Sáng kiến kinh nghiệm về số phức ở trường THPT chuyên Bắc Giang.PDF

Mục lục
Trang

Mở ñầu 1
Chương I. DẠNG
ðẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
2
I.1. Kiến thức cần nhớ 2
I.2. Các dạng bài tập 3
I.2.1 Thực hiện phép tính 3
I.2.2 Viết số phức dưới dạng ñại số - Tìm phần thực,
phần ảo của số phức

5
I.2.3 Xác ñịnh số phức 6
I.2.4 Xác ñịnh tập hợp ñiểm trên mặt phẳng phức 8
I.2.5 Biểu diễn hình học của số phức z 10
Chương II.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC
HAI


12
II.1. Kiến thức cần nhớ 12
II.1.1 Căn bậc hai của số phức 12
II.1.2 Phương trình bậc hai 12
II.2. Các dạng bài tập 12
II.2.1 Tìm căn bậc hai của số phức 12
II.2.2 Giải phương trình bậc hai trên tập số phức 13
II.2.3 Giải hệ phương trình bậc hai trên tập số phức 16
Chương III.

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
18
III.1.

Kiến thức cần nhớ 18
III.1.1 Số phức dưới dạng lượng giác 18
III.1.2 Nhân chia dưới dạng lượng giác 18
III.1.3 Công thức Moa- vrơ 18
III.2 Các dạng bài tập 18
III.2.1 Tìm acgumen của số phức – viết sô phức dưới
dạng lượng giác

18
III.2.2 Thực hiện phép tính dưới dạng lượng giác – Viết
số phức dưới dạng ñại số


20
III.2.3 Ứng dụng số phức vào giải toán Niutơn và lượng
giác

23
Bài tập tổng hợp 26
Kết luận 31
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


1
Lời nói ñầu

Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, gần như trường số phức thỏa mãn
các yêu cầu của toán học. Chính vì thế mà mặc dù gọi là số ảo nhưng trường số phức
ñóng vai trò quan trọng trong ñời sống thực của chúng ta. ðặc biệt ở cấp trung học phổ
thông nó có rất nhiều ứng dụng ñể dễ dàng tiếp cận các bài toán sơ cấp khó, vì vậy trong
những năm gần ñây Bộ Giáo dục ñã ñưa vào chương trình giảng dạy ở cấp phổ thông.
Nhằm mục ñích giới thiệu ñến quí thầy cô giáo và các em học sinh một cách chi
tiết hơn về số phức, cách tiếp cận cũng như ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán
ôn thi ñại học nên tôi viết chuyên ñề này. Hy vọng rằng qua chuyên ñề này quí thầy cô
giáo và các em học sinh phát hiện ñược các vấn ñề mới mẻ và hấp dẫn cũng như ứng dụng
ña dạng của số phức trong giải toán phổ thông. Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học
chủ ñề số phức trong trường phổ thông.
Bài viết ñược chia thành ba chương:
Chương I. Dạng ñại số của số phức.
Nội dung chương I bao gồm các vấn ñề cơ bản về dạng ñại số của số phức, các dạng toán
thường gặp như thực hiện phép tính, xác ñịnh phần thực, phần ảo, xác ñịnh tập hợp ñiểm
biểu diễn số phức…
Chương II. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai.
Nội dung chương II trình bày vắn tắt cách xác ñịnh căn bậc hai của số phức và cách giải
phương trình bậc hai trên trường số phức. Từ ñó mở rộng thêm cách tìm nghiệm của
phương trình bậc cao bằng cách qui về giải phương trình bậc hai và giải hệ phương trình
trên tập số phức.
Chương III. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng.
Nội dung chương III trình bày các kiến thức cơ bản học sinh cần nhớ khi thực hiện phép
toán dưới dạng lượng giác. Nêu các ứng dụng của số phức trong giải toán tổ hợp và lượng
giác.
Trong mỗi chương ñều tóm tắt kiến thức cơ bản và phân dạng bài tập thường gặp.
Cuối mỗi dạng ñều có bài tập tương tự. Phần bài tập tổng hợp có tập hợp các ñề thi tuyển
sinh ñại học – cao ñẳng về số phức.
Mặc dù ñã rất cố gắng, bằng những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và việc

nghiên cứu tài liệu nhưng do năng lực bản thân còn hạn chế, thời gian thực hiện chuyên
ñề chưa dài nên không tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận ñược sự ủng hộ, ñóng góp ý
kiến của quí thầy cô giáo và bạn ñọc ñể chuyên ñề ñược hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành
cảm ơn.
Người viết chuyên ñề
Thân Thị Nguyệt Ánh.
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


2
Chương I
DẠNG ðẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
I.1 Kiến thức cần nhớ.
I.1.1 Các ñịnh nghĩa
ðịnh nghĩa 1
Số phức z là biểu thức có dạng a + bi ( a, b ∈ R), kí hiệu z = a + bi.
* i gọi là ñơn vị ảo, i
2
= -1;
*a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo.
* Tập hợp tất cả các số phức z kí hiệu là C.
ðịnh nghĩa 2
Cho hai số phức z = a + bi, z’ = a’ + b’i (a, b , a’, b’∈ R ). Số phức z và z’ bằng nhau
nếu a = a’ và b = b’. Kí hiệu z = z’.
I.1.2 Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức z = a + bi ( a, b ∈ R) ñược biểu diễn bởi ñiểm M(a; b) trong mặt phẳng tọa
ñộ Oxy. Ngược lại, mỗi ñiểm M(a; b) biểu diễn một số phức là
z = a + bi, ta viết M(a + bi) hay M(z).
I.1.3 Các phép toán.

a) Phép cộng hai số phức
Tổng của hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i (a, b, a’, b’∈ R ) là số phức
z + z’ = ( a + a’) + (b + b’)i.
b) Phép trừ hai số phức
Hiệu của số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i ( a, b, a’, b’∈ R ) là tổng của z với –z’ kí
hiệu z – z’ = a – a’ + ( b – b’)i.
c) Phép nhân số phức
Tích của hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i (a, b, a’, b’∈ R ) là số phức
z.z’ = (aa’ – bb’) + ( ab’ + a’b)i.
I.1.4 Số phức liên hợp và mô ñun của số phức.
a) Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z = a + bi ( a, b ∈ R) là số phức a – bi,
kí hiệu
z
=
)( bia +
= a – bi.
b) Mô ñun của số phức
Mô ñun của số phức z = a + bi ( a, b ∈ R) là |z| =
22
ba +
.


Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


3
I.1.5 Phép chia cho số phức khác 0.

* Số phức nghịch ñảo của số phức z ≠ 0 là z
-1
=
z
z
2
||
1
.
* Thương
z
z'
của phép chia số phức z’ cho z khác 0 là tích của z’ với nghịch ñảo của z,
tức là
z
z'
= z’.z
-1
. Như vậy
z
z'
=
2
'.
z
zz
( z ≠ 0).
I.2 Các dạng bài tập.
I.2.1 Thực hiện phép tính.
Ví dụ 1

Tính z + z’, z – z’; z.z’,
z
z'
trong các trường hợp sau:
a) z = 5 + 2i, z’ = 4 + 3i b) z = -4 – 7i, z’ = 2 – 5i.
Lời giải
a) z + z’ = ( 5 + 4) + ( 2 + 3)i = 9 + 5i.
z – z’ = ( 5 - 4) + ( 2 - 3)i = 1 – i.
z.z’ = ( 20 - 6) + ( 15 + 8)i = 14 + 23i.

z
z'
=
i
ii
i
i
25
7
25
26
9
16
)34)(25(
3
4
25
−=
+
−

+
=
+
+
.
b) z + z’ = ( -4 + 2) – ( 7 + 5)i = -2 – 12i.
z – z’ = ( -4 - 2) + (-7 + 5)i = -6 – 2i.
z – z’ = ( -4 – 7i)( 2 – 5i) = ( -8 - 35) + ( 20 - 14)i = -43 + 6i.
z
z'
=
i
ii
i
i
29
34
29
27
25
4
)52)(74(
5
2
74
−=
+
+
−
−

=
−
−
−
.
Ví dụ 2
Rút gọn các biểu thức sau: a) ( 1 + i)
3
b) i
2011
(1 – i)
2
c) ( 2 – 3i)
2
.
Lời giải
a) ( 1 + i)
3
= 1 + 3i + 3i
2
+ i
3
= -2 + 2i.
b) i
2011
(1 – i)
2
= (i
2
)

1005
( 1 – 2i + i
2
) = -1(-2i) = 2i.
c) ( 2 – 3i)
2
= 4 – 12i + 9i
2
= -5 – 12i.
Ví dụ 3
Thực hiện phép tính
a)
i
3
2
1
−
b)
i
i23
−
c)
i
i
−
−
4
43
.
Lời giải

a)
i
3
2
1
−
=
13
3
13
2
9
4
32
+=
+
+
i
b)
i
ii
i
i
32
1
))(23(23
−−=
−
−
=

−

Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


4
c)
.
17
13
17
16
17
)163(412
1
16
)4)(43(
4
43
i
iii
i
i
−=
−
+
+
=
+

+
−
=
−
−

Ví dụ 4
Tính giá trị của biểu thức
A =






−
7
7
1
2
1
i
i
i
; B =
i
iii
i
i 1
)32)(32()1(

1
1
10
3
+−++−+






−
+

C = 1 + (1+i) + ( 1 +i)
2
+ ( 1+i)
3
+…+ (1+i)
20
.
Lời giải
A=
.1
2
21
2
1
)(
1

)(
4
2
32
32
−=
−
=






+−−=






−
−
i
i
i
ii
ii
ii
i

B =
[ ]
iii
ii
i
iii
i
i
−−+−+






+
++
=+−++−+






−
+
2
5
2

3
10
3
94)1(
11
)1)(1(1
)32)(32()1(
1
1

=
.341313)2(
2
2
5
3
iii
i
−=−+−+







C=
[
]
i

i
i
i
ii
i
ii
i
i
10251024
102410251)2)(1(1)1()1(
1
1
1)1(
10
10
221
+−=
−−
=
−+
=
−++
=
−+
−+
.
Ví dụ 5
Thực hiện phép tính: a)
)21)(1(
3

ii
i
−+
+
b)
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+−+
−−+
.
Lời giải
a)
.
2
3
5
4
10
)3(
3
3
)21)(1(
3
2
i
i

i
i
ii
i
+=
+
=
−
+
=
−+
+

b)
.
17
9
34
21
644
)82)(63(
82
63
444129
21441
)2()23(
)1()21(
22
22
22

22
i
ii
i
i
iiii
iiii
ii
ii
+=
+
−+−
=
+
+−
=
−−−++
−+−++
=
+−+
−−+

Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho
iz
4
26
4
26 −
+

+
=
.
Tính a) z +
z
; b) z -
z
c) z.
z
d)
z
z
.
Bài 2 Cho P(z) = z
3
+ 2z
2
– 3z + 1.Tính giá trị của P(z) khi z = 1 – i; z = 2 + i
3
.
Bài 3. Cho
iz
2
1
2
3
−=
, tính các số phức sau:
z
, z

2
; (
z
)
3
; 1 + z + z
2
.
Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:
a)
i
i
i
i
+
−
+
−
+
1
1
1
1
b)
32
332
i
i
i
−

−
+

Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


5
c)
44
2
51
2
51








−
+









+ ii
d)
i
ii
4
2
13)1(
3
+
++
.
Bài 5. Cho z = 2 – 3i, z’ = -1 + 5i
Tính a) z.z’ b)
'.zz
c)
z
z'
d) z
2
+ z’ e) |z
2
+ z’|.
I.2.2. Viết số phức dưới dạng ñại số - Tìm phần thực, phần ảo của
số phức.
Ví dụ 1
Xác ñịnh phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a) i + ( 2 – 4i) – ( 3 – 2i) b) i(2 - i)( 3 + i).
Lời giải

a) z = i + ( 2 – 4i) – ( 3 – 2i) = -1 – i ; phần thực của z bằng -1; phần ảo bằng -1.
b) z = i(2 - i)( 3 + i) = i( 7 - i) = 1 + 7i; phần thực của z bằng 1; phần ảo bằng 7.

Ví dụ 2
Chứng minh rằng số phức
z
z
v
+
−
=
1
1
là số thuần ảo khi và chỉ khi |z| = 1.
Lời giải
ðặt v = a + bi; z = x + iy ( a, b, x, y ∈ R).
Ta có
i
yx
y
yx
yx
z
z
2222
22
)1(
2
)1(
1

1
1
++
−
++
−−
=
+
−

ðiều kiện cần:
Nếu v là số thuần ảo thì
22
22
)1(
1
yx
yx
++
−−
= 0 ⇔ 1 – x
2
– y
2
= 0 ⇔ 1= x
2
+ y
2
⇔ |z| = 1.
ðiều kiện ñủ:

Do
z
z
v
+
−
=
1
1
⇔ 1 – z = v + vz ⇔ (1 + v)z = 1 – v ⇔
v
v
z
+
−
=
1
1
.
Nếu |z| = 1 thì
1
1
1
=
−
+
v
v
⇔ | 1+ v| = | 1 - v| ⇔ | 1 + a + bi| = | 1 – a - bi|
⇔ ( 1+a)

2
+ b
2
= ( 1 - a)
2
+ b
2
⇔ a = 0 ⇒ v là số ảo.
Ví dụ 3
Viết các số phức sau về dạng ñại số: a)
)3)(21(
1
ii −+
b)
)32)(1(
5
ii
i
−+
+
.
Lời giải
a)
)3)(21(
1
ii −+
=
i
i
i

10
1
10
1
10
1
5
5
1
−=
−
=
+
.
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


6
b)
)32)(1(
5
ii
i
−+
+
=
13
5
13

12
26
)5(
5
5
2
+=
+
=
−
+ i
i
i
.

