
x
2. ð t p = x + y + z ta có p – a = x, p – b = y, p – c = z, S = xyz ( x + y + z ) .
B t ñ ng th c c n ch ng minh ñư c chuy n v b t ñ ng th c
(y + z)2 + (z + x)2 + ( x + y)2 ≥ 4 3( x + y + z ) xyz .
V trái ≥ 4(yz+zx+xy).
V ph i = 4 3 ( yz ) . ( zx ) + ( zx).( xy ) + ( xy ).( yz )  .


Ta ch ng minh yz + zx + xy ≥ 3 ( yz ) . ( zx ) + ( zx).( xy ) + ( xy).( yz)  .



⇔ ( yz + zx + xy ) ≥ 3 ( yz ) ( zx) + ( zx )( xy ) + ( xy )( yz )  .


2

⇔ ( yz ) + ( zx ) + ( xy ) ≥ ( yz )( zx ) + ( zx )( xy ) + ( xy )( yz ) .
2

2

2

⇔ ( yz − zx ) + ( zx − xy ) + ( xy − yz ) ≥ 0 ñpcm.
2

2

2

3. B t ñ ng th c c n ch ng minh ñư c chuy n v b t ñ ng th c
2(y+z)(z+x)+2(z+x)(x+y)+2(x+y)(y+z)-(y+z)2-(z+x)2-(x+y)2 ≥ 4 3( x + y + z ) xyz .
⇔ xy + yz + zx ≥ 3 ( x + y + z ) xyz .
20


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
2

2
⇔ ( yz ) + (zx ) + ( xy ) ≥ ( yz )( zx ) + ( zx )( xy ) + (xy )( yz ) . D dàng suy ra đpcm.

Ví d

3 :Ch ng minh r ng

x a − y 2 + y a − x 2 ≤ α víi mäi ∀x, y ∈ (0; a )

Hư ng d n
D ng m t tam giác vngOAB có hai c nh góc vng

B

H
K
O

A

OA = x, OB = a − x 2 ⇒ AB = OA 2 + OB 2 = a .
∧

∧

D ng tia Ot sao cho góc AOt ta có: sin AOt =

1

a

∧

a − y 2 , cos BOt =

1

a

.y .

∧
∧
Khi đó x a − y 2 + y a − x 2 = a .OA.sin AOt + a .OB.sin BOt = a ( BK + AH )
≤ a . AB = a . a = a

(đpcm)

II.2.3 Nhìn b t ñ ng th c theo các phương di n khác.
1. V i phương di n b t ñ ng th c ñ i s , c n n m v ng các tính ch t c a
b t đ ng th c, các b t ñ ng th c ñi n, b t ñ ng th c bình phương và b t ñ ng
th c ch a d u giá tr tuy t ñ i.
2.V i phương di n hàm, c n hi u bi t nh ng ñ nh hư ng cơ b n ng
d ng hàm ch ng minh b t ñ ng th c.
3.V i phương pháp véc tơ và t a ñ , c n n m v ng b t ñ ng th c v mơ
đun véc tơ.
4. V i phương pháp tam th c b c hai, c n n m v ng ñi u ki n có nghi m
và ñ nh lý v d u tam th c b c hai.
5. V i phương pháp bi n ñ i tương ñương, c n n m v ng tính ch t cơ b n
c a b t ñ ng th c và các b t ñ ng th c thu c các phương di n trên.

21


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Phương di n ñ i bi n s ñ i s , ñ i bi n.
+ N u ba s dương a, b, c có tích b ng 1 thì t n t i các s dương x, y, z tho mãn
x
y
z
a = ;b = ; c = .
y
z
x
+ N u các s dương a1, a2, …,an có tích b ng 1 thì ln t n t i các s dương x1,
x2,…, xn th a mãn a1 =

x1
x
x
; a2 = 2 ;...; an = n .
x2
x3
x1

+ N u các s dương a, b, c có t ng b ng k thì t n t i các s dương x, y, z tho
mãn a =

kx
ky
kz
;b =
;c =
.
x+ y+z
x+ y+z
x+ y+z

+ N u các s dương a1, a2,…,an có t ng b ng k thì ln t n t i các s dương x1,
x2,…, xn th a mãn a1 =

kx1
n

∑x

; a2 =

i

i =1

kx2
n

∑x

;...; an =

i

kxn
n

∑x

.

i

i =1

i =1

II.2.3.1. Ch ng minh b t ñ ng th c t các b t ñ ng th c c ñi n
Các k thu t s d ng c a b t đ ng th c Cơsi
1. ðánh giá t trung bình c ng sang trung bình nhân
Ví d 1: Ch ng minh r ng: ( a 2 + b2 )( b2 + c 2 )( c 2 + a 2 ) ≥ 8a 2b2c 2 ∀a, b, c
Hư ng d n
S d ng BðT Côsi : x2 + y2 ≥ 2 x 2 y 2 = 2|xy| ta có:
a 2 + b2 ≥ 2 | ab |≥ 0 ; b2 + c 2 ≥ 2 ¦ bc |≥ 0 ; c 2 + a 2 ≥ 2 | ac |≥ 0

(

)(

)(

)
ng minh r ng: (

⇒ a 2 + b2 b 2 + c2 c 2 + a 2 ≥ 8| a 2b2c 2 | = 8a 2b2c 2 ∀a, b, c

Ví d 2. Ch

)

8

a + b ≥ 64ab(a + b)2 ∀ a,b ≥ 0

Hư ng d n

(

) (

)

2 4

4





a + b =  a + b  = ( a + b ) + 2 ab  ≥  2 2 ( a + b ) ab  = 24.22.ab. ( a + b ) =







2
= 64ab(a + b)
8

4

Ví d 3: Ch ng minh r ng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab ∀ a, b ≥ 0.
Hư ng d n
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 33 1.a.b. 3.3 a.b.ab = 9ab .

