Sáng kiến kinh nghiệm về hệ thức lượng ở trường THPT chuyên Bắc Giang.PDF

S GIÁO D C ðÀO T O T NH B C GIANG
TRƯ NG THPT CHUYÊN B C GIANG

L I THU H NG
TR N TH HÀ PHƯƠNG
NGUY N VĂN TI N

H TH C LƯ NG
TRONG CÁC HÌNH PH NG
T :

Tốn - Tin

Năm h c:

2009 - 2010

Mã s : ...................................

B c Giang, tháng 4 năm 2010


M cl c
M ñ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

Trang 3

Chương I. Các d ng toán cơ b n . . . . . . . . . . .. . . . . .. .

5

I.1 Các h th c ñư c phép s d ng trong tam giác (các h
th c lo i I). . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .

5

I.1.1

H th c lư ng trong tam giác vuông. . . . .

5

I.1.2

H th c lư ng trong tam giác thư ng. . . .

6

I.1.3

H th c lư ng trong các hình khác . . . . . .

9

I.2 Các phương pháp ch ng minh ñ ng th c trong tam
giác. M t s ñ ng th c thư ng g p trong tam giác (các
ñ ng th c lo i II). . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

10

I.2.1

Phương pháp bi n ñ i m t v v v kia

10

I.2.2

Phương pháp bi n ñ i h qu . . . . . . . . . .

11

I.2.3

Phương pháp s d ng hình v . . . . . . . . . .

13

I.2.4

Các phương pháp khác . . . . . . . . . . .. . .

14

I.2.5

Bài t p rèn luy n . . . . . . . . . . . . . . .. . .

17

I.3 Các phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c trong tam

giác. M t s b t ñ ng th c thư ng g p trong tam giác
(các b t ñ ng th c lo i II) . . . . . . . . . . . . . . . .

18

I.3.1

Phương pháp ñánh giá. . . . . . . . . . . . . . .

18

I.3.2

Phương pháp bi n ñ i h qu . . . . . . . . . .

20

I.3.2

Phương pháp s d ng vectơ. . . . . . . . . .

23

I.3.4

Phương pháp bi n ñ i tương ñương. . . . .

26

1

I.3.5

Phương pháp s d ng tam th c b c hai. . .

28

I.3.6

Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . .

30

I.4 Bài toán nh n d ng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

I.4.1

Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

I.4.2

Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

I.4.3

Bài toán 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

I.4.4

Bài toán 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

I.4.5

Phương pháp b t ñ ng th c gi i bài toán
nh n d ng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương II. Phân lo i bài t p

41
45

II.1 M t s bài t p v các ñi m trong tam giác . . . . . . .

45

II.2 M t s bài t p v di n tích tam giác . . . . . . . . . . . .

49

II.3 M t s bài t p v ñư ng trung tuy n c a tam giác

52

II.4 M t s bài t p v ñư ng cao c a tam giác . . . . . . . .

57

II.5 M t s bài t p v ñư ng phân giác c a tam giác . . . .

60

II.6 M t s bài t p v nh n d ng tam giác . . . . . . . . . . .

65

II.7 M t s bài t p v ñ ng th c trong tam giác . . . . . . .

77

II.8 M t s bài t p v b t ñ ng th c trong tam giác . . . . .

78

II.9 M t s bài t p d ng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Chương III. M t s ki n th c b sung cho h c sinh gi i

82

K t lu n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Tài li u tham kh o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2


M

đ u

Các bài t p ph n bài tốn trong tam giác là các bài t p thư ng g p trong các
kỳ thi ð i h c, thi h c sinh gi i c p T nh, c p Qu c gia và Qu c t .
Tuy nhiên các bài t p ph n này thư ng gây ra khơng ít khó khăn cho h c sinh
vì trong sách giáo khoa bài t p ph n này khơng đư c đ c p nhi u.
M c đích c a nh ng ngư i vi t chuyên ñ này là cung c p cho các thày cô
giáo và các em h c sinh ham thích h c tốn m t h th ng lý thuy t và bài t p
tương ñ i ñ y ñ v các d ng bài t p trong tam giác, ph c v cho vi c ôn luy n
thi ð i h c và luy n thi h c sinh gi i các c p.
Bài t p ñư c phân lo i theo t ng ch ñ và g m c ba lo i: d , v a, khó ho c
r t khó. R t ti c là do khn kh c a chun đ nên ch có m t s ví d đư c
gi i m u. Vi c gi i các bài t p ñư c dành cho b n ñ c.
Trong chuyên ñ , m c ñ khó d c a t ng bài t p cũng khơng đư c ch ra c
th và không tránh kh i trư ng h p bài t p c a các ph n có s trùng h p.

Chun đ g m 44 ví d và hơn 500 bài t p ñư c l y t nhi u ngu n khác
nhau. Tuy nhiên, lư ng bài t p khơng th đư c đ y đ như mong mu n, l i càng
không th quét h t các d ng có th g p trong các kỳ thi.
Chun đ đã đư c chúng tơi s d ng ñ d y cho các l p chuyên Toán, Tin,
Lý, Hoá c a Trư ng THPT chuyên B c Giang và ñư c dùng ñ luy n thi ð i
h c trong nhi u năm.
Ph n l n ki n th c ñư c s d ng ch là các ki n th c c a chương trình Tốn
b c ph thông (sau khi h c xong ph n hàm s lư ng giác SGK ðS & GT 11).
M t s ki n th c b sung dành cho HSG ñư c trình bày

cu i chuyên ñ .