Bài tập tự luyện.
Bài 1. Viết các số phức sau về dạng ñại số.
a)
23
32
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+−+
−−+
b) ( 2 + i)( -1 + i)( 1 + 2i)
2
. c)
(

)
3
31 i+

d)
)2(
31
)31)(23(
i
i
ii
−+
+
−
+
e) ( 1 + i)
20
f)
i
i
−
+
+
1
1
1
1

g) i
2010

+ i
2011
h)
i
i
i
i +
−
+
− 2
1
3
.
Bài 2. Xác ñịnh phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a) ( 2 - i)
6
b)
2
31
31








−
+

i
i
c)
i
i
2
3
)43(
−−
+

d)
31
)3(
3
i
i
+
+
e)
7
9
)1(
)1(
i
i
−
+
f)
1)1(

1)1(
5
5
++
−−
i
i
.
I.2.3. Xác ñịnh số phức.
Ví dụ 1
Tìm số phức z thỏa mãn iz + z – i = 0.
Lời giải
Từ giả thiết ta ñược z =
i
ii
i
i
21
1
)2(2
+=
+
−
−
=
+
−
.
Ví dụ 2
Tìm số phức z thỏa mãn z

2
+ 5 = 0.
Lời giải
Ta có z
2
+ 5 = 0 ⇔ z
2
– (
5
i)
2
= 0 ⇔ (z -
5
i ) ( z +
5
i) = 0 ⇔ z =
5
i; z = -
5
i.
Ví dụ 3
Tìm số phức z thỏa mãn z .
z
+ 3(z –
z
) = 4 – 3i.
Lời giải
Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R). Theo giả thiết ta có
z .
z

+ 3(z –
z
) = 4 – 3i ⇔ (x + yi)(x - yi) + 3( x + yi – x + yi) = 4 – 3i
⇔ x
2
+ y
2
+ 6yi = 4 – 3i ⇔












−=
=
⇔
−=
=+
2
1
4
15
36

4
2
22
y
x
y
yx
.
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


7
Vậy có hai số phức z thỏa mãn z
1
=
i
2
1
2
15
−
và z
2
= -
i
2
1
2
15

−
.
Ví dụ 4. Trong các sô phức z thỏa mãn ñiều kiện |z – 2 – 4i| =
5
tìm số phức có mô ñun
lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải
Xét số phức z = x + iy (x, y ∈ R), từ giả thiết ta có ( x- 2)
2
+ (y - 4)
2
= 5. Suy ra tập hợp
các ñiểm M(x; y) biểu diễn số phức z là ñường tròn (C) tâm I(2;4) bán kính R =
5
.
Ta có |z|
2
= OM
2
= x
2
+ y
2
. Gọi d là ñường thẳng ñi qua O(0; 0) và tâm I(2; 4), phương
trình ñường thẳng d có dạng y = 2x.
Gọi A, B là các giao ñiểm của d và ñường tròn (C) , tọa ñộ của A(1;2) và B(3;6).
Khi ñó OA =
5
; OB = 3
5

. Vậy khi M trùng với A thì OM ngắn nhất, và khi M trùng
với B thì OM lớn nhất.
Vậy số phức có mô ñun nhỏ nhất là z = 1 + 2i; số phức có mô ñun lớn nhất là z = 3 + 6i.
Nhận xét
Ngoài phương pháp hình học trên ta có thể sử dung bất ñẳng thức bunhia ñể xác ñịnh số
phức z. Thật vậy, xét ñiểm M(2+
5
sinα; 4+
5
cosα), khi ñó |z| = OM.
Ta có |z|
2
= OM
2
= (2+
5
sinα)
2
+ (4+
5
cosα)
2
= 25 + 4
5
(sinα + 2cosα).
Áp dụng bất ñẳng thức Bunhia ta có (sinα + 2cosα)
2
≤ ( 1 + 4)( sin
2
α + cos

2
α) = 5
Suy ra -
5
≤ sinα + 2cosα ≤
5
hay
5
≤ |z| ≤ 3
5
.
|z| =
5
khi và chỉ khi sinα + 2cosα = -
5
⇔ sinα = -
5
1
; cosα = -
5
2
⇔ x = 1; y = 2 .
|z| = 3
5
khi và chỉ khi sinα + 2cosα =
5
⇔ sinα =
5
1
; cosα =

5
2
⇔ x = 3; y = 6.
Vậy số phức có mô ñun nhỏ nhất là z = 1 + 2i; số phức có mô ñun lớn nhất là z = 3 + 6i.
Ví dụ 5
Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức



=−
+−=−+
5||
|2||21|
iz
iziz
.
Lời giải
Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R). Từ giả thiết ta có



=−+
−+−=−++
5|)1(|
|)1()2(||)2()1(|
iyx
iyxiyx





=−+
−+−=−++
⇔
5)1(
)1()2()2()1(
22
2222
yx
yxyx






=
=
⇔
=−−
=
⇔
3
1
04610
3
2
y
x
xx

xy
hoặc





−=
−=
5
6
5
2
y
x
.
Vậy có hai số phức thỏa mãn là z = 1 + 3i; z =
i
5
6
5
2
−−
.
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


8
Ví dụ 6

Xét số phức z thỏa mãn hệ thức z =
)2(1 imm
mi
−−
−
( m là số thực), tìm m ñể:
a) z.
2
1
=z
; b) |z-i| ≤
4
1
; c) z có mô ñun lớn nhất.
Lời giải
Ta có
i
mm
m
mm
immmmm
mimmim
mimmi
imm
mi
z
1
1
1
4)1(

)21(2)1(
)21)(21(
)21)((
)2(1
22
22
222
22
2
2
+
+
+
=
+−
+−++−−
=
−−+−
−−−
=
−−
−
=

a) suy ra
i
m
m
m
z

1
1
1
22
+
−
+
=
. Khi ñó z.
2
1
=z

⇔

2
1
)1(
1
22
2
=
+
+
=
m
m
z

⇔

m
2
+ 1 = 2
⇔
m = 1 hoặc m = -1.
b) |z-i| ≤
4
1

16
1
)1()1(4
1
11
22
4
22
2
2
2
2
≤
+
+
+
⇔≤
+
−
+
⇔

m
m
m
m
i
m
m
m
m

⇔
16m
2
≤ 1 + m
2

15
1
15
1
≤≤−⇔ m
.
c) |z| =
1
1
)1(
1
2
22
2

+
=
+
+
m
m
m
≤ 1. Dấu ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = 0.

Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn
a) ( 1 – 3i)z = z + 2 b) ( 2 +i)
z
- 4 = 0.
Bài 2. Tìm x, y ∈ R thỏa mãn:
a) x + y + ( x – y)i + 1 = 0 b) x – 1 + yi = -x + 1 +i
c)



+=+−+
+=++−
iyixi
iyixi
45)32()24(
62)24()3(
.
Bài 3. Tìm x, y ∈ R sao cho: a) z = ( x+ iy)
2
là số thực. b) v = ( x + iy)

3
là số ảo.
Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn
a) z
2
+ |z| = 0 ; b)
i
i
z
i
i
+
+
−
=
−
+
2
31
1
2
;
c)
z
+ z
2
= 0 ; d) z + 2
z
= 2 – 4i.
Bài5. Tìm số phức z thỏa mãn

Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


9
a)







=
+
−
=
−
−
1
3
1
1
iz
iz
iz
z
; b)








=
−
−
=
−
−
1
8
4
3
5
8
12
z
z
iz
z
; c)
1
4
=







−
+
iz
iz
.
I.2.4 Xác ñịnh tập hợp ñiểm trên mặt phẳng phức.
Ví dụ 1
Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết rằng
| z – 2 + i| = 1.
Lời giải
Giả sử z = x + iy (x, y ∈ R), khi ñó M(z) thì M có tọa ñộ (x; y).
Theo giả thiết ta có |( x - 2) + ( y +1)i| = 1 ⇔ ( x - 2)
2
+ ( y +1)
2
= 1.
Vậy tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thuộc ñường tròn tâm
I( 2; -1), bán kính R = 1.
Ví dụ 2
Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z + 2 – 3i biết
rằng | z – 1| ≤ 2.
Lời giải
Giả sử v = x + iy (x, y ∈ R), sao cho v = z + 2 – 3i ⇔ z = v – 2 + 3i = ( x - 2) + (y +3)i
Theo giả thiết | z – 1| ≤ 2 ⇔ | ( x - 3) + ( y + 3)i| ≤ 2 ⇔ ( x - 3)
2
+ ( y + 3)
2
≤ 4.

