Sáng kiến kinh nghiệm về phép ngịch đảo ở trường THPT chuyên Bắc Giang.PDF

SỞ GIÁO DỤC ðÀO TẠO TỈNH BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG





TRẦN ANH ðỨC




SỬ DỤNG PHÉP NGHỊCH ðẢO GIẢI
TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Tổ: . Toán - Tin
Năm học: 2010 - 2011

Mã số:

Bắc Giang, tháng 4 năm 2011


Mục lục
Trang

Danh mục các từ viết tắt 1

Lời nói ñầu

2

Chương I. PHÉP NGHỊCH ðẢO TRONG MẶT PHẲNG 3

I.1. Một số khái niệm…………………………………………

3

I.1.1
I.1.2
Các khái niệm ñã biết…………………………
Các khái niệm bổ sung…………………………

3

3

I.2. ðịnh nghĩa và các tính chất của phép nghịch ñảo 4

I.2.1 ðịnh nghĩa
I.2.2 Các tính chất…………………………………….
4

5

I.3 Sự bảo tồn góc của phép nghịch ñảo……………………
I.3.1 ðịnh nghĩa
I.3.2 Sự bảo tồn góc của phép nghịch ñảo
7

7

8

I.4 Ảnh của ñường thẳng và ñường tròn qua phép nghịch ñảo 8

I.5 Phép nghịch ñảo ñối với hai ñường tròn…………………
I.5.1 Trường hợp tổng quát…………………………
I.5.2 Các trường hợp ñặc biệt………………………
10

10

11

I.6 Biểu thức tọa ñộ của phép nghịch ñảo……………………. 12

Chương II. ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ðẢO GIẢI TOÁN HÌNH
HỌC PHẲNG…………………………………………………………

13

II.1. Chứng minh các tính chất hình học, tính toán các ñại
lượng……………………………………………………….

13

II.2 Tìm tập hợp ñiểm 24

II.3 Dựng hình

27

II.4 Các bài tập vận dụng……………………………………… 30

II.4.1 Các bài toán chứng minh, tính toán…………… 30

II.4.2 Các bài toán quỹ tích…………………………… 31

II.4.3 Các bài toán dựng hình…………………………. 31

Kết luận…………………………………………………………………

32

Tài liệu tham khảo………………………………………………… … 33

1
Bảng các kí hiệu, từ viết tắt sử dụng trong chuyên ñề


AM - GM Bất ñẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất
ñẳng thức Cô-si).
(ABC); (O) ; C(O ; R) ðường tròn ñi qua ba ñiểm A, B, C; ðường tròn tâm O ;
ðường tròn tâm O, bán kính R.
IMO Olympic toán học quốc tế.
/( )
M O
P
Phương tích của ñiểm M ñối với ñường tròn (O).
ABC
S

Diện tích tam giác ABC.
k
O
V

Phép vị tự tâm O, tỉ số k.

2
LỜI NÓI ðẦU

Lí thuyết về các phép biến hình là một nội dung lớn và quan trọng trong chương
trình toán học phổ thông. Việc ñưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở
bậc trung học phổ thông không những chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ
mới ñể giải toán mà quan trọng hơn là tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư
duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc
sống với sự vận ñộng và biến ñổi của chúng ñể nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở
cho sự ra ñời của những phát minh và sáng tạo trong tương lai.
Trong chương trình toán trung học phổ thông có giới thiệu một lớp các phép biến
hình trong mặt phẳng, ñặc biệt là phép dời hình và phép ñồng dạng cùng các ứng dụng
của chúng vào giải một lớp rộng các bài toán hình học phẳng. Các phép biến hình ñó ñều
có tính chất biến ñường thẳng thành ñường thẳng, biến ñường tròn thành ñường tròn.
Ngoài các phép biến hình quan trọng trên còn có một phép biến hình có rất nhiều ứng

dụng và những tính chất ñẹp, chẳng hạn như biến ñường tròn thành ñường thẳng ñó là
phép nghịch ñảo.
ðối với học sinh chuyên thì nội dung về phép nghịch ñảo là khá quan trọng vì nó
cung cấp cho học sinh một phương pháp giải toán hay cho một lớp khá rộng các bài toán
hình học phẳng.
ðể giúp học sinh làm quen và bước ñầu vận dụng phép nghịch ñảo vào giải toán
hình học phẳng, người viết mạnh dạn viết chuyên ñề “Sử dụng phép nghịch ñảo giải
toán hình học phẳng”. Chuyên ñề này gồm hai chương
Chương I. Phép nghịch ñảo trong mặt phẳng.
Chương II. Ứng dụng phép nghịch ñảo giải toán hình học phẳng.
Ở chương thứ nhất trình bày ñịnh nghĩa và các tính chất cơ bản của phép nghịch
ñảo cùng một số các khái niệm liên quan sẽ sử dụng trong chương sau. Chương thứ hai
giới thiệu ứng dụng của phép nghịch ñảo vào giải một số dạng toán hình học phẳng.
Các nội dung lí thuyết và bài tập trong chuyên ñề này phần lớn ñược người viết
chọn lọc từ các tài liệu tham khảo ñược ghi ở cuối chuyên ñề và một số nguồn khác nhau
từ internet. Hy vọng các em học sinh có thể tìm thấy nhiều ñiều bổ ích từ chuyên ñề này
và sẽ yêu thích môn toán hơn. Chuyên ñề ñược thực hiện trong một thời gian ngắn, người
viết có thể còn nhiều thiếu sót, mong nhận ñược nhiều nhận xét của bạn ñọc ñể chuyên ñề
ñược hoàn thiện hơn.