Trong chuyên ñ này khơng trình bày ph n lý thuy t c a các phương pháp:
Vectơ ; Bi n hình ; To ñ ; Hàm s ; Tâm t c và Tr ng tâm h đi m nhưng có
đưa ra m t s bài t p ñư c gi i b ng các phương pháp đó. Ph n lí thuy t c a các
phương pháp này s đư c trình bày k hơn trong các chuyên ñ khác.
3


Sau ph n m ñ u, chuyên ñ g m các chương:
Chương I. Các d ng toán cơ b n. Trong chương này chúng tơi trình bày
nh ng ki n th c giáo khoa, ñư c s d ng trong các kì thi và phân d ng bài t p
v i các phương pháp gi i tương ng. Chương I ñư c dùng ñ d y trên l p tương
ng v i 9 ti t d y v i ñi u ki n h c sinh đã có tài li u này.
Chương II. Phân lo i bài t p. Trong chương này chúng tơi đưa ra h th ng
bài t p liên quan đ n t ng d ng tốn c th .
Chương II. M t s ki n th c b sung cho h c sinh gi i. Chương này ñư c
ñưa ra như m t ph l c, b sung nh ng ki n th c quan tr ng c a hình h c tam
giác mà thư ng g p trong các kì thi h c sinh gi i. Nh ng ki n th c c a chương
này ch dành cho h c sinh các l p chuyên tốn ho c các h c sinh c a đ i tuy n

thi h c sinh gi i qu c gia tham kh o.
Tài li u tham kh o ñư c cho

trang cu i. Do hi n nay có quá nhi u tài li u

ph c v cho vi c nâng cao trình đ tốn h c cũng như luy n thi nên chúng tơi
ch đưa ra m t s tài li u quan tr ng nh t.
Trong quá trình s d ng chuyên ñ ñ d y h c, sau m i ph n lý thuy t giáo
viên nên ch n l c ra các bài t p t d đ n khó đ trình bày cho h c sinh. Các bài
t p cịn l i đ luy n t p

nhà. Các ñ nh lý ñư c ñưa ra n u khơng có trong SGK

nên đư c ch ng minh ñ y ñ trên l p.
Tuy nhiên, trong chuyên đ khơng th tránh kh i nh ng sai sót nh t ñ nh. R t
mong nh n ñư c s góp ý, b sung c a b n đ c đ có th t o đư c m t tài li u
t t hơn nh m ph c v cho vi c nâng cao trình đ d y và h c toán c a giáo viên
và h c sinh T nh B c Giang.
Các tác gi xin chân thành c m ơn.
B c giang, ngày 28 tháng 03 năm 2010

4


Chương I. Các d ng toán cơ b n
I.1. Các h th c ñư c phép s d ng trong tam giác
(các h th c lo i I)
I.1.1. H th c lư ng trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông ABC, (C = 900). H CH ⊥ AB ; MA = MB (xem Hình 1).
V i các ký hi u quy ư c ta ln có

1. A + B = 900.

A

2. sinA =

M

7.

a
.
c

8. c = 2R.

4. sinB =

b
.
c

9. mc =

c = AB
H

m

a

.
c

3. cosB =

b' = AH
CA
=b

a' = BH

h

6. a2 + b2 = c2.

B

C
a = BC

cosA =

Hình 1
11.a2 = a'c.

b
.
c

1

1
1
= 2+ 2.
h2 a
c

10. S =

1
c = R.
2

1
ab.
2

13. h2 = a'b'.

12.b2 = b'c

(trong đó a' ; b' l n lư t là hình chi u c a các c nh vng a ; b

lên c nh huy n c, còn h ; mc tương ng là ñư ng cao và trung tuy n k t C).
14. tan A =
17. cot B =

a
.
b

a
.
b

20. tan A = cot B.

15.

cot A =

b
.
a

16.

tan B =

18. sinA = cosB.

19. cosA = sinB.

21. cot A = tan B.

b
.
a

22. a ≤ c; b ≤ c

(d u b ng x y ra khi và ch khi tam giác suy bi n thành ño n th ng).
Các h th c t 1 đ n 22 cịn đư c g i là các đi u ki n c n (tính ch t) c a tam
giác ABC vuông t i C.

5


Ngư c l i, n u tam giác ABC tho mãn m t trong các h th c t 1 đ n 13. thì
tam giác ABC vng t i C. Các h th c t 1 đ n 13 đó ñư c g i là các ñi u ki n
ñ (d u hi u), cũng là các ñi u ki n c n và đ đ tam giác ABC vng t i C, hay
là các h th c xác ñ nh d ng vuông c a tam giác. ð ch ng minh tam giác ABC
vuông t i C ta ch c n ch ng minh r ng nó tho mãn m t trong các h th c t 1
ñ n 13.
N u các góc A, B nh n thì các h th c t 14 ñ n 21 cũng là các đi u ki n đ
đ tam giác ABC vng t i C.
Tương t ta cũng có các đi u ki n c n; ñi u ki n ñ ñ tam giác ABC vuông
t i A ho c vuông t i B.