Vậy tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z + 2 – 3i thuộc hình
tròn tâm I( 3; -3), bán kính R = 2.
Ví dụ 3
Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết rằng
|z| = |
z
– 3 + 4i| = 1.
Lời giải
Giả sử z = x + iy (x, y ∈ R), khi ñó M(z) thì M có tọa ñộ (x; y).
Theo giả thiết ta có | x + iy| = | ( x - 3) + ( 4 - y)i| ⇔ x
2
+ y
2
= ( x - 3)
2
+ ( 4 - y)
2

⇔ 6x + 8y – 25 = 0.
Vậy tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thuộc ñường thẳng
6x + 8y – 25 = 0.

Bài tập tự luyện.
Bài 1. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn
ñiều kiện:
a) z
2
là số ảo b) z
2
=

2
)(z
c) | z - i| + | z + i| = 4
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


10
d)
1
=
+
−
iz
iz
e)
i
z
iz
+
+
là số thực f) | z +
z
+ 3 | = 4.
g) 2| z - i| = | z -
z
+ 2i | h) | z
2
-
2

)(z
| = 4 k) | z - 4i| + | z + 4i| = 10.
Bài 2. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn
k
iz
z
=
−
( trong ñó k là số thực dương cho trước).
Bài 3. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức
(
)
31 i+
z +2
trong ñó | z - 1| ≤ 2.
Bài 4. Cho w
1
=
3
+i , w
2
= -
3
+ i. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng
phức biểu diễn số phức z sao cho |z| =
2
1
w
w
.

Bài 5. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z trong các
trường hợp sau:
a) | z + 2| > | z - 2|. B) 1 ≤ |z + 1 - i| ≤ 2.

I.2.5 Biểu diễn hình học của số phức z.
Ví dụ 1
cho các ñiểm A, B, C và A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
1 – i 2 + 3i 3 + i và 3i 3 – 2i 3 +2i.
Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Lời giải
Ta có ñiểm A biểu diễn số phức 1 - i nên tọa ñộ ñiểm A( 1; -1);
Tương tự tọa ñộ của B( 2 ; 3), tọa ñộ của C( 3; 1), tọa ñộ của A’( 0; 3), tọa ñộ B’(3; -2),
tọa ñộ ñiểm C’(3; 2).
Gọi G và G’ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’, ta có tọa ñộ của
ñiểm G(2; 1), tọa ñộ của ñiểm G’( 2; 1). Vậy G trùng với G’.
Ví dụ 2
Trong mặt phẳng phức Oxy cho
u

(z),’(z’).
a) Chứng minh rằng
u

.
u

’ =
)'.'.(
2
1

zzzz
+
.
b) Nếu
u


0

≠
thì
u

vuông góc với
u

’ khi và chỉ khi
z
z
'
là số ảo.
Lời giải
Giả sử z = a + bi, z’ = a’ + b’i (a, b, a’, b’ ∈ R), khi ñó
u

= ( a; b),
u

’ = ( a’; b’)
Xét

u

.
u

’ = a.a’ + b.b’ (1).
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


11
Và
)'.'.(
2
1
zzzz
+
=
2
1
(a - bi)(a’ + b’i) +
2
1
( a + bi)( a’ – b’i) = a.a’ + b.b’ (2).
Từ (1) và (2) suy ra ñiều phải chứng minh.
Ví dụ 3
Cho A, B, C, D là bốn ñiểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
-1 + i, - 1 – i, 2i, 2 – 2i.
a) Tìm các số z
1

, z
2
, z
3
, z
4
theo thứ tự biểu diễn bởi các vectơ
BDBCADAC ,,,
.
b) Tính
4
3
2
1
,
z
z
z
z
và từ ñó suy ra bốn ñiểm A, B, C, D cùng thuộc một ñường tròn. Tâm của
ñường tròn ñó biểu diễn số phức nào.
Lời giải
a) Theo giả thiết ta có tọa ñộ của các ñiểm A(-1; 1), B( -1; -1), C( 0; 2), D( 2; -2)
Khi ñó
AC
= ( 1; 1),
AD
= (3; -3),
BC
= ( 1; 3),

BD
= ( 3; -1).
Vậy z
1
= 1 + i, z
2
= 3 – 3i, z
3
= 1 + 3i, z
4
= 3 – i.
b)
i
ii
i
i
z
z
3
1
99
)33)(1(
33
1
2
1
=
+
++
=

−
+
=
, theo kết quả ví dụ 2b) ta có
AC
vuông góc với
AD
.

i
ii
i
i
z
z
=
+
++
=
−
+
=
19
)3)(31(
3
31
4
3
, tương tự ta có
BC

vuông góc với
BD

Vậy bốn ñiểm A, B, C, D cùng thuộc một ñường tròn ñường kính CD. Tâm I của ñường
tròn là trung ñiểm của CD nên I(1; 0) hay ñiểm I biểu diễn số phức z = 1.

Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho các số phức z
1
= 1 +i , z
2
= 1 – 2i. Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức
2
1
z
, z
1
.z
2
, 2z
1
– z
2
, z
1
.
2
z
,
1

2
z
z
.
Bài 2. Cho A, B, C, D theo thứ tự biểu diễn các số phức 2 – i, 3 + 2i, -1 + 4i, -2 + i.
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
Bài 3. Cho A, B, C theo thứ tự biểu diễn các số phức 4 – i, 2 + 3i, -5 + i. Xác ñịnh tọa ñộ
ñiểm D biểu diễn số phức z sao cho ABCD là hình bình hành.
Bài 4. Cho M, M’ theo thứ tự là các ñiểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z khác 0
và z’ =
2
1
i
+
z. Chứng minh rằng tam giác OMM’ là tam giác vuông cân ( O là gốc tọa ñộ).
Bài 5. Cho hai ñiểm A, B là hai ñiểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
phức z
0
, z
1
khác 0 thỏa mãn z
0
2
+ z
1
2
= z
0
.z
1

. Chứng minh rằng tam giác OAB là tam giác
ñều ( O là gốc tọa ñộ).

Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


12









Chương II
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
II.1 Kiến thức cần nhớ.
II.1.1 Căn bậc hai của số phức
a) ðịnh nghĩa
Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z
2
= w gọi là một căn bậc hai của w.
b) cách xác ñịnh căn bậc hai của số phức.
Giả sử w = a + bi ( a, b ∈ R). Goi z = x + yi ( x, y ∈ R) là một căn bậc hai của w, khi ñó
z
2
= w ⇔




=
=−
)2(2
)1(
22
bxy
ayx
. Giải hệ (1), (2) ta tìm ñược x, y.
Chú ý. ðể tìm nghiệm của hệ phương trình (1), (2) ta có thể bổ sung vào mô ñun của z là
x
2
+ y
2
=
22
ba +
(3).
II.1.2 Phương trình bậc hai.
Xét phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 ( trong ñó A, B, C là các số phức, A ≠ 0) (1).
• Cách giải
Tính biệt thức ∆ = B
2
– 4AC. Gọi δ là một căn bậc hai của ∆ thì phương trình (1) có hai
nghiệm z
1

=
A
B
2
δ
+
−
; z
2
=
A
B
2
δ
−
−

*Chú ý. Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép z
1
= z
2
=
A
B
2
−
.
• ðịnh lý viet
Nếu z
1

và z
2
là các nghiệm của phương trình (1) thì z
1
+ z
2
=
A
B
−
; z
1
.z
2
=
A
C

II.2 Các dạng bài tập
II.2.1. Tìm căn bậc hai của số phức
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


13
Ví dụ 1.
Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a) w = -9 b) w = 2i c) w = -8 + 6i.
Lời giải
Gọi z là căn bậc hai của số phức w.