Ví d 4: Ch ng minh r ng: 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 ∀ a, b ≥ 0
22

2


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chuyên B c Giang
B t ñ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hư ng d n
Ta có: 3a3 + 7b3 ≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 ≥ 33 33 a3b6 = 9ab2

Ví d 5: Cho: a, b, c, d > 0,

1
1
1
1
1
+
+
+
≥ 3 CMR : abcd ≤
1+ a 1+ b 1+ c 1+ d
81

Hư ng d n
T gi thuy t suy ra:

1
1  
1  
1 
b
c
d
≥ 1 +
+
≥ 3
 + 1 −
 + 1 −
=
1+ a  1+ b   1+ c   1+ d  1+ b 1+ c 1+ d

V y:

1
bcd
≥3 3
≥0 ;
1+ a
(1+ b) (1+ c) (1+ d )

1
≥3
1+ b

dba
1
≥3 3
≥0 ;
1+ c
(1 + d )(1 + b ) (1 + a )
⇒

1

(1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d )

≥ 81

3

3

bcd
(1 + b ) (1 + c ) (1 + d )

cda
≥ 0;
(1 + c ) (1 + d ) (1 + a )

abc
1
≥3 3
≥0
1+ d
(1 + a ) (1 + b ) (1 + c )

abcd
1
⇒ abcd ≤
81
(1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d )

Bài toán t ng quát 1:
 x1 , x2 , x3 ,..., xn > 0

Cho:  1
1
1
1
1 + x + 1 + x + 1 + x + ... + 1 + x ≥ n − 1

n
1
2
3

a, b, c > 0
Ví d 6: Cho 

a + b + c = 1


CMR : x1 x2 x3...xn ≤

1

( n − 1)

n

1
 1
 1 
CMR :  − 1 − 1 −1 ≥ 8
a
 b
 c


Hư ng d n :
VT =

1− a 1− b 1− c b + c c + a a + b
2 bc 2 ca 2 ab
.
.
=
.
.
≥
.
.
= 8 (ñpcm)
a
b
c
a
b
c
a
b
c

 x , x , x ,..., xn > 0
Bài toán t ng quát 2: Cho:  1 2 3

 x1 + x2 + x3 + ... + xn = 1

1

CMR: 



 x1

 1

− 1 


  x2

 1
 1

n
−1 ....  − 1 ≥ ( n − 1)
x




  x3
  n

− 1 


Ví d 7: Ch ng minh r ng
(1 +

(2)
(3)
a + b + c 3 (1)
) ≥ (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ (1 + 3 abc ) 3 ≥ 8 abc víi ∀ a , b , c ≥ 0
3

Hư ng d n
Ta có: (1 +

a + b + c 3 (1 + a ) + (1 + b ) + (1 + c ) 3
) =(
) ≥ (1 + a) (1 + b ) (1 + c)
3
3
23


L i Thu H ng – ð Th Nhung THPT Chun B c Giang
B t đ ng th c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vì (1 + a) (1 + b) (1 + c) = 1 + (ab + bc + ca) + ( a + b c) + abc
≥ 1 + 3 3 a 2b2c2 + 3 3 abc + abc = (1 + 3 abc )3

Ta có: (1+ 3 abc )3 ≥ (2 1.3 abc )3 = 8 abc

D u “ = ” (1) x y ra ⇔ 1+a = 1+b = 1+c ⇔ a = b = c
D u “ = ” (2) x y ra ⇔ ab = bc = ca và a = b = c ⇔ a = b= c
D u “ = ” (3) x y ra ⇔ 3 abc =1 ⇔ abc = 1

Bài toán t ng quát 3
Cho x1, x2, x3,..., xn ≥ 0. CMR:

1 +



n

(2)
x1 + x2 + ... + xn  (1)
 ≥ (1 + x )(1 + x )....(1 + x ) ≥ (1 + x x ...x

n

n

1

n

2

1

2

)n
n

(3)

≥ 2n x1x2 ...xn

Trong vi c ñánh giá t TBC sang TBN có m t k thu t nh hay đư c s d ng.
ðó là kĩ thu t tách ngh ch ñ o.

2. K thu t tách ngh ch đ o
Ví d 1. CMR:

a b
+ ≥ 2 ∀a.b > 0
b a

Ví d 2. CMR:

a2 + 2
≥2
a2 +1

∀a ∈ R

Hư ng d n
Ta có :

a 2 + 2 (a 2 +1) + 1
1
1
=
= a2 +1 +

≥ 2 a 2 +1
=2
a2 +1
a2 +1
a2 +1
a2 +1
1
⇔ a2 +1 = 1 ⇔ a = 0
D u “ = ” x y ra ⇔ a 2 + 1 = 2
a +1
Ví d 3: CMR: a +

1
≥ 3 ∀a > b > 0
b( a − b)

Hư ng d n
Ta có nh n xét : b + a – b = a không ph thu c vào bi n b do đó h ng t đ u a
s đư c phân tích như sau :
a+

1
1
1
= b + ( a − b) +
≥ 3 3 b(a − b).
= 3 ∀a > b > 0
b( a − b)
b( a − b )
b ( a − b)

D u “ = ” x y ra ⇔ b = ( a − b ) =

1
⇔ a = 2 và b = 1.
b (a − b)
24