I.1.2. H th c lư ng trong tam giác thư ng
Trong tam giác ABC b t kỳ. V i các ký hi u quy ư c ta ln có
(1)

A + B + C = π và các h qu
• sin(A + B) = sinC
• cos(A + B) = − cosC.
1
2

1
2

1
2

1
2

• sin (A + B) = cos C.
• cos (A + B) = sin C.
• tan (A + B) = − tan C. (C ≠

1
π)
2

↺

• cot (A + B) = − cot C.
• tan

1
1
(A + B) = cot C.
2
2

• cot

1
1

(A + B) = tan C.
2
2

Nhi u h th c trong tam giác có tính ch t hốn v vịng quanh "H th c v n
đúng khi ta hốn v vịng quanh các ký hi u a, b, c (a → b → c → a) ho c A,

6


B, C (A → B → C → A)". ð i v i các h th c như v y, thay vào vi c vi t c
ba h th c, ta ch vi t m t h th c kèm theo kí hi u hốn v vịng quanh: ↺.
Chú ý r ng các ký hi u S; p; r không đ i qua phép hốn v vịng quanh.
(2)

(ð nh lý hàm s sin)

a = 2 R sin A
a
b
c

=
=
= 2 R hay là b = 2 R sin B
sin A sin B sin C
c = 2 R sin C.

(3)

(ð nh lý hàm s cosin) a2 = b2 + c2 − 2bc.cosA.
b2 + c 2 − a2
cosA =
.
2bc

(4)
(5)

↺
↺

Tam giác ABC có
i) góc A nh n khi và ch khi a2 < b2 + c2 ;
ii) góc A vng khi và ch khi a2 = b2 + c2 ;

↺

iii) góc A tù khi và ch khi a2 > b2 + c2.
(6)
(7)

a = bcosC + ccosB
r = (p - a)tan

(9)

1
1
1

A = (p - b)tan B = (p - c)tan C.
2
2
2

ra = ptan

(8)

↺

1
A.
2

↺

Các công th c tính di n tích c a tam giác (xem Chương II. m c 2).

(10) Các tính ch t c a ñư ng trung tuy n trong tam giác (xem Chương II.3).
(11) Các tính ch t c a đư ng cao trong tam giác (xem Chương II.4).
(12) Các tính ch t c a ñư ng phân giác trong tam giác (xem Chương II.5).
(13)

0 < A, B, C < π.

(14)

|b-c|

(15)

p - a > 0 ; p - b > 0 ; p - c > 0.

↺

7


B≥C ⇔ b≥c;

(16)

(B - C)(b - c) ≥ 0 ;

(B - C)(sinB - sinC) ≥ 0 ;

(B - C)(cosB - cosC) ≥ 0 ;

(b - c)(sinB - sinC) ≥ 0 ;

(17)

↺

(b - c)(cosB - cosC) ≥ 0.

ð nh lý v t s di n tích

Cho hai đư ng th ng d và ∆ c t nhau t i O. Trên d l y hai ñi m A ; B ≠ O,

dt (OAB )
OA.OB
=
.
dt (OA ' B ') OA '.OB '

trên ∆ l y hai ñi m A' ; B' ≠ O. Khi đó
(18)

ð nh lý Ceva

(19)

ð nh lý Menelaus (xem Chương III).

(xem Chương III).

(20) x, y, z là ñ dài các c nh c a m t tam giác khi và ch khi
 x > 0; y > 0; z > 0
x + y > z


y + z > x
 z + x > y.

(21)

N u x ≤ y ≤ z thì x, y, z là đ dài các c nh c a m t tam giác khi và ch

khi
x > 0

 x + y > z.
22. N u a + b + c = 0 và trong ba vectơ a , b , c có hai vectơ khơng c ng tuy n
thì t ba đo n th ng có ñ dài là | a |, | b |, | c | có th d ng đư c m t tam giác.
(22) Trong tam giác ñ u c nh a có
a 3
a 3
3a
a2 3
R=
;r=
;p=
;S=
.
2
4
3
6

8


I.1.3. H th c lư ng trong các hình khác
<1> Trong hình vng c nh a, đư ng chéo d, ta có
d =a 2; R=

a 2
a

; r = ; S = a2; p = 2a.
2
2

<2> Trong l c giác ñ u c nh a v i ñư ng chéo d, ta có
a 3
3a 2 3
d = 2a; R = a; R =
;S=
; p = 3a.
2
2

<3> Cho t giác ABCD l i. Khi đó
•

A + B + C + D = 2π.

•

ABCD n i ti p khi và ch khi x y ra m t trong các ñi u ki n sau
i) A + C = π ho c B + D = π ho c A + C = B + D.
ii) PA⋅PD = PB⋅PC

(P là giao ñi m c a AD và BC)

iii) QA⋅QD = QB⋅QC

(Q là giao ñi m c a AB và CD)

iv) MA⋅MC = MB⋅MD

(M là giao ñi m c a AC và BD)

v) AC⋅.BD = AD⋅BC + AB⋅CD (ð nh lý Ptoleme)
• ABCD ngo i ti p khi và ch khi AB + CD = AD + BC.