a) Với w = -9 ⇔ z
2
= (3i)
2
⇔ z = 3i hoặc z = -3i.
b) Với w = 2i. Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R). Khi ñó ta có z
2
= 2i
⇔



=
=
⇔



=
=−
1
1
22
0
22
y
x
xy
yx
hoặc




−=
−=
1
1
y
x
. Vậy 2i có hai căn bậc hai là 1 + i và -1 – i.
• Chú ý: ta có w = 2i = ( 1 + i)
2
, nên 2i có hai căn bậc hai là 1 + i và -1 – i.
c) Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R), ta có z
2
= -8 + 6i ⇔



=
−=−
)2(62
)1(8
22
xy
yx

Mặt khác ta có x
2
+ y

2
=
106)8(
22
=+−
(3). Nên từ (1) và (3) ta suy ra
(x; y) = ( 1 ; 3), (-1; -3). Vậy -8 + 6i có hai căn bậc hai là -1 – 3i và 1 + 3i.
Ví dụ 2
Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a) w = i
3
+ i
4
+ i
5
+ i
6
. b) w = (1 +i)
20
.
Lời giải
a) ta có w = i
3
+ i
4
+ i
5
+ i
6
= -i + 1 + i + 1 = 0. Vậy các căn bậc hai của w bằng 0.

b) Ta có w = (1 +i)
20
= ( 1 + 2i + i
2
)
10
=(2i)
10
= -2
10
.
Gọi z là căn bậc hai của w, ta có z
2
= -2
10
= (2
5
i)
2
. Vậy các căn bậc hai của w bằng 32i
và -32i.

Bài tập tự luyện
Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
1) z = 1 + 4
3
i 2) z = 17 + 20
2
i 3) z = -3 – 4i
4) z = 5 – 12i 5) z = 46 - 14

3
i 6) z = 4 + 6
i
5

7) z = (3 + 4i) – ( 4 – 3i) – 7i 8) z =
2
4
43






−
−
i
i
.
II.2.2 Giải phương trình bậc hai trên tập số phức
Ví dụ 1
Giải phương trình sau trên tập số phức:
a) z
2
= z + 1 b) z
2
-2(2+i)z + ( 7 + 4i) = 0 c) z
2
– (5 + 2i)z + 10i = 0.

Lời giải
a) Phương trình ñã cho có dạng z
2
- z – 1 = 0.
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


14
Ta có ∆ = 1 + 4 = 5 , phương trình có hai nghiệm phân biệt z
1
=
2
51+
; z
2
=
2
51−
.
b) z
2
-2(2+i)z + ( 7 + 4i) = 0.
Ta có ∆’ = (2 +i)
2
– (7+4i) = - 4 = (2i)
2
. Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm phân
biệt z
1

= 2 + 3i; z
2
= 2 – i.
c) z
2
– (5 + 2i)z + 10i = 0
Ta có ∆ = ( 5 +2i)
2
– 40i = 21 – 20i = ( 5 – 2i)
2
.
Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm phân biệt z
1
=5 ; z
2
= 2i.
Ví dụ 2
Gọi z
1
, z
2
là các nghiệm của phương trình z
2
+ 2z + 10 = 0. Tính | z
1
|
2
+ | z
2
|

2
; | z
1
|
4
+ | z
2
|
4
.

Lời giải
Xét phương trình z
2
+ 2z + 10 = 0 có ∆’ = 1 – 10 = 9 = (3i)
2
. Vậy phương trình có hai
nghiệm phân biệt z
1
= -1 – 3i; z
2

= -1 + 3i.
Suy ra | z
1
|
2
+ | z
2
|

2
= 10 + 10 = 20; | z
1
|
4
+ | z
2
|
4
= 100 + 100 = 200.
Ví dụ 3
Giải phương trình z
3
– 2(1+i)z
2
+ 4(1 + i)z – 8i = 0 biết rằng phương trình có một nghiệm
thuần ảo.
Lời giải
Gọi z = bi( b ∈ R) là một nghiệm thuần ảo của phương trình.
Ta có (bi)
3
– 2(1+i)(bi)
2
+ 4(1 + i)(bi) – 8i = 0



=−++−
=−
⇔

0842
042
23
2
bbb
bb
⇔ b = 2.
Phương trình ñã cho tương ñương ( z – 2i)(z
2
– 2z + 4) = 0 ⇔ z = 2i hoặc z
2
– 2z + 4 = 0.
• Giải phương trình z
2
– 2z + 4 = 0 (2). Ta có ∆’ = 1 – 4 = -3.
• Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt z
1
= 1 - i
3
, z
2
= 1 + i
3
.
ðáp số: phương trình ñã cho có 3 nghiệm phân biệt: z = 2i, z = 1 - i
3
, z = 1 + i
3
.
Ví dụ 4

Cho z
1
, z
2
là hai nghiệm của phương trình z
2
+ (2 - i)z + 3 + 5i = 0. Hãy tính:
a)
2
2
2
1
zz
+
b)
3
2
3
1
zz
+
c)
4
2
4
1
zz
+
d)
1

2
2
1
z
z
z
z
+
.
Lời giải
Phương trình z
2
+ (2 - i)z + 3 + 5i = 0 có nghiệm z
1
, z
2
thì z
1
+ z
2
= -2 +i và z
1.
z
2
= 3 + 5i
a)
2
2
2
1

zz
+
= (z
1
+ z
2
)
2
- 2 z
1.
z
2
= ( - 2 + i)
2
– 2( 3 + 5i) = - 3 – 14i.
b)
3
2
3
1
zz
+
= (z
1
+ z
2
)(
2
2
2

1
zz
+
- z
1.
z
2
) = ( -2 + i)( -6 – 19 i) = 31 + 32i.
c)
4
2
4
1
zz
+
= (
2
2
2
1
zz
+
)
2
– 2(z
1.
z
2
)
2

= ( 3 + 14i)
2
– 2( 3 + 5i)
2
= -155 + 24i.
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


15
d)
i
i
ii
ii
zz
zz
z
z
z
z
34
27
34
79
34
2779
)53)(53(
)53)(143(
.

21
2
2
2
1
1
2
2
1
−−=
−−
=
+−
−+−
=
+
=+
.
Ví dụ 5
Tìm m ñể phương trình z
2
+ mz + 3i = 0 có hai nghiệm sao cho tổng bình phương hai
nghiệm bằng 8.
Lời giải
Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm của phương trình z
2

+ mz + 3i = 0.
Theo viet ta có z
1
+ z
2
= -m và z
1.
z
2
= 3i. Khi ñó
2
2
2
1
zz
+
= 8 ⇔ (z
1
+ z
2
)
2
- 2 z
1.
z
2
= 8
⇔ (-m)
2
– 2(3i) - 8 = 0 ⇔ m

2
= 8 + 6i = 9 + 6i + i
2
= ( 3 + i)
2
.
Vậy m = 3 + i hoặc m = -3 – i.
Ví dụ 6
Giải các phương trình sau:
a) ( z + 3 - i)
2
– 6( z + 3 - i) + 13 = 0. b) (z
2
+ 1)
2
+ ( z + 3)
2
= 0.
Lời giải
a) ðặt t = z + 3 – i, phương trình ñã cho có dạng t
2
– 6t + 13 = 0 (1)
Xét ∆’ = 9 – 13 = -4 = ( 2i)
2
. Vậy phương trình (1) có hai nghiệm t
1
= 3 + 2i, t
2
= 3 – 2i.
• Với t = 3 + 2i ⇔ z + 3 – i = 3 + 2i ⇔ z = 3i.