Ngày 18 tháng 04 năm 2011

Trần Anh ðức
3

Chương I
PHÉP NGHỊCH ðẢO TRONG MẶT PHẲNG

I.1 Một số khái niệm
I.1.1 Các khái niệm ñã biết

Những khái niệm sau ñược coi là ñã biết và không ñược trình bày lại trong chuyên
ñề này:
1. Hình, phép biến hình trong mặt phẳng, phép biến hình ñảo ngược. ðiểm bất
ñộng của phép biến hình, ảnh của một hình qua phép biến hình.
2. Các phép dời hình : Phép ñồng nhất, phép ñối xứng trục, phép ñối xứng tâm,
phép tịnh tiến, phép quay. Phép vị tự, phép ñồng dạng.
I.1.2 Các khái niệm bổ sung
I.1.2.1. Phép biến hình có tính chất ñối hợp
Cho một phép biến hình f biến ñiểm M thành ñiểm M’, sau ñó nếu ta thực hiện tiếp
phép biến hình f ñó với ñiểm M’ và giả sử
( ') "
f M M
=
. Nếu ñiểm M’’ trùng với M thì ta
nói rằng phép biến hình f ñó có tính chất ñối hợp. Khi ñó ta có
( )
f f M M
ο
=
hay
2
f Id
=
, ở ñó Id là phép ñồng nhất của mặt phẳng.
Ví dụ : Phép ñối xứng tâm, phép ñối xứng trục là các phép biến hình có tính chất
ñối hợp.
I.1.2.2. ðường tròn trực giao
a) ðịnh nghĩa. Hai ñường tròn gọi là trực giao với nhau tại một ñiểm chung A
của chúng, nếu hai tiếp tuyến tại A của hai ñường tròn ñó vuông góc với nhau.
Khi hai ñường tròn cắt nhau tại một ñiểm A thì chúng còn cắt nhau tại một ñiểm

thứ hai B và vì lí do ñối xứng qua ñường nối tâm nên các tiếp tuyến tại B cũng vuông góc
với nhau.
Rõ ràng là khi hai ñường tròn trực giao với nhau thì tại ñiểm chung của chúng, tiếp
tuyến của ñường tròn này ñi qua tâm của ñường tròn kia. Do ñó áp dụng ñịnh lí Pitago ta
có các ñịnh lí sau ñây.
b) Các ñịnh lí
ðịnh lí 1. ðiều kiện cần và ñủ ñể hai ñường tròn trực giao với nhau là bình phương
khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng bình phương các bán kính của chúng.
ðịnh lí 2. ðiều kiện cần và ñủ ñể hai ñường tròn trực giao với nhau là phương tích của
tâm của một trong hai ñường tròn ñối với ñường tròn thứ hai bằng bình phương bán kính
của ñường tròn thứ nhất.

4
I.2 ðịnh nghĩa và các tính chất của phép nghịch ñảo
I.2.1 ðịnh nghĩa
Cho một ñiểm O cố ñịnh và một số thực
0
k
≠
. Nếu ứng với mỗi ñiểm
M
của mặt
phẳng khác ñiểm O ta tìm ñược ñiểm
'
M
trên ñường thẳng
OM
sao cho
. '
OM OM k

=

thì phép biến hình
( ) '
f M M
=
gọi là phép nghịch ñảo cực O, phương tích k.
Ta thường kí hiệu phép nghịch ñảo ở trên là
( , )
f O k
, phép nghịch ñảo
f
hoàn toàn
ñược xác ñịnh nếu biết cực O và phương tích k của nó.
Nếu
0
k
>
thì hai ñiểm
M
và
' ( )
M f M
=
cùng nằm về một phía ñối với ñiểm O.
Khi ñó tập hợp những ñiểm kép (ñiểm bất ñộng) của phép nghịch ñảo
( , )
f O k
là ñường
tròn tâm O và bán kính bằng

k
. Ta gọi ñường tròn này là ñường tròn nghịch ñảo của
phép nghịch ñảo
( , )
f O k
.

Ta có
2
. ' ( ) .
OM OM k k
= =

Chú ý rằng nếu ñiểm
M
nằm ở miền
trong của ñường tròn nghịch ñảo thì ñiểm
' ( )
M f M
=
sẽ nằm ngoài ñường tròn
nghịch ñảo và ngược lại.

O
M'
M

Nếu
0
k

<
thì hai
ñiểm
M
và
' ( )
M f M
=
nằm về hai phía
ñối với ñiểm O. Khi ñó ta
không có ñiểm kép và do ñó
không có ñường tròn nghịch
ñảo.
Vì
. '
OM OM k
=

không ñổi nên nếu ñiểm
M

càng gần ñiểm O thì ñiểm
'
M
càng xa ñiểm O. Vẽ
ñường tròn ñường kính
'
MM
và từ O vẽ ñường
thẳng vuông góc với

'
MM

cắt ñường tròn ñó tại
A
và
B
.


N'
M'
M
O
B
A
N



5
Ta có
. . '
OAOB OM OM k
= =
.
Nếu
' ( )
N f N
=

qua phép nghịch ñảo với
0
k
<
ñã cho thì ta cũng có
. . ' . '
OAOB ON ON OM OM
= =
. Khi ñó ta có bốn ñiểm
, ', ,
N N A B
cùng nằm trên một
ñường tròn.