<4> Trong hình bình hành v i các c nh a, b và các ñư ng chéo m, n. G i α là
góc gi a các c nh và β là góc gi a các đư ng chéo. Khi đó ta có
• m2 + n2 = 2(a2 + b2).
• S = absinα =

<5>

Cho hình ch nh t v i các c nh a, b, ñư ng chéo d. Khi đó ta có
d=

<6>

1
mnsinβ.
2

a2 + b2 ; R =

1
2

a 2 + b 2 ; S = ab.

Cho đư ng trịn C tâm O, bán kính R, ký hi u là C(O ; R). Khi đó, kí hi u

ρ là kho ng cách t O đ n d, ta có
• ðư ng th ng d ti p xúc v i C khi và ch khi ρ = R ;
• ðư ng th ng d khơng có đi m chung v i C khi và ch khi ρ > R ;
9


• ðư ng th ng d c t C (t i hai ñi m A, B) khi và ch khi ρ < R. Khi đó đo n

AB đư c g i là dây và M là trung ñi m AB, ta có
AB = 2 R 2 − ρ 2 = 2 R 2 − OM 2 .
• M là đi m b t kỳ trên m t ph ng ch a đư ng trịn C(O ; R). M t đư ng th ng

d ñi qua M, c t C(O ; R) t i hai đi m A, B (A có th trùng v i B). Khi đó tích
vơ hư ng MA ⋅ MB khơng ph thu c vào v trí c a đư ng th ng d và ta ln
có MA ⋅ MB = MO2 - R2.
Giá tr này ñư c g i là phương tích c a đi m M đ i v i đư ng trịn C và ñư c
ký hi u là ℘(M / C).

I.2. Các phương pháp ch ng minh ñ ng th c trong tam giác.
M t s ñ ng th c thư ng g p (các ñ ng th c lo i II)
I.2.1 Phương pháp bi n ñ i m t v v v kia
Thư ng ta bi n ñ i v ñơn gi n v v ph c t p, v có t ng v v có tích.

Ví d 1.

Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
sinA + sinB + sinC = 4 cos

A
B
C
cos cos .
2
2
2

(1.1)

L i gi i. S d ng các cơng th c góc nhân đơi và t ng thành tích ta đư c
A+B
A-B
C
C
cos
+ 2 sin cos
2
2
2
2
A-B
A+B 
C

= 2  cos
+ cos
 cos
2
2 

2

A
B
C
= 4cos cos cos = VP (1.1) .
⊠
2
2
2

VT (1.1) = 2 sin

Trong dãy l p lu n trên ta ñã s d ng nh n xét do
sin

A+B π C
= − nên
2
2 2

A+B
C
C
A+B
= cos ; sin = cos
.
2
2
2

2
10


Ví d

2.

Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
b2 + c2 - a 2
cot A =
.
4S

(1.2)

L i gi i. Theo đ nh lí hàm s cosin và cơng th c tính di n tích ta có
VP (1.2 ) =

2bc cos A
cos A
=
= cot A = VT (1.2 ) .
1
sinA
4 ⋅ bc sin A
2

⊠

Tính hốn v vịng quanh là hi n nhiên.

Ví d 3.

Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
1
1 1 1
+ + =
ha hb hc r

(1.3)

L i gi i. S d ng các cơng th c tính di n tích
2S = ah a = bh b = ch c = 2 pr = ( a + b + c ) r
ta ñư c

1 a+b+c
a
b
c
1
1
1
=
=
+
+
= + + .
r
2S

ah a bh b ch c h a h b h c

⊠

I.2.2 Phương pháp bi n ñ i h qu
T các ñ ng th c lo i I ho c các ñ ng th c lo i II (ñã ñư c ch ng minh trư c
đó), s d ng các phép bi n ñ i h qu ñ suy ra ñ ng th c ph i ch ng minh.

Ví d 4.

Ch ng minh r ng trong tam giác không vuông ABC ta ln có
tanA + tanB + tanC = tan Atan BtanC.

(1.4)

L i gi i. Ta có dãy bi n đ i sau
A+B+C= π ⇒

tan(A + B) = tan(π - C) = - tanC

⇒

tanA + tanB
= - tanC
1- tanA ⋅ tanB
tanA + tanB = - tanC + tanA ⋅ tanB ⋅ tanC

⇒

tanA + tanB + tanC = tanA ⋅ tanB ⋅ tanC. ⊠

⇒

Trong dãy l p lu n trên ta ñã s d ng nh n xét do tam giác không vuông nên
A+B≠

π
,
2

suy ra 1 − tan A tan B ≠ 0.
11


Ví d

5.

Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
cotA ⋅ cotB + cotB ⋅ cotC + cotC ⋅ cotA = 1.

(1.5)

L i gi i. N u tam giác ABC vuông, ch ng h n t i A thì cot A = 0 và
B+C=

π
⇒ cot C = tan B ⇒ cot B×cot C = cotB×tan B = 1.
2

T đó có đi u ph i ch ng minh.
N u tam giác ABC khơng vng thì t

(1.4) ta có

1
1
1
1
+
+
=
cotA cotB cotC
cotA ⋅ cotB ⋅ cotC
⇒ cotA ⋅ cotB + cotB ⋅ cotC + cotC ⋅ cotA = 1.