• Với t = 3 – 2i ⇔ z + 3 – i = 3 - 2i ⇔ z = - i.
ðáp số: phương trình ñã cho có hai nghiệm phân biệt z = 3i; z = - i.
b) Ta có (z
2
+ 1)
2
+ ( z + 3)
2
= 0 ⇔ (z
2
+ 1)
2
= - ( z + 3)
2

⇔ (z
2
+ 1)
2
= [( z + 3)i]
2


⇔ z
2
+ 1 = ( z + 3)i (1) hoặc z
2
+ 1 = - ( z + 3)i (2) .
• Giải (1): z
2

– iz + 1 – 3i = 0; xét ∆ = i
2
-4( 1 – 3i) = 12i – 5 = ( 3i + 2)
2
.
Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt z
1
= 1 + 2i; z
2
= - 1 – i.
• Giải (2): z
2
+ iz + 1 + 3i = 0; xét ∆ = i
2
-4( 1 + 3i) = - 12i – 5 = ( 3i - 2)
2
.
Vậy (2) có hai nghiệm phân biệt z
3
= - 1 + i; z
4
= 1 – 2i.
Ví dụ 7
Giải phương trình 2z
3
– 5z
2
+ 3z + 3 + (2z + 1)i = 0 biết rằng phương trình có một nghiệm
thực.
Hướng dẫn

Do phương trình có một nghiệm thực nên



−=⇒
=+
=++−
2
1
012
03352
23
z
z
zzz
thỏa mãn hệ pt.
Khi ñó phương trình ñã cho có dạng (2z + 1)(z
2
– 3z + 3 + i) = 0.
Giải phương trình trên ta ñược các nghiệm z = -
2
1
; z = 2 – i; z = 1 + i.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


16

1) 2z
2
+ z + 3 = 0. 2) z
2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.
3) 2z
2
– 2( 5 – 2i)z + 28 – 4i = 0. 4) z
2
– (3 + 4i)z – 1 + 5i = 0.
5) 2iz
2
– 3z + 4 + i = 0. 6) z
2
– ( 5 - i)z + 8 –i = 0.
7) z
2
– 2z + ( 1 – 2i) = 0. 8) 2iz
2
– 2(
3
- i)z -
3
- i = 0.
9) iz
2
– 2(1 - i)z – 4 = 0. 10) z
2
– ( 5 – 14i)z – 2(12 + 5i) = 0.
Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức

1) ( z + 1 -3 i)
2
– 4( z + 1 – 3i) + 6 = 0. 2) ( z
2
+ i)( z
2
– 2iz - 1) = 0.
3)
04
2
3
3
2
3
2
=−






−
+
−







−
+
iz
iz
iz
iz
. 4) (z
2
+ 2i) + (2z – 3 + i)
2
= 0.
Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức
1) z
3
+ 3z
2
+ 3z – 63 = 0. 2) 2z
3
– 9z
2
+ 14z – 5 = 0.
3) z
3
– 2( 1 + i)z
2
+ 3iz + 1 – i = 0. 4) z
3
+ ( 1 – 2i)z
2

+ ( 1 – 2i)z + 1 = 0.
Bài 4. Giải các phương trình sau trên tập số phức
1) z
4
+ 2z
2
– 3 = 0. 2) z
4
+ 2z
2
+ 4 = 0.
3) z
4
– 16 = 0 4) 8z
4
+ 8z
3
= z + 1.
5) z
4
– 4z
3
+ 7z
2
– 16z + 1 = 0 6) z
4
– z
3
+ 6z
2

– 8z - 16 = 0.
7) z
4
+ 2z
3
+ 3z
2
+ 2z + 2 = 0. 8) z
4
– z
3
+
2
1
z
2
+ z + 1 = 0.
Bài 5.
Tìm B ñể phương trình z
2
+Bz +( 7 + 4i) = 0 có tổng bình phương các nghiệm bằng
8i – 2.
Bài 6. Gọi z
1
, z
2
là các nghiệm của phương trình z
2
+ ( 2 – 3i)z – 6i = 0.
Tính a)

2
2
2
1
zz
+
b)
3
2
3
1
zz
+
c)
4
2
4
1
zz
+
d)
1
2
2
1
z
z
z
z
+

.
Bài 7. cho phương trình z
3
+ az
2
+ bz + c = 0.
Tìm a, b, c biết rằng z = 1 + i và z = 2 là hai nghiệm của phương trình.


II.2.3. Giải hệ phương trình trên tập số phức.
Ví dụ 1
Tìm hai số z
1
, z
2
thỏa mãn



−=+
+=+
izz
izz
4
25
21
2
2
2
1

.
Lời giải
Hệ phương trình ñã cho tương ñương



−=+
−=
⇔



−=+
+=−+
izz
izz
izz
izzzz
4
55
4
25)(
21
21
21
21
2
21

Vậy z

1
, z
2
là hai nghiệm của phương trình z
2
– ( 4 – i)z + 5 – 5i = 0.
Xét ∆ = ( 4 - i)
2
– 4( 5 – 5i) = - 5 + 12i = ( 2 + 3i)
2
.
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


17
Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm (z
1
; z
2
) = ( 3 + i;1– 2i) hoặc (z
1
; z
2
) = (1 – 2i; 3+i).
Ví dụ 2
Giải hệ phương trình






+=++
+=−+
+=++
izzz
izzz
izzz
2932
522
24
321
321
321
.
Lời giải
Hệ phương trình ñã cho tương ñương





+=+
+=+
+=++
izz
izz
izzz
171557
7623

24
21
21
321
⇔





+=
=
+=++
iz
iz
izzz
23
24
2
1
321
⇔





−=
+=
=

iz
iz
iz
1
23
2
2
1
.
Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm (z
1
, z
2
, z
3
) = (i; 3 + 2i; 1 - i)

Bài tập tự luyện
Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức
1)



−−=
+−=+
izz
izz
55.
25
21

2
2
2
1
. 2)



+=+
+−=+
izz
izz
43
145
21
2
2
2
1
.
3)



+−=+
+=+
)1(9
)1(3
33
iwz

iwz
. 4)







=
−
−
=
−
−
1
8
4
3
5
8
12
z
z
iz
z
.
5)






=++
=
=++
1
1
1
321
321
321
zzz
zzz
zzz
. 6)





=+−+
=+−
=−+
30)1(3
202
102
321
321
321

ziiziz
izzz
zizz
.
7)



+=+−+
+=++−
izizi
izizi
45)32()24(
62)24()3(
21
21
. 8)







=
+
−
=
−
−

1
3
1
1
iz
iz
iz
z
.









Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


18

Chương III
DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
III.1. Kiến thức cần nhớ.
III.1.1. Số phức dưới dạng lượng giác.
a) Acgumen của số phức khác 0.
Cho số phức z khác 0. Gọi M là ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z.
Số ño ( radian) của mỗi góc lượng giác (Ox, OM) gọi là một acgumen của z.
Nhận xét: nếu ϕ là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng ϕ + k2π ( k ∈ Z).
b) Dạng lượng giác của số phức z khác 0.
Dạng z = r( cosϕ + isinϕ) ( r > 0) gọi là dạng lượng giác của z.
c) Cách xác ñịnh dạng lượng giác của z = a + bi (a, b∈
∈∈
∈ R):
• Xác ñịnh mô ñun của z là |z| = r =
22
ba +
.
• Tìm một acgumen của z là ϕ thỏa mãn





=

=
r
b
r
a
ϕ
ϕ
sin
cos
.
III.1.2. Nhân chia dưới dạng lượng giác.
Cho các số phức z = r( cosϕ + isinϕ) ( r > 0) và z’ = = r’( cosϕ’ + isinϕ’) ( r > 0). Khi ñó:
z.z’ = r.r’[cos(ϕ +ϕ’) + isin(ϕ + ϕ’)].
[ ]
)'sin()'cos(
'
'
ϕϕϕϕ
−+−= i
r
r
z
z
.
III.1.3. Công thức Moa – vrơ
[
]
)sin(cos)sin(cos
ϕϕϕϕ
ninrir

n
n
+=+
( n là số nguyên dương; r > 0).
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


19

III.2. Các dạng bài tập.
III.2.1. Tìm acgumen của một số phức – Viết số phức dưới dạng
lượng giác.
Ví dụ 1:
Biết ϕ là một acgumen của số phức z khác 0. Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a) –z. b)
z
. c) -
z
. d)
z
1
.
Lời giải:
Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R). Xét ñiểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức, ta có
M(x; y) thì
OM
= (x; y).
a) Xét ñiểm M
1

biểu diễn số phức – z ta có M
1
(-x; -y); M
1
ñối xứng với M qua gốc
tọa ñộ O nên – z có một acgumen là ϕ + π.
b) Xét ñiểm M
2
biểu diễn số phức
z
ta có M
2
(x; -y); M
2
ñối xứng với M qua trục
tung nên
z
có một acgumen là - ϕ.
c) Xét ñiểm M
3
biểu diễn số phức –
z
ta có M
3
(-x; y); M ñối xứng với M qua trục
hoành nên –
z
có một acgumen là π - ϕ.
d) Ta có
z

z
z
.
11
2
=
. Xét ñiểm M
4
biểu diễn số phức
z
1
thì
4
OM
cùng hướng với vectơ
2
OM
, vậy
z
1
có một acgumen là - ϕ.
Ví dụ 2:
Tìm một acgumen của mỗi số phức sau và viết dưới dạng lượng giác:
a) z = -2 + 2
i3
b) z =
4
sin
4
cos

π
π
i−
.
Lời giải:
a) Ta có r =
22
)32()2( +−
. = 4.
Gọi một acgumen của z là ϕ, khi ñó:







=
−
=
4
32
sin
4
2
cos
ϕ
ϕ
⇒ ϕ =
6

5
π
.
Vậy dạng lượng giác của số phức z = -2 + 2
i3
là z = 4






+
6
5
sin
6
5
cos
ππ
i
.
b) Ta có z =
4
sin
4
cos
π
π
i−

=






−
+






−
4
sin
4
cos
ππ
i

Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


20
Khi ñó z có một acgumen là
4

π
−
và dạng lượng giác của z là






−
+






−
4
sin
4
cos
ππ
i
.
Ví dụ 3:
Cho z = r(cosϕ + isinϕ) ( r > 0). Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) –z. b)
z
. c) -

z
. d)
z
1
. e) kz.
Lời giải:
a) Ta có – z = - r(cosϕ + isinϕ) = r
[
]
)sin()cos(
ϕπϕπ
+++ i
.
b)
z
= r(cosϕ - isinϕ) = r
[
]
)sin()cos(
ϕϕ
−+− i
.
c) -
z
= - r(cosϕ - isinϕ) = r
[
]
)sin()cos(
ϕπϕπ
−+− i

.
d) Ta có
[ ]
)sin()cos(
1
)sin(cos
0sin0cos1
ϕϕ
ϕϕ
−+−=
+
+
= i
rir
i
z
.
e) Nếu k > 0 thì kz = k r(cosϕ + isinϕ).
Nếu k < 0 thì kz = |k|r.
[
]
)sin()cos(
ϕπϕπ
+++ i
.

Bài tập tự luyện.
Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a) z = 4 - 4
i3

. b) z = -
3
sin
3
cos
π
π
i+
.
c) z =
3
- i. d) z = ( 2 +
3
) + i.
Bài 2. cho số phức z thỏa mãn |z| = 1, một acgumen của z là ϕ hãy tìm một acgumen của
các số phức sau:
a) 2z
2
. b) z +
z
. c) -
z
2
1
d) z
2
+
z
.
Bài 3. Cho z = 1 -

4
sin
4
cos
π
π
i−
. Tìm mô ñun của z và viết z dưới dạng lượng giác.
Bài 4.
Viết số phức z sau dưới dạng lượng giác biết |z| =
3
1
và một acgumen của
i
z
+
1
là -
4
3
π
.
Bài 5. Hãy viết các số phức sau dưới dạng lượng giác và tìm các căn bậc hai của số phức.
a) |z| = 3 và một acgumen của z là
4
5
π
. b) z = 1 - itan
4
π

.
c) z = tan
8
5
π
+ i. d) z = 1 - cos cosϕ - isinϕ (ϕ ∈ R )
III.2.2. Thực hiện phép tính dưới dạng lượng giác – Viết số phức dưới dạng ñại
số.
Ví dụ 1:
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


21
Thực hiện phép tính sau: a)
2010
1






+ i
i
b)
21
321
335









−
+
i
i
.
Lời giải:
a) Ta có






+=






+
+
=

+ 4
sin
4
cos
2
2
4
sin
4
cos2
2
sin
2
cos
1
ππ
ππ
π
π
i
i
i
i
i
.
Vậy
2010
1







+ i
i
=
2010
4
sin
4
cos
2
2












+
ππ
i
=

ii
10051005
2
1
4
2010
sin
4
2010
cos
2
1
=






+
ππ
.
b)
(
)
21
21
2121
2
3

2
1
2)31(
)321)(321(
)321(335
321
335
















+−=+−=







+−
++
=








−
+
ii
ii
ii
i
i

=
.2)14sin14(cos2
3
2
sin
3
2
cos2
2121
21
21

=+=






+
ππ
ππ
ii

Ví dụ 2:
Xác ñịnh phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau
a) (1 - i )
4
(
3
+i)
6
. b)
2000
2000
1
z
z +
biết
1
1
=+

z
z
.
Lời giải:
a) ta có ( 1 - i)
4
= ( 1 – 2i + i
2
)
2
= ( -2i)
2
= 4i
2
= - 4






+=









+=+
6
sin
6
cos2
2
1
2
3
23
ππ
iii
suy ra (
3
+i)
6
=
(
)
ππ
sincos2
6
i+
= -2
6
.
Vậy (1 - i )
4
(
3

+i)
6
= 2
8
, nên phần thực bằng 2
8
, phần ảo bằng 0.
b) do
1
1
=+
z
z
⇔ z
2
– z + 1 = 0 ⇔ z =
2
31 i−
hoặc z =
2
31 i+
.
Với z =
2
31 i−
thì
=
z
1

2
31 i+
nên
2000
2000
1
z
z +
=
20002000
2
31
2
31








+
+









− ii
=
+






−+






−=






++













−+






−
3
2000
sin
3
2000
cos
3
sin
3
cos
3
sin
3
cos

2000
2000
ππππππ
iii

+
3
2000
sin
3
2000
cos
π
π
i+
= 1.
Vậy phần thực bằng 1, phần ảo bằng 0.
Ví dụ 3:
Viết các số phức sau dưới dạng ñại số
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


22
a)
365
2
1






 + i
b) z =
i
ii
−






−+−
1
12
sin
12
cos)3(
ππ
.
Lời giải:
a) Ta có
4
sin
4
cos
2
1

2
1
2
1
π
π
ii
i
+=+=
+
.
Vậy
.
2
2
2
2
4
365
sin
4
365
cos
4
sin
4
cos
2
1
365

365
iii
i
−−=






+=






+=





 +
ππππ

b) Ta có







+=








+−=+−
6
5
sin
6
5
cos2
2
1
2
3
23
ππ
iii

và 1 – i =
=









− i
2
2
2
2
2















−+







−
4
sin
4
cos2
ππ
i

Vậy z =






−+






−
+
=













−+






−















−+






−






+
4
sin
4
cos
4
3
sin
4
3
cos
2

4
sin
4
cos2
12
sin
12
cos
6
5
sin
6
5
cos2
ππ
ππ
ππ
ππππ
i
i
i
ii

=
)sin(cos2
ππ
i+
=
2
+ 0i.