I.2.2 Các tính chất
ðịnh lí 1. Phép nghịch ñảo có tính chất ñối hợp.
Thật vậy, từ ñịnh nghĩa của phép nghịch ñảo suy ra nếu
' ( )
M f M
=
thì
( ')
M f M
=
. Do ñó
( )
f f M M
ο
=
hay

2
f
là phép ñồng nhất.
ðịnh lí 2. Nếu phép nghịch ñảo
( , )
f O k
có phương tích
0
k
>
thì mọi ñường tròn ñi qua
hai ñiểm tương ứng
M
và
' ( )
M f M
=
ñều trực giao với ñường tròn nghịch ñảo của phép
nghịch ñảo ñó.
Chứng minh.

Theo giả thiết ta có
. '
OM OM k
=
.

Giả sử (C) là ñường tròn bất kì ñi
qua
M

và
' ( )
M f M
=
. Khi ñó ta có

2
/( )
. ' ( ) . (1)
O C
P OM OM k= =

Hệ thức (1) chứng tỏ rằng ñường
tròn nghịch ñảo tâm O, bán kính
k
trực
giao với ñường tròn (C). □


M'
M
O
C


Hệ quả. Qua phép nghịch ñảo với phương tích
0
k
>
, mọi ñường tròn trực giao với

ñường tròn nghịch ñảo ñều biến thành chính nó.
ðịnh lí 3. Cho phép nghịch ñảo
( , )
f O k
có phương tích
0
k
>
. Nếu có hai ñường tròn
trực giao với ñường tròn nghịch ñảo tâm O và cắt nhau tại
, '
M M
thì hai ñiểm này là hai
ñiểm tương ứng của phép nghịch ñảo
( , )
f O k
ñã cho.
Chứng minh.
Giả sử hai ñường tròn
1 2
( ), ( )
C C
trực giao với ñường tròn nghịch ñảo (O) và chúng
cắt nhau tại
M
và
'
M
.
6

Trục ñẳng phương
'
MM
của hai
ñường tròn
1
( )
C
và
2
( )
C
ñi qua tâm O
của ñường tròn nghịch ñảo và ñiểm O nằm
ngoài ñoạn
'
MM
vì O phải nằm ngoài hai
ñường tròn
1
( )
C
và
2
( )
C
.
ðường tròn (O) trực giao với
1
( )

C

và
2
( )
C
nên ta có
1 2
2
/( ) /( )
( ) .
O C O C
P P k
= =

Do ñó
. '
OM OM k
=
. □
M'
M
O
C1
C2


ðịnh lí 4. ðối với một phép nghịch ñảo
( , )
f O k

bất kì, hai ñiểm
,
A B
không thẳng hàng
với cực nghịch ñảo cùng với ảnh của chúng
' ( ), ' ( )
A f A B f B
= =
cùng nằm trên một
ñường tròn.
Chứng minh
Vì
. ' . '
OAOA OB OB k
= =
nên bốn ñiểm
, ', , '
A A B B
cùng nằm trên một ñường
tròn. □
ðịnh lí 5. Tích của hai phép nghịch ñảo có cùng cực O là
( , )
f O k
và
'( , ')
f O k
là một
phép vị tự tâm O tỉ số
'
k

k
.
Chứng minh
Nếu
( , )
f O k
biến
M
thành
'
M
và
'( , ')
f O k
biến
'
M
thành
''
M
thì
. ' , '. '' '.
OM OM k OM OM k
= =

Do ñó ta suy ra
'
''
k
OM OM

k
=
. Vậy tích của hai phép nghịch ñảo ñã cho là phép vị
tự tâm O tỉ số
'
k
k
. □
Hệ quả.
Hình dạng ảnh của một hình H trong một phép nghịch ñảo không phụ thuộc vào
phương tích nghịch ñảo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của cực nghịch ñảo.
Chứng minh
Giả sử
1
H
là ảnh của hình
H
trong phép nghịch ñảo
1 1
( , )
f O k
và
2
H
là ảnh của
hình
H
trong phép nghịch ñảo
2 2
( , )

f O k
. Khi ñó
1
1 1 2 2 2 2 2 2
( ), ( ) ( ) ( ).
H f H H f H H f H f H
−
= = ⇒ = =

Do ñó
1 1 2 2 1 2 2 2
( ( )) ( )( ) ( )
H f f H f f H V H
ο
= = =

7
với
1 2
V f f
ο
=
là một phép vị tự. Do ñó
1
H
và
2
H
là hai hình ñồng dạng. □
ðịnh lí 6.

Cho hai ñiểm A, B và ảnh A’, B’ của chúng trong một phép nghịch ñảo cực O,
phương tích k. ðộ dài các ñoạn thẳng AB và A’B’ liên hệ với nhau bởi hệ thức
' ' | | .
.
AB
A B k
OAOB
=
.
Chứng minh
Ta xét hai trường hợp sau
a) Ba ñiểm O, A, B không thẳng hàng.
Ta có
. ' . '
OAOA OB OB
=
hay
'
'
OA OB
OB OA
=
.
Suy ra hai tam giác OAB và OB’A’ ñồng
dạng nên ta có

' ' ' '. | |
. .
A B OA OA OA k
AB OB OA OB OAOB

= = =

Do ñó
' ' | |
.
AB
A B k
OA OB
=
.

O B'
A'
A
B


b)

Ba ñiểm O, A, B thẳng hàng.
Ta có
' ' ' ' ;
( )
' ' . . .
. .
k k
A B OB OA
OB OA
OA OB AB
A B k k

OAOB OAOB
= − = −
− −
= =

Lấy giá trị tuyệt ñối hai vế của ñẳng thức trên ta thu ñược ñiều phải chứng minh. □

I.3 Sự bảo tồn góc của phép nghịch ñảo
I.3.1 ðịnh nghĩa.

Cho hai ñường cong
1
( )
C
và
2
( )
C
cắt nhau tại một ñiểm A và tại ñó chúng có các
tiếp tuyến. Ta gọi góc giữa hai tiếp tuyến ñó là góc của hai ñường cong ñã cho tại ñiểm
A.
Các bài toán liên quan ñến góc của hai ñường trong chuyên ñề này chỉ xét các loại
ñường thẳng và ñường tròn.


8
I.3.2 Sự bảo tồn góc của phép nghịch ñảo
ðịnh lí.
Phép nghịch ñảo bảo tồn góc.
Chứng minh của ñịnh lí trên các bạn có thể xem trong tài liệu tham khảo (xem

trong [3]). Như vậy phép nghịch ñảo bảo toàn sự tiếp xúc của hai ñường tròn và bảo toàn
góc giũa hai ñường tròn cắt nhau. Cũng như bảo toàn góc giữa ñường thẳng và ñường
tròn.

I.4 Ảnh của ñường thẳng và ñường tròn qua phép nghịch ñảo

Từ ñịnh nghĩa của phép nghịch ñảo, ta suy ra rằng phép nghịch ñảo biến mỗi
ñường thẳng ñi qua cực nghịch ñảo thành chính ñường thẳng ñó. Còn ñối với ñường thẳng
không ñi qua cực nghịch ñảo thì ảnh của nó ñược xác ñịnh bởi các ñịnh lí sau ñây.

ðịnh lí 1.
Phép nghịch ñảo biến ñường thẳng không ñi qua cực nghịch ñảo O
thành một ñường tròn ñi qua cực nghịch ñảo O trừ ñiểm O. Ngược lại một ñường tròn ñi
qua cực nghịch ñảo O (trừ ñiểm O) thì có ảnh là một ñường thẳng không ñi qua cực
nghịch ñảo ñó.
Chứng minh
Giả sử d là một ñường thẳng không ñi qua cực nghịch ñảo O. Gọi H là chân ñường
vuông góc hạ từ O xuống d và H’ là ảnh của H qua phép nghịch ñảo
( , )
f O k
. Ta có
. '
OH OH k
=
.
Ta lấy một ñiểm M trên ñường
thẳng d (M khác H) và M’ là ảnh của
M qua phép nghịch ñảo
f
. Vì bốn

ñiểm M, M’, H, H’ cùng thuộc một
ñường tròn nên


' ' ' 90
OM H MHH
ο
= =
.
Do ñó M’ nằm trên ñường tròn
tâm I ñường kính OH’. Khi M chạy
trên ñường thẳng d thì ñiểm
' ( )
M f M
=
chạy trên ñường tròn tâm
I nói trên, trừ ñiểm O. Vậy ảnh của d
là ñường tròn (I) trừ ñiểm O.


d
M
H
H'
I
O
I'
M'

Phần còn lại của ñịnh lí ñược chứng minh dựa vào những lập luận tương tự. □
Chú ý.
Gọi I’ là ảnh của tâm I của ñường tròn ñường kính OH ta có
. ' . ' .2 .
OI OI OH OH OH OI
= =

Do ñó
' 2
OI OH
=
. Từ ñó chúng ta thu ñược hệ quả sau.
9
Hệ quả.
Nếu ñường tròn tâm I biến thành ñường thẳng d qua phép nghịch ñảo
( , )
f O k

thì tâm I của nó biến thành ñiểm ñối xứng I’ của cực nghịch ñảo O qua d.

ðịnh lí 2.
Một ñường thẳng và một ñường tròn có thể coi là ảnh của nhau trong hai phép
nghịch ñảo, nếu ñường thẳng không tiếp xúc với ñường tròn.
Chứng minh
Cho ñường tròn (I) và ñường thẳng d không tiếp xúc với (I). Kẻ ñường kính AB
của ñường tròn (I) vuông góc với d tại H. Ta có hai phép nghịch ñảo :
Với phép nghịch ñảo cực A ta có
.
AH AB k
=

.
Với phép nghịch ñảo cực B ta có
. '
BH BA k
=
.
Cả hai phép nghịch ñảo trên ñều biến ñường thẳng d thành ñường tròn tâm (I) và
ngược lại. □
Chú ý.
Nếu ñường thẳng d tiếp xúc với
ñường tròn tâm I, giả sử d tiếp xúc với
ñường tròn tại B (nghĩa là H trùng với B)
thì ta chỉ có một phép nghịch ñảo cực A
với phương tích
2
. '
AM AM AB
=

biến ñường tròn thành ñường thẳng và
ngược lại.


d
M
I
B
A
M'

ðịnh lí 3.
Qua phép nghịch ñảo, một ñường tròn không ñi qua cực nghịch ñảo O biến
thành một ñường tròn không ñi qua ñiểm O ñó.
Chứng minh

N'
I
I'
M'
O
N
M

10
Cho phép nghịch ñảo
( , )
f O k
và một ñường tròn tâm I không ñi qua O. Ta sẽ tìm
ảnh của ñường tròn (I) qua phép nghịch ñảo
f
ñã cho.
Lấy một ñiểm M trên ñường tròn tâm I và giả sử
' ( )
M f M
=
, ta có

. '
OM OM k

=
. (1)
Gọi p là phương tích của ñiểm O ñối với ñường tròn (I), N là giao ñiểm thứ hai của
ñường thẳng OM với ñường tròn (I), ta có

.
OM ON p
=
. (2)
Từ (1) và (2) ta có
'
OM k
p
ON
=
hay
'
k
OM ON
p
=
.
Hệ thức trên chứng tỏ M’ là ảnh của N qua phép vị tự V tâm O, tỉ số vị tự
k
p
λ
=
.
Khi ñiểm M vạch nên ñường tròn (I) thì ñiểm N cũng vạch nên ñường tròn ñó, còn ñiểm
M’ là ảnh của ñiểm N qua phép vị tự

O
V
λ
vạch nên ñường tròn (I’) là ảnh của ñường tròn
(I) trong phép vị tự
O
V
λ
. Do ñó ảnh của ñường tròn (I) qua phép nghịch ñảo
( , )
f O k
là
ñường tròn (I’). Vì ñiểm O không thuộc ñường tròn (I) nên ñiểm O cũng không thuộc
ñường tròn (I’). Vậy ảnh của ñường tròn (I) trong phép vị tự
O
V
λ
trùng với ảnh của ñường
tròn ñó trong phép nghịch ñảo
( , )
f O k
. □

I.5 Phép nghịch ñảo ñối với hai ñường tròn
Ta biết rằng qua một phép nghịch ñảo
( , )
f O k
một ñường tròn không ñi qua cực
nghịch ñảo O có ảnh là một ñường tròn và cực nghịch ñảo là một tâm vị tự của hai ñường
tròn ñó.

Ngược lại nếu cho trước hai ñường tròn
( ; )
C I R
và C’(I’;R’) ta hãy xem chúng có
thể là ảnh của nhau qua một phép nghịch ñảo nào ñó hay không. Ta xét các trường hợp
sau.

I.5.1 Trường hợp tổng quát
Trường hợp hai ñường tròn (C) và (C’) không bằng nhau và không tiếp xúc nhau,
có hai phép vị tự
'
R
R
O
V
và
'
'
R
R
O
V
−
biến ñường tròn (C) thành ñường tròn (C’). Các tâm vị tự
O và O’ không nằm trên hai ñường tròn ñó. Khi ñó có hai phép nghịch ñảo biến (C) thành
(C’).
11
R'
R
O'

I
I'
O

a) Phép nghịch ñảo tâm O với phương tích
'
R
k p p
R
λ
= =
, trong ñó p là phương
tích của ñiểm O ñối với ñường tròn (C).
b) Phép nghịch ñảo tâm O’ với phương tích
'
' '
R
k p
R
= −
, trong ñó p’ là phương
tích của ñiểm O’ ñối với ñường tròn (C).

I.5.2 Các trường hợp ñặc biệt
a) Nếu hai ñường tròn (C) và (C’) bằng nhau và không tiếp xúc nhau thì có một
phép vị tự tâm O’ biến ñường tròn này thành ñường tròn kia.
Do ñó chỉ có một phép nghịch
ñảo cực O’ với phương tích
' '
k p

= −
,
trong ñó p’ là phương tích của ñiểm O’
ñối với ñường tròn (C) (bằng phương
tích của O’ ñối với ñường tròn (C’)).
(C')
(C)
O'
I
I'

b) Nếu hai ñường tròn (C) và (C’) tiếp xúc với nhau tại ñiểm A nhưng không bằng
nhau thì tiếp ñiểm là tâm vị tự nhưng không phải là cực nghịch ñảo và chỉ có tâm vị tự
còn lại là cực O của một phép nghịch ñảo.
12
(C')
(C)
(C)
(C')
O
I'
A
I
O
A

c) Nếu hai ñường tròn (C) và (C’) bằng nhau và tiếp xúc với nhau thì không có
phép nghịch ñảo nào biến ñường tròn này thành ñường tròn kia.

I.6 Biểu thức tọa ñộ của phép nghịch ñảo

Xét hệ trục tọa ñộ Oxy và phép nghịch ñảo
( , )
f O k
với cực nghịch ñảo O là gốc tọa
ñộ. Xét ñiểm M(x ; y) trên mặt phẳng tọa ñộ (M khác O), giả sử M’(x’ ;y’) là ảnh của M
qua phép nghịch ñảo
f
. Từ ñịnh nghĩa của phép nghịch ñảo chúng ta thu ñược
2 2
2 2
'
(1)
' .
kx
x
x y
ky
y
x y

=

+



=

+


Hệ (1) gọi là biểu thức tọa ñộ của phép nghịch ñảo
( , )
f O k
.
Xét trên mặt phẳng phức, với các ñiểm M(x ; y) và M’(x’ ; y’) biểu diễn các số phức
, ' ' '
z x iy z x iy
= + = +
thì phép nghịch với ñảo cực là gốc tọa ñộ phức, phương tích k là
hàm số
' ( )
k
z f z
z
= =
(2)
ở ñó
z
là số phức liên hợp của số phức z.

13

Chương II
ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ðẢO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
PHẲNG

Do phép nghịch ñảo có khả năng biến ñường tròn thành ñường thẳng nên người ta
thường khai thác khả năng này của phép nghịch ñảo ñể giải toán. Muốn vậy, trong các bài
toán người ta thường chọn cực nghịch ñảo là giao ñiểm của một số ñường tròn và các tính
chất ñược ñề cập ñến phải là các bất biến của phép nghịch ñảo như ñộ lớn của góc, tính
trực giao của các ñường, sự tiếp xúc của các ñường,…
Chúng ta lần lượt áp dụng phép nghịch ñảo giải một số dạng toán sau ñây.

II.1 Chứng minh các tính chất hình học, tính toán các ñại lượng
Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn tâm O. Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu
của B và C trên các cạnh AC, AB. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại A của ñường tròn (O)
song song với B’C’, từ ñó suy ra AO vuông góc với B’C’.
Lời giải

d
O
A
B
C
B'
C'

Do bốn ñiểm B, C’, B’, C cùng thuộc một ñường tròn nên ta có
. ' . ' .
AB AC AC AB k

= =

Xét phép nghịch ñảo cực A, phương tích k, ta ñược
( , ) : ' , '
f A k B C C B
֏ ֏
.
Vì vậy
: ' ' ( )
f B C O
֏
. Gọi d là tiếp tuyến tại A của (O) thì ta có
:
f d d
֏
.
Mặt khác d tiếp xúc với (O) nên d song song với d song song với B’C’ (do phép
nghịch ñảo bảo tồn góc). Khi ñó ta có AO vuông góc với B’C’ vì AO vuông góc với d.

14
Bài 2. Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể một tứ giác lồi nội tiếp một ñường tròn
là tích hai ñường chéo của nó bằng tổng của tích hai cạnh ñối diện.
(
ðịnh lí Ptolémée)
Lời giải


C
B
A

D
A'
B'
C'

Xét tứ giác lồi ABCD. Gọi
f
là một phép nghịch ñảo cực D phương tích k biến A,
B, C lần lượt thành A’, B’, C’. Ta ñã biết ñiều kiện cần và ñủ ñể bốn ñiểm A, B, C, D cùng
nằm trên một ñường tròn là ba ñiểm A’, B’, C’ thẳng hàng. ðiều kiện thẳng hàng của ba
ñiểm A’, B’, C’ theo thứ tự ñó là
' ' ' ' ' '
A C A B B C
= +

hay
| | | | | | .
. . .
AC AB BC
k k k
DA DC DA DB DB DC
= +

Từ ñó suy ra
. . .
AC BD AB CD AD BC
= +
. □

Bài 3. Cho ñường tròn tâm O bán kính R và một ñiểm S nằm ngoài ñường tròn. Gọi AB

là ñường kính thay ñổi của ñường tròn (O).
a)
Chứng minh rằng ñường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn ñi qua một ñiểm I cố
ñịnh.
b)
Các ñường thẳng SA, SB cắt ñường tròn (O) lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng
ñường thẳng MN luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh và ñường tròn ngoại tiếp tam giác
SMN cũng luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh.
Lời giải
15
K
H
N
M
I
S
O
B
A
J

a) Gọi I là giao ñiểm thứ hai của ñường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và ñường thắng
SO. Ta có
2
/( )
. .
O SAB
P OS OI OA OB R
= = = −
.

Do
2
R
không ñổi và S cố ñịnh nên I cố ñịnh. Hay ñường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB ñi qua ñiểm cố ñịnh I.
b) Gọi J là giao ñiểm thứ hai của (O) và ñường thẳng SO, suy ra J cố ñịnh. Gọi H là giao
ñiểm của hai ñường thẳng SO và MN. Ta có
/( )
. .
S O
P SM SA SN SB k
= = =
không ñổi nên
phép nghịch ñảo
( , )
f S k
biến A thành M, biến B thành N nên nó biến ñường tròn (SAB)
thành ñường thẳng MN. Do ñiểm J cố ñịnh thuộc ñường tròn (SAB) nên ảnh của J qua
f

là ñiểm cố ñịnh H. Vậy khi ñường kính AB thay ñổi thì ñường thẳng MN luôn ñi qua ñiểm
cố ñịnh H.
Gọi K là giao ñiểm thứ hai của ñường tròn (SMN) với ñường thẳng SO. Ta thấy
phép nghịch ñảo
( , )
f S k
biến ñường thẳng AB thành ñường tròn (SMN). Mà O là một
ñiểm cố ñịnh thuộc AB nên ảnh của O qua
f
là ñiểm K cũng phải cố ñịnh. Vậy khi ñường

kính AB thay ñổi thì ñường tròn (SMN) luôn ñi qua một ñiểm K cố ñịnh.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Gọi O, I theo thứ tự là tâm các ñường tròn ngoại tiếp và nội
tiếp tam giác ABC có bán kính lần lượt là R, r. Gọi d là khoảng cách giữa hai ñiểm O và I,
chứng minh rằng
2 2
2
d R Rr
= −
.
Lời giải
16

Gọi M, N, P lần lượt là các tiếp
ñiểm của ñường tròn nội tiếp (I) với các
cạnh AB, AC, BC và A’, B’, C’ lần lượt là
các giao ñiểm của AI, BI, CI với MN, MP,
PN. Ta có
2
. ' . ' . '
IA IA IB IB IC IC r
= = =

.

C'
B'
A'
O
I

B
A
C
M
N
P

Vậy phép nghịch ñảo
( , )
f I k
với
2
k r
=
biến ba ñiểm A, B, C lần lượt thành các
ñiểm A’, B’, C’. Suy ra ñường tròn (A’B’C’) là ảnh của ñường tròn (ABC) trong phép
nghịch ñảo ñó. Nhận xét rằng A’, B’, C’ lần lượt là các trung ñiểm của các cạnh MN, MP,
NP nên (A’B’C’) có bán kính là
2
r
. Theo tính chất của phép nghịch ñảo, ñường tròn
(A’B’C’) là ảnh của ñường tròn (ABC) qua phép vị tự tâm I với tỉ số vị tự
2
2 2
k r
p d R
λ
= =
−
với

2 2
/( )I ABC
p P d R
= = −
. Vì ñiểm
I
nằm trong ñường tròn (
C
) nên
0
p
<
. Do ñó

2
2 2
| |
| |
| |
k r
p R d
λ
= =
−
. (1)
Mặt khác ta có

2
| | .
2

r
r
R R
λ
= =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2 2
2
d R Rr
= −
. □

Bài 5.
Cho hai ñường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại ñiểm A. Một tiếp tuyến tại M
của ñường tròn (O) cắt ñường tròn (O’) ở B và C. Chứng minh rằng ñường thẳng AM là
ñường phân giác của góc tạo thành bởi hai ñường thẳng AB và AC.
Lời giải


17
d
m
C'
M'
B'
C
I
A
O'

O
H
M
B
N



Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên tiếp tuyến tại M của (O). Xét phép nghịch
ñảo
( , )
f A k
với
2
k AH
=
. Khi ñó phép nghịch ñảo f biến :
-

Tiếp tuyến tại M của (O) thành ñường tròn ñường kính AH.
-

ðường tròn (O) thành ñường thẳng m vuông góc OA và tiếp xúc với ñường tròn
ñường kính AH tại ñiểm
' ( )
M f M
=
.
-

ðường tròn (O’) thành ñường thẳng d vuông góc AO’ và ñi qua hai ñiểm
' ( ), ' ( )
B f B C f C
= =
nằm trên ñường tròn ñường kính AH.
Do d // m và M’ là tiếp ñiểm của ñường tròn ñường kính AH nên


' ' ' '
B M M C
=
.
Gọi N’ là ñiểm xuyên tâm ñối của M’, ta có


' '
C N NB
=
. Do ñó


' '
C AN NAB
=
hay
AN là phân giác của góc

CAB
. Mặt khác


' 90
NAM
ο
=
nên AM’ cũng là phân giác của góc
tạo bởi hai ñường thẳng AB và AC. Vậy AM là ñường phân giác của góc tạo thành bởi hai
ñường thẳng AB và AC.

Bài 6.
Cho hai ñường tròn
1
( )
C
và
2
( )
C
không cắt nhau và không ñồng tâm.
a)

Chứng tỏ rằng có một số vô hạn các phép nghịch ñảo cực S biến
1
( )
C
thành
1
( )
C

và biến

2
( )
C
thành
2
( )
C
. Tìm tập hợp các ñiểm S.
b)

Chứng tỏ rằng ngoài các ñường tròn
1
( )
C
và
2
( )
C
còn có vô số các ñường tròn
khác cũng biến thành chính nó.
Lời giải
18
a) Gọi d là trục ñẳng phương của hai ñường tròn
1
( )
C
và
2
( )
C

. Nếu lấy ñiểm S bất kì trên
d ta luôn có phép nghịch ñảo cực S (phương tích
1
/( )
S C
k P
=
) biến
1
( )
C
thành
1
( )
C
và biến
2
( )
C
thành
2
( )
C
. Tập hợp các ñiểm S chính là ñường thẳng d nói trên.
b) Tập hợp các ñường tròn cùng nhân d làm trục ñẳng phương ñều biến thành chính nó
qua các phép nghịch ñảo nói trên.

Bài 7.
Cho A, B, C, D là bốn ñiểm phân biệt nằm trên một ñường thẳng ñược sắp xếp
theo thứ tự ñó. Các ñường tròn ñường kính AC, BD cắt nhau tại các ñiểm X, Y. ðường

thẳng XY cắt BC tại Z. Cho P là một ñiểm trên ñường thẳng XY khác với Z. ðường thẳng
CP cắt ñường tròn ñường kính AC tại C và M, ñường thẳng BP cắt ñường tròn ñường kính
BD tại B và N. Chứng minh rằng AM, DN, XY ñồng quy.
Lời giải
D'
A'
Q
N
M
Z
X
Y
O'
O
A
DB
C
P

Gọi (O) và (O’) lần lượt là các ñường tròn ñường kính AC và BD. Do P nằm trên XY
là trục ñẳng phương của hai ñường tròn (O) và (O’) nên ta có
/( ) /( ')
P O P O
P P
=
. Như vậy ta
có
. .
PC PM PB PN k
= =

.
19
Xét phép nghịch ñảo f cực P, phương tích k ta có
: , ', ( ' )
f M C A A AM PA C
֏ ֏ ֏
.
Tương tự, cũng có
: ( ')
f ND PBD
֏
, trong ñó
' ( ).
D f D
=
Mặt khác
:
f XY XY
֏
. Do ñó ñể chứng minh XY, AM, DN ñồng quy, ta sẽ chứng minh XY là trục
ñẳng phương của (PA’C) và (PBD’). Thật vậy, ta có


' 90
PZC PA C
ο
= =
nên Z thuộc
(PA’C). Tương tự cũng có Z thuộc (PBD’). Do ñó
PZ XY

≡
là trục ñẳng phương của
(PA’C) và (PBD’). Từ ñó ta có ñiều phải chứng minh. □

Bài 8.
Cho ñường tròn (O) ñường kính BC và một ñiểm A nằm ngoài (O). Gọi B’, C’ lần
lượt là giao ñiểm thứ hai của AC và AB với (O). Gọi H là giao ñiểm của BB’ và CC’. Gọi
M, N lần lượt là các tiếp ñiểm của tiếp tuyến từ A ñến (O). Chứng minh rằng ba ñiểm H,
M, N thẳng hàng.
Lời giải

H
B'
C'
A'
B
O
C
A
M
N


Gọi A’ là hình chiếu của A trên ñường thẳng BC. Ta có H là trực tâm của tam giác
ABC. Xét phép nghịch ñảo
( , )
f A k
cực A phương tích k với
2 2
'. '.

k AB AC AC AB AM AN
= = = =
.
Khi ñó ta có
: , , ' , ( )
f M M N N A H AMN MN
֏ ֏ ֏ ֏
.
Ta có



' 90
OMA ONA OA A
ο
= = =
nên A’ thuộc ñường tròn (AMN), từ ñó suy ra ảnh
của A’ qua phép nghịch ñảo f thuộc ñường thẳng MN. Nói cách khác ba ñiểm H, M, N
thẳng hàng.

20
Bài 9.
Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn (O). Giả sử M là một ñiểm không thuộc
(O), các ñường thẳng MA, MB, MC cắt lại ñường tròn (O) lần lượt tại các ñiểm A’, B’, C’.
a) Chứng minh rằng với M ở trong (O) ta có
' ' '
'. '. '
. .
A B C
ABC

S
MA MB MC
S MA MB MC
=
.
b) Tìm tập hợp các ñiểm M sao cho tam giác A’B’C’ vuông.
Lời giải


M
O
A
C
B
A'
C'
B'

a) Ta có
' ' '
' ' '
. . ' '. ' '. ' ' ' '. ' '. ' '
,
4 4 . .
A B C
ABC A B C
ABC
S
AB BC CA A B B C C A A B B C C A
S S

R R S AB BC CA
= = ⇒ =
(1)
ở ñó R là bán kính ñường tròn (O).
Ta có
. ' . ' . '
MA MA MB MB MC MC k
= = =
. Xét phép nghịch ñảo
( , )
f M k
thì f biến
A, B, C lần lượt thành A’, B’, C’. Theo tính chất của phép nghịch ñảo ta có

| | | | | |
' ' , ' ' , ' '
. . .
k AB k BC k CA
A B B C C A
MA MB MB MC MC MA
= = =
. (2)
Thay (2) vào (1) ta có ñiều phải chứng minh.
b) Giả sử tam giác A’B’C’ vuông tại A’ thì B’C’ ñi qua tâm O của ñường tròn (O) hay
B’C’ trực giao với (O). Xét phép nghịch ñảo
( , )
f M k
như phần trên thì f biến (O) thành
(O) và biến B’C’ thành (MBC) trực giao với (O).
21

Suy ra M nằm trên
ñường tròn trực giao với (O) và
ñi qua hai ñiểm B, C.
Xét tương tự ñối với
trường hợp tam giác A’B’C’
vuông ở B’ và C’ ta thu ñược
quỹ tích các ñiểm M thỏa mãn
yêu cầu bài toán.
A
C'
B'
C
B
O
M
A'


Bài 10.
Cho O là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giao ñiểm thứ hai của các
ñường CO, AO, BO với các ñường tròn ngoại tiếp các tam giác AOB, BOC, COA lần lượt
là
1 1 1
, ,
A B C
. Chứng minh rằng
1 1 1
1 1 1

9
2
AA BB CC
OA OB OC
+ + ≥
.
Lời giải
Gọi (C) là ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và R là bán kính của nó, f là phép
nghịch ñảo cực O, tỉ số
2
k R
=
. Khi ñó f biến A, B, C lần lượt thành chính nó nên f biến
(BOC) thành ñường thẳng BC. Do ñường thẳng ñi qua ba ñiểm
1
, ,
A O A
là bất ñộng ñối
với f nên nếu gọi
'
1
A
là giao ñiểm của ñường thẳng này với BC thì
'
1
A
là ảnh của
1
A
qua

phép nghịch ñảo f.
Ta có

' 2
1 1
.
OA OA R
=
. (1)
Theo tính chất của phép nghịch ñảo ta có

2 '
1
1
'
1
.
.
R AA
AA
OAOA
=
. (2 )


22
A1'
A1
C1
B1

O
B
C
A

Từ (1) và (2) ta có

2 ' ' '
1 1 1 1
' 2
1 1
.
.
.
AA R AA OA AA
OA OAOA R OA
= =
. (3)
Gọi I, J tương ứng là hình chiếu của A, O xuống ñường thẳng BC và gọi
OBC
x S
=
,
ABC
S S
=
. Ta có
'
1
'

1
OA OJ x
AA AI S
= =
.
Vì O là ñiểm trong tam giác ABC nên
' '
1 1
OA AA OA
= −
, do ñó

'
1
' '
1 1
1
OA OA S x
AA AA S
−
= − =
. (4)
Từ (2) và (4) ta có
1
1
AA S
OA S x
=
−
. Tương tự ta cũng có

1 1
1 1
,
BB S CC S
OB S y OC S z
= =
− −

với
,
OAC OAB
y S z S
= =
.
23
Vì vậy
1 1 1
1 1 1
AA BB CC S S S
OA OB OC S x S y S z
+ + = + +
− − −
.
Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM dễ dàng chứng minh ñược
9
2
S S S
S x S y S z
+ + ≥
− − −

với
, ,
x y z
là các số dương thỏa mãn
.
x y z S
+ + =
Từ ñó ta thu ñược ñiều phải chứng
minh. □


Bài 11.
Cho bốn ñường tròn mà mỗi
ñường tròn tiếp xúc ngoài với hai
ñường tròn khác (hình vẽ). Chứng
minh rằng các tiếp ñiểm A, B, C, D
cùng nằm trên một ñường tròn.


C
A
D
B

Lời giải

L
K
C'

D'
B'

Xét phép nghịch ñảo tâm A, phương tích k bất kỳ
( 0)
k
≠
. Khi ñó các ñường tròn ñã
cho biến thành một cặp ñường thẳng song song và hai ñường tròn tiếp xúc với nhau (như