Ví d

6.

⊠

Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
tan

A
=
2

L i gi i. T các cơng th c S =

tan

A
=
2

(p-b)(p-c)
.
p(p-a)

↺

p(p-a)(p-b)(p-c)

; S = p(p-a)tan

p(p-a)(p-b)(p-c)
=
p(p-a)

(1.6)
A
ta đư c
2

(p-b)(p-c)
.
p(p-a)

⊠

Tính hốn v vịng quanh c a cơng th c là hi n nhiên.

Ví d

7.

Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
sin

L i gi i. M t m t ta có

M t khác,

A
(p-b)(p-c)
=
.
2
bc
sin

A
1- cos A
=
.
2
2

(i)

↺

b2 + c2 - a 2
a 2 - (b-c)2
2(p-b)(p-c)
1 - cosA = 1 =
=
2bc
2bc
bc

12

(1.7)

↺

↺

(ii)


Thay (ii) vào (i) ta ñư c ñi u ph i ch ng minh. Hi n nhiên công th c có tính
hốn v vịng quanh.

VÝ dơ 8.

Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
ra = 4Rsin

A
B
C
cos cos .
2
2
2
ra = p tan

L i gi i. M t m t, ta có

(1.8)

↺

A
.
2

(*)

M t khác, theo đ nh lí hàm s sin, cơng th c tính p và ví d 1, ta có
p=

a+b+c 1
A
B
C
= (2RsinA + 2RsinB + 2RsinC) = 4R ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos . (**)

2
2
2
2
2

T (*) và (**) thu ñư c ñi u ph i ch ng minh. Tính hốn v vịng quanh là hi n
nhiên.

I.2.3. Phương pháp s d ng hình v
V hình, áp d ng các h th c lư ng trong các tam giác b ph n c a hình v ñ
thu ñư c ñ ng th c c n ch ng minh.

Ví d

9.

Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
2bc ⋅ cos
la =

b+c

A
2.

L i gi i. Trên Hình 2

bên ta có

S(ABC) = S(ABD) + S(ADC).

A
A

T đó có

A

2

B

(1.9)

↺

2

D

Hình 2

C

1
1
A 1
A
bcsinA = bl asin + clasin

2
2
2
2
2
A
A
A
⇒ 2bcsin cos
= (b + c)la sin
2
2
2
A
2bccos
2 , (do sin A ≠ 0).
⇒ la =
b+c
2

ðó là đi u ph i ch ng minh. Tính hốn v vịng quanh là hi n nhiên.
13


Ví d

10.

Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
B

C

a = r  cot + cot  .
2
2


(1.10)

↺

L i gi i. Trên Hình 3 sau ñây ta có

A

a = BC = BK + KC
B
C
= r cot + r cot
2
2
B
C

= r  cot + cot  .
2
2


I

B

K

C

⊠

Hình 3.

Tính hốn v vịng quanh là hi n nhiên.

I.2.4. Các phương pháp khác
I.2.4.1 S d ng vectơ
Ví d 11.

Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
b 2 + c2
c2
m =
.
2
4
2
a

(1.11)

↺

L i gi i. G i M là trung ñi m c a BC, khi đó ma = AM. Ta có
2

 AB + AC 
2
m a = AM 2 = AM = 

2


2
2
2
1
= 2 AB + AC − AB − AC 

4


2

)

(

2

2

AB + AC BC
=
2
4

(

2

=

)

b 2 + c2 c2
- .
2
4

Tính hốn v vịng quanh là hi n nhiên.

14

⊠


Ví d

12.

Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có

la =

2 bcp(p-a)
.
b+c

(1.12)

↺

L i gi i. G i D là chân ñư ng phân giác trong c a góc A, khi đó la = AD.
Theo cơng th c (16) ta có
bDB + cDC = 0 ⇒ AD =

bAB + cAC
.
b+c

(1.12.1)

K t h p v i ñ ng th c
2

2

(

)

2

2

2

2ABAC = AB + AC - AC - AB = AB + AC - BC

2

ta ñư c
 bAB+ cAC 
l = AD = 

b+c



2

2

2

2
a

=

⇒ la =

=

2

2

2

2

b2 AB + c2 AC + bc(AB + AC - BC )

( b + c)

2

b 2c2 +c2 b 2 +bc(b 2 +c2 -a 2 )
bc((b + c)2 - a 2 ) 4bcp(p-a)
=
=
(b + c)2
(b + c)2
(b + c)2
2 bcp(p-a)
.
b+c

⊠

Tính hốn v vịng quanh là hi n nhiên.

4.2.4.2
Ví d

S d ng ð nh lý Viète

13

1. Ch ng minh r ng r_a là nghi m c a phương trình.
(x 2 + p 2 )(x - r) = 4Rx 2 .

(1.13)

2. T đó hãy suy ra

(i)

ra + rb + rc = r + 4R.

(iii)

ra rb rc = rp 2 .

(vi)

(ii)

1 1 1
1
+ +

= ⋅
ra rb rc
r

(iv)

S=

rra rb rc .
(vii)

15

ra rb + rb rc + rc ra = p 2 .
(v)

R ≥ 2r.

ra2 +rb2 +rc2 ≥ p 2 .


L i gi i. 1. Ta có
A
A
A


(ra2 + p 2 )(ra - r) =  p 2 tan 2 + p 2  ptan - (p - a)tan 
2
2

2


A 
A

= p 2  1+ tan 2  2RsinAtan 
2 
2

1
A
A
A
= p2
4R sin cos tan
A
2
2
2
cos2
2
2

A

= 4R  ptan  = 4Rra2 .
2

T đó suy ra đi u ph i ch ng minh.

2. Tương t ta ch ng minh ñư c rb, rc là nghi m c a phương trình (1.13).
Vi t l i phương trình (1.13) dư i d ng

x 3 - (r + 4R)x 2 + p 2x - rp 2 = 0

(1.14)

Theo đ nh lí Viète cho phương trình (1.14) ta có ngay
(i)

ra + rb + rc = r + 4R.

(ii)

ra rb + rb rc + rc ra = p 2 .

(iii)

ra rb rc = rp 2 .

T (iii) ta có S 2 = r 2 p 2 = rra rb rc ⇒ S =

rra rb rc và (iv) ñã ñư c ch ng minh.

Chia v v i v c a (ii) và (iii) ta ñư c

1 1 1 1
+ + = .
ra rb rc r

(vi)

T (i) và (v) ta có

1 1 1
1
4R
(ra +rb +rc )  + +  = (r+4R) = 1+
,
r
r
 ra rb rc 

(*)

Mà theo b t ñ ng th c AM - GM ta có

1 1 1
(ra +rb +rc )  + +  ≥ 3
 ra ra ra 

3

16

ra rb rc ⋅ 3

3

1

= 9.
ra rb rc

(**)


T (*) và (**) suy ra 1 +

4R
≥ 9 , hay là R ≥ 2r. ðó chính là (v).
r

ð ch ng minh (vii) ta ñ ý r ng

(

)

(

2 ra2 + rb2 + rc2 - p 2 = 2 ra2 + rb2 + rc2 - ra rb + rb rc + rc ra

)

= (ra - rb )2 + (rb - rc )2 + (rc - ra )2 ≥ 0.

T đó suy ra

ra2 +rb2 +rc2 ≥ p 2 . ⊠

I.2.5 Bài t p rèn luy n
Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
1
2

1
2

1
2

1.

cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin Asin Bsin C.

2.

sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC.

3.

cos2A + cos2B + cos2C = - 1 − 4cosAcosBcosC.

4.

tan

1
1
1

1
1
1
A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1.
2
2
2
2
2
2

5.

cot

1
1
1
1
1
1
A + cot B + cot C = cot A cot B cot C.
2
2
2
2
2
2

6.

sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC.

7.

cos2A + cos2B + cos2C = 1 − 2cosAcosBcosC.
(p − b)(p − c)
.
bc

1
2

8.

sin A =

9.

p = 4Rcos Acos Bcos C.

10.

r = 4Rsin Asin Bsin C.

11.

12.

1

2

1
2

la =

1
2

1
2

↺

1
2

1
2

ha
.
B −C
cos
2

↺

i) Ch ng minh r ng a, b, c là các nghi m c a phương trình

x3 - 2px2 + (p2 + r2 + 4Rr)x - 4pRr = 0.
17


ii) T đó hãy suy ra
•

ab + bc + ca = p2 + r2 + 4rR.

•

abc = 4pRr.

1 1 1 1 p2 + r2
•
.
+ + = +
a b c p 4 pRr
•

1
1
1
1
+
+ =
.
ab bc ca 2 Rr

I.3. Các phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c trong tam

giác. M t s b t ñ ng th c thư ng g p trong tam giác (các b t
ñ ng th c lo i II)
I.3.1. Phương pháp ñánh giá
Trong phương pháp này ta s d ng các bi n ñ i lư ng giác ; các ñ ng th c
trong tam giác ; các ñánh giá lư ng giác ; các b t ñ ng th c ñ i s v. v. ñ thu
ñư c b t ñ ng th c c n ch ng minh.

VÝ dô 14.
Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
cosA + cosB + cosC > 1.

(1.15)

L i gi i. Theo k t qu c a bài t p 1 ta có
cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin

A
B
C
sin sin .
2
2
2

(1.15.1)

Do 0 0<
T ñó có
T

A B C
π
A
B
C
, ,
< , suy ra 4sin sin sin > 0 .
2 2 2
2
2
2
2
1 + 4sin

A
B
C
sin sin > 1.
2
2
2

(1.15.1) và (1.15.2) suy ra cos A + cos B + cos C > 1.
18

(1.15.2)
⊠

VÝ dô 15. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
tan 2

A
B
C
+ tan 2 + tan 2
≥ 1.
2
2
2

(1.16)

L i gi i. Theo k t qu c a bài t p 2 ta có
tan

A
B
B
C
C
A
tan + tan tan + tan tan = 1.
2
2
2
2
2
2

(1.16.1)

Theo b t ñ ng th c Bunhiacopxki ta có
tan 2

A
B
C
A
B
B
C
C
A
+ tan 2 + tan 2
≥ tan tan + tan tan + tan tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2

T hai b t ñ ng th c cu i suy ra
tan 2

A
B
C
+ tan 2 + tan 2
≥ 1.
2
2
2

⊠

Chú ý. T các b t ñ ng th c này ta thu ñư c các b t ñ ng th c khác, ch ng h n
1) Nhân hai v c a (1.16) v i p2, nh r ng ra = p tan

A
ta ñư c
2

ra2 + rb2 + rc2 ≥ p 2 .

(1.16.2)

2) Nhân hai v c a (1.16.1) v i 2, c ng t ng v ñ ng th c thu ñư c v i
b t ñ ng th c (1.16) r i khai căn b c hai hai v ta ñư c
tan

A
B
C
+ tan + tan

≥
2
2
2

3.

(1.16.3)

3) Nhân hai v c a ( 1.16.3) v i p ta ñư c
ra + rb + rc ≥ p 3.

(1.16.4)

VÝ dô 16.
1. Ch ng minh r ng v i m i x, y, z ∈ [0 ; π] ta ln có
sinx + siny
x+y
≤ sin
2
2
sinx + siny + sinz
x+y+z
(ii)
≤ sin
3
3
(i)

19

(1.17.1)
(1.17.2)


2. T đó hãy ch ng minh trong m i tam giác ABC ta ln có
sin A + sin B + sin C ≤

L i gi i. i) Ta có x, y ∈ [0; π] nên
m i x, y∈ R ta ln có cos

3 3
.
2

(1.17.3)

x+y
x+y
∈ [ 0; π] suy ra sin
≥ 0 , còn v i
2
2

x-y
≤ 1 nên
2

sinx + siny
x+y

x-y
x+y
= sin
≤ sin
cos
.
2
2
2
2

⊠

ii) Áp d ng liên ti p (1.17.1) ta ñư c
sinx + siny ≤ 2sin

x+y
2

(1.17.i)

x+y+z
x+y+z
3 = 2sin x+y+4z
sinz + sin
≤ 2 sin
3
2
6
x+y x+y+4z

+
x+y+z
x+y
x+y+4z
6
≤ 4sin 2
= 4sin
2sin
+ 2sin
2
6
2
3
z+

(1.17.ii)

(1.17.iii)

C ng t ng v ( 1.17.i) v i ( 1.17.ii) và s d ng (1.17.iii) ta ñư c
sinx + siny + sinz + sin

x+y+z
x+y+z
≤ 4sin
.
3
3

T đó d dàng thu đư c (1.17.2).

1. Áp d ng (1.17.2) v i x = A, y = B, z = C ñ u thu c ño n [0; π] ta ñư c
sinA + sinB + sinC ≤ 3 sin

A+B+C
π 3 3
= 3sin =
.
3
3
2

I.3.2. Phương pháp bi n ñ i h qu
a) N i dung phương pháp
S d ng
• Các đ ng th c trong tam giác (lo i I ho c lo i II) ;
20

⊠


• Các b t ñ ng th c trong tam giác (lo i I ho c lo i II) ;
• Các ñ ng th c ho c b t ñ ng th c đã cho trong gi thi t ;
• Các b t ñ ng th c ñ i s ;
• Các phép bi n đ i h qu c a b t ñ ng th c
ñ thu ñư c b t ñ ng th c c n ch ng minh.
ð c bi t chú ý ñ n phép th :
N u h th c f(x ; y ; z ; ...) ℜ 0 ñúng v i m i b s (x ; y ; z ; ...) ∈ (*) và b
s (a ; b ; c ; ...) ∈ (*) thì ta cũng có f(a ; b ; c ; ...) ℜ 0.

b) Ví d

VÝ dơ 17.

Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta luôn có
cosA + cosB + cosC ≤

3
.
2

(1.17)

L i gi i. ð t k = VT(1.17), ta có
k = 2cos

A+B
A-B
C
C
A−B
C
+ 1 − 2 sin 2 ⇒ 2 sin 2 − 2 cos
cos
sin − 1 + k = 0 .
2
2
2
2
2
2

Như v y, phương trình 2t 2 − 2t cos

A−B
C

+ k − 1 = 0 có nghi m  t = sin  . Do
2
2


đó, bi t th c thu g n ∆' ph i không âm, hay là
cos2

A−B
− 2 ( k − 1) ≥ 0 ⇒ k ≤
2

cos2

A−B
+2 3
2
≤ .
2
2

⊠

VÝ dô 18. Chøng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có
1

cosAcosBcosC ≤ .
8

(1.18)

L i gi i. N u tam giác ABC khơng nh n thì trong ba giá tr cosA, cosB, cosC
có m t giá tr khơng dương, hai giá tr còn l i dương nên VT(1.18) ≤ 0, còn
VP(1.18) > 0 nên (1.18) đúng và khơng x y ra d u b ng.
N u tam giác ABC nh n thì cosA, cosB, cosC cùng dương nên áp
d ng b t ñ ng th c AM − GM và (1.17.3) ta ñư c
21


3

3
3
 cosA+cosB+cosC   2  1
cosAcosBcosC ≤ 
 ≤  = .
3

 3 8
 

⊠

VÝ dô 19. Chøng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có
sin

A
B
C 1
sin sin ≤ .
2
2
2 8

(1.19)

L i gi i 1. Ta ñã ch ng minh ñư c b t ñ ng th c (1.18) ñúng v i m i b A, B,
C là ba góc c a m t tam giác, mà n u A, B, C là b ba góc c a m t tam giác thì
b

A+B B+C C+A
,
,
cũng là b ba góc c a m t tam giác (ba góc dương, có
2
2
2

t ng b ng π) nên b t đ ng th c (1.18) cũng ñúng v i b ba góc đó, t c là
cos

A+B
B+C
C+A 1
A
B

C 1
cos
cos
≤ ⇒ sin sin sin ≤ .
2
2
2
8
2
2
2 8

⊠

L i gi i 2.
T b t ñ ng th c (1.17) và ñ ng th c

bài t p 1 ta ñư c

3
A
B
C
A
B
C 1
≥ cosA+cosB+cosC=1+4sin sin sin ⇒ sin sin sin ≤ .
2
2
2

2
2
2
2 8

⊠

VÝ dô 20. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
π aA+bB+cC π
≤
<
3
2
a+b+c

L i gi i.

(1.20)

T b t ñ ng th c (16) ta có

( A − B )( a − b ) ≥ 0 ⇒ aB + bA ≤ aA+bB.
Tương t có bC + cB ≤ bB + cC ; cA + aC ≤ cC + aA. C ng t ng v ba b t ñ ng
th c cu i, thêm vào c hai v c a b t ñ ng th c thu ñư c cùng m t s h ng
aA + bB + cC và nhóm l i ta đư c
3 ( aA+bB+cC ) ≥ ( a + b + c )( A + B + C ) = ( a + b + c ) π ⇒

22

aA+bB+cC π

≥ . (i)
a+b+c
3


T b t ñ ng th c a < b + c và do A > 0 suy ra aA < bA + cA. Tương t
ta có bB < aB + cB ; cC < aC + bC. Làm tương t trên ta ñư c
2 ( aA+bB+cC ) < ( a + b + c )( A + B + C ) = ( a + b + c ) π ⇒

aA+bB+cC π
< .
a+b+c
2

(ii)

T (i) và (ii) ta thu ñư c đi u ph i ch ng minh.

VÝ dơ 21. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) ≤ abc.

(1.21)

L i gi i. Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy cho các c p hai trong ba s dương
a + b − c, b + c − a, c + a − b ta có
a +b−c+b+c−a

0< ( a + b - c )( b + c − a ) ≤
=b


2

b+c−a +a +c−b

=c
0< ( b + c − a )( a + c − b ) ≤
2

a+c−b+a +b−c

=a
0< ( a + c - b )( a + b - c ) ≤
2

⊠
⇒ ( a + b − c )( b + c − a )( c + a − b ) ≤ abc.

I.3.3. Phương pháp s d ng vectơ
a) N i dung phương pháp
S d ng các b t ñ ng th c đ i v i vectơ
2

•

a ≥ 0 ∀a ; ( =: a = 0) .

•

a + b ≥ a+b

∀a, b (=: a ↑↑ b) v.v.

ñ thu ñư c b t ñ ng th c c n ch ng minh.

b) Thí d
VÝ dơ 22. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta ln có
a 2 + b 2 + c2 ≤ 9R 2 .

L i gi i.

(1.22)

T ñ ng th c vectơ OG = OA + OB + OC (O là tâm ñư ng trịn

ngo i ti p tam giác), ta có

23


2

(

OG 2 = OG = OA + OB + OC
2

2

)

2

2

= OA + OB + OC + 2OA ⋅ OB + 2OB⋅OC + 2OC ⋅ OA

)(
(
− ( OC − 2OC⋅OA + OA )
2

2

2

2

(

) (

) (

)



(

).

= 9R 2 −  OA − OB + OB − OC + OC − OA


2
2
2
= 9R 2 −  AB + BC + CA  = 9R 2 − a 2 + b 2 + c2




2

2

)

2

= 9R 2 − OA − 2OA ⋅OB + OB − OB − 2OB ⋅ OC + OC

2

2

Mà OG 2 ≥ 0 suy ra a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2 . ðó là đi u ph i ch ng minh.
D u b ng x y ra khi và ch khi O ≡ G, hay là tam giác ABC đ u.

VÝ dơ 23. Ch ng minh r ng v i m i x, y, z > 0 và A, B, C là ba góc c a m t

x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2yzcosA + 2zxcosB + 2xycosC ,

tam giác thì

(1.23)

(=: x, y, z là ñ dài ba c nh c a m t tam giác ñ ng d ng v i tam giác ABC).

L i gi i. ð t các vec tơ ñơn v u,v,w như trên Hình 4
B

( u;v ) = π − C suy ra

Ta có
v

( )

cos u;v = cos ( π -C ) = −cosC.

w
A

<

Tương t , có

u

C

( )

( )

cos v;w = cosB ; cos w;u = cosA.

Hình 4

( yu + xv + zw )

T b t ñ ng th c hi n nhiên
2

2

2

≥0

ta có

2

x 2 v + y 2 u + z 2 w + 2xyvu + 2yzuw + 2zxwv ≥ 0
2

2

( )

( )
− 2zx | v || w | cos( v;w )

2

⇒ x 2 v + y 2 u + z 2 w ≥ − 2xy | v || u | cos u;v − 2yz | u || w | cos u;w

24