Bài tập tự luyện
Bài 1. Viết các số phức sau dưới dạng ñại số
a) z =
(
)
6
3 i−
. b) z = 3






+






+
6
5
sin
6
5
cos
9

sin
9
cos
ππππ
ii
.
c)






+






+
12
sin
12
cos3
4
sin
4
cos2
ππ

ππ
i
i
. d)
8
2222






−++
i
.
e)
(
)
7
5
31
3
sin
3
cos
iii
+







−
ππ
. f)
(
)
( )
9
10
3
1
i
i
+
+
.
g) i
2007
+ i
2008
. h)
(
)
8
31
i
+ .
Bài 2. Cho các số phức w =

)1(
2
2
i
+ , ε = )31(
2
1
i
+− .
Chứng minh rằng các số phức z
0
=
12
sin
12
cos
π
π
i
+ , z
1
= z
0
.ε, z
2
= z
0
.ε
2
là các nghiệm của

phương trình z
3
– w = 0.
Bài 3. Thực hiện phép tính sau rồi viết kết quả dưới dạng lượng giác.
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


23
a)






−






−
12
sin
12
cos3
4
sin

4
cos
ππ
ππ
i
i
. b)












+













+
13
3
sin
13
3
cos34
39
4
sin
39
4
cos11
ππππ
ii
.
Bài 4.
Cho z
1
=






+
12

7
sin
12
7
cos3
ππ
i
, z
2
=






+
12
5
sin
12
5
cos2
ππ
i
. Tính z
1
.z
2
và

2
1
z
z
.
Bài 5. Thực hiện phép tính.
a)
7
6
sin
6
cos2












+
ππ
i
. b)
(
)

( )
12
6
12
1
)31(31
i
ii
+−
+−−
.
c) ( 1 + i)
18
. d)
6
2
3
2
1








+
i
.

Bài 6. Cho z
1
=






+
4
sin
4
cos3
ππ
i
, z
2
=






+
6
sin
6
cos2

ππ
i
. Xác ñịnh phần thực, phần ảo
của các số phức sau.
a) z
1
.z
2
. b)
2
1
z
z
. c)
2
1
z
. d)
1
1
z
.
Bài 7. Cho z =
n
i
i







−
+
34
7
. Tìm n nguyên dương ñể :
a) z là số thực. b) z là số ảo.

III.2.3 Ứng dụng số phức vào giải toán nhị thức Niu tơn và lượng giác.
Ví dụ 1:
Tính tổng sau A =
18
19
16
19
4
19
2
19
0
19

CCCCC
−+−+− .
B =.
19
19
17
19

5
19
3
19
1
19

CCCCC
−+−+−
Lời giải.
Xét khai triển ( 1 + i)
19
=
19
19
1918
19
184
19
43
19
32
19
21
19
0
19

CiCiCiCiCiiCC
+++++++

= (
18
19
16
19
4
19
2
19
0
19

CCCCC
−+−+− ) + i(
19
19
17
19
5
19
3
19
1
19

CCCCC
−+−+− )
= A + Bi.
Mặt khác ( 1 + i)
19

=
iii
512512
4
19
sin
4
19
cos2512
4
sin
4
cos2
19
+−=






+=













+
ππππ
.
Vậy A = -512; B = 512.
Ví dụ 2:
Tính giá trị của A =
2010
2010
2008
2010
4
2010
2
2010
0
2010

CCCCC
−+−+− .
Lời giải.
Chuyên ñề
BÀI TẬP SỐ PHỨC


24
Xét khai triển (1 + i)

2010
= (1 + 2i + i
2
)
1005
= (2i)
1005
= 2
1005
i.
Mặt khác (1 + i)
2010
=
2010
2010
20102009
2010
20094
2010
43
2010
32
2010
21
2010
0
2010

CiCiCiCiCiiCC
+++++++ (1)

= (
2010
2010
2008
2010
4
2010
2
2010
0
2010

CCCCC
−+−+− ) +i(
2009
2010
2008
2010
5
2010
3
2010
1
2010

CCCCC
−+−+− ) (2)
So sánh (1) và (2) ta ñược A = 0.
Nhận xét:
Từ kết quả trên ta suy ra B =

2009
2010
2007
2010
5
2010
3
2010
1
2010

CCCCC
−+−+− = 2
1005
.
Xét khai triển (1 + x)
2010
=
k
k
k
xC
∑
=
2010
0
2010
(*).
Lần lượt thay x = 1 và x = -1 vào (*) ta ñược:
2010

2010
2009
2010
4
2010
3
2010
2
2010
1
2010
0
2010

CCCCCCC
+++++++ = 2
2010
. (3)
0
2010
2010
2009
2010
3
2010
2
2010
1
2010
0

2010
=+−+−+−
CCCCCC
(4)
Từ (3) và (4) suy ra: C =
2010
2010
2008
2010
4
2010
2
2010
0
2010

CCCCC
+++++ = 2
2009
.
Và D =
2009
2010
2008
2010
5
2010
3
2010
1

2010

CCCCC
+++++ = 2
2009
.
Từ kết quả của A và C suy ra
20082008
2010
8
2010
4
2010
0
2010
2 =++++
CCCC

Từ kết quả của B và D suy ra
200810042009
2010
9
2010
5
2010
1
2010
22 +=++++
CCCC
.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng






+=++++
3
cos22
3
1
1
963
π
n
CCC
n
nnn
.
Lời giải:
Ta có
n
nnnnn
nn
CCCCC
+++++=+= )11(2
3210
(1).

Xét số phức v =
3
2
sin
3
2
cos
π
π
i
+ , ta có v
3
= 1.
Xét khai triển
(1 + v)
n
=
n
n
n
nnnnn
CvCvCvCvvCC
++++++
44332210
=
432210
+++++
nnnnn
vCCCvvCC
(2).

(1 + v
2
)
n
=
n
n
n
nnnn
CvCvCvCvC
23624120
+++++ =
32120
++++
nnnn
CvCCvC
(3).
Ta có: 1 + v + v
2
= 0; 1 + v
2
=
3
sin
3
cos
π
π
i
− ; 1 + v =

3
sin
3
cos
π
π
i
+ .
Khi ñó cộng các vế tương ứng của các ñẳng thức (1), (2) và (3) ta ñược:
2
n
+ (1 + v)
n
+ (1 + v
2
)
n
= 3(
9630
++++
nnnn
CCCC
) (*)
Thay 1 + v
2
=
3
sin
3
cos

π
π
i
− ; 1 + v =
3
sin
3
cos
π
π
i
+ vào vế trái của (*) và rút gọn ta ñược
ñiều phải chứng minh.
Ví dụ 4:
Bằng cách xét hai số phức a = cosx + isinx và b = cosα + isinα (α≠ k2π, k∈ Z). Hãy tính
hai tổng sau: