Bài tập kinh tế lượng Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội

Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
Bài tập kinh tế lượng chương II & III
Giả sử có số liệu về năng suất (tạ/ha) của một loại cây trồng và mức phân
bón (tạ/ha) cho loại cây này tính trên một ha trong 10 năm từ 1988-1997 như
sau:
Năm 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
X
i
6 10 12 14 16 18 22 24 26 32
Y
i
40 44 46 48 52 58 60 68 74 80
Dạng 1: Vẽ đường hồi quy mẫu hay dạng ước lượng
µ µ
1 2
àv
β β
:
- Hàm hồi quy mẫu có dạng:
µ
µ µ
1 2
i
i
Y X
β β
= +
- Bây giờ ta sẽ tìm các
µ
β
qua bảng tính Exell:

X
i
Y
i
x
i
y
i
2
i
x
2
i
y
x
i
y
i
µ
i
Y
e
i
2
i
e
2
i
X
6 40 -12 -17 144 289 204 37.0

8
2.92
8.5264
36
10 44 -8 -13 64 169 104 43.72 0.28
0.0784
100
12 46 -6 -11 36 121 66 47.0
4
-1.04
1.0816
144
14 48 -4 -9 16 81 36 50.3
6
-2.36
5.5696
196
16 52 -2 -5 4 25 10 53.6
8
-1.68
2.8224
256
18 58 0 1 0 1 0 57 1
1
324
22 60 4 3 16 9 12 63.64 -3.64
13.2496
484
24 68 6 11 36 121 66 66.96 1.04
1.0816

576
26 74 8 17 64 289 136 70.2
8
3.72
13.8384
676
32 80 14 23 196 529 322 80.2
4
-0.24
0.0576
1024
180 570 0 0 576 1634 956 570 0 47.305
6
3816
Lê Kha
K45B TC-NH
1
Tổng các phần dư bằng
không (xem lại tính chất
3c của hàm SRF)
1
( ) 0
n
i
i
X X
=
− =
∑
1

( ) 0
n
i
i
Y Y
=
− =
∑
Tức là tổng các sai lệch bằng không (xem cách
chứng minh ở tập soạn xác suất trang …)
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
Từ bảng tính ta có:
10
1
1 180
18
10 10
i
i
X X
=
= = =
∑
10
1
1 570
57
10 10
i
i

Y Y
=
= = =
∑
µ
1
2
2
1
956
1.66
576
n
i i
i
n
i
i
x y
x
β
=
=
= = =
∑
∑
µ µ
1 2
57 1.66*18 27.12Y X
β β

= − = − =
Vậy đường hồi quy mẫu:
µ
27,12 1,66
i
i
Y X= +
Dạng 2: Nêu ý nghĩa của
µ µ
1 2
àv
β β
:
- Theo lý thuyết, khi tăng lượng phân bón cho một ha thì năng suất cây trồng
sẽ tăng.
µ
2
β
=1,66>0, kết quả này phù hợp với thực tế. Con số 1,66 cho chúng
ta biết rằng nếu ta tăng thêm một tạ phân bón/ha thì sản lượng sẽ gia tăng
1,66 tạ/ha.
µ
1
β
=27,12 có nghĩa là khi không bón phân (X=0) thì năng suất
trung bình của loại cây trên là 27,12 tạ/ha.
Dạng 3: Tính var(
µ
1
β

) và var(
µ
2
β
); se(
µ
1
β
) và se(
µ
2
β
):
- Các hệ số
µ µ
1 2
àv
β β
chỉ là các ước lượng điểm và trong thực tế không xảy ra
sự biến động chính xác như thế. Và để kết luận các hệ số đó nằm trong
khoản giá trị nào? Và để thực hiện các kiểm định các giả thiết liên quan đến
chúng thì phải biết được độ lệch chuẩn của các
µ
β
:
Ta có phương sai của
µ
1
β
được cho bởi công thức sau:

Var(
µ
1
β
)=
2
2
1
2
1
.
.
n
i
i
n
i
i
X
n x
σ
=
=
∑
∑
Var(
µ
2
β
)=

2
2
1
n
i
i
x
σ
=
∑
Trong đó,
2
σ
chưa biết ta sẽ sử dụng ước lượng không chệch của nó là:
µ
2
2
1
2
n
i
i
e
n
σ
=
=
−
∑
=

47,3056
8
=5,9132 
µ
σ
=2,432. Thay
µ
2
σ
vào biểu thức trên và
lấy căn bậc 2 ta có độ lệch chuẩn tương ứng:
Se(
µ
1
β
)=
3826
10*576
.2,432=1,98 Se(
µ
2
β
)=
1
576
.2,432=0,101
Dạng 4: Tính hệ số R
2
và nêu ý nghĩa của nó:
Lê Kha

K45B TC-NH
2
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
 Tính R
2
: Ta có RSS=
10
2
1
i
i
e
=
∑
=47,3056 TSS=
10
2
1
i
i
y
=
∑
=1634
R
2
=
( )
ES 47,3056
1 1

1634
TSS RSS
S RSS
TSS TSS TSS
−
= = − = −
=0,971
Ý nghĩa: Như vậy lượng phân bón giải thích xấp xỉ 97% sự biến thiên của năng suất.
Dạng 5: Ước lượng các hệ số
1 2
,
β β
và nêu ý nghĩa của nó:
- Dạng 5a: Khoảng tin cậy 95% cho hệ số hồi quy
1
β
:
+ Khoảng tin cậy đối xứng của
1
β
là:
µ µ
( )
2
1 1
2
.
n
t se
α

β β
−
−
<
1
β
<
µ µ
( )
2
1 1
2
.
n
se t
α
β β
−
+
Với:
µ
1
β
=27.12
2
2
n
t
α
−

=
10 2
0.05
2
t
−
=2,306 Se(
µ
1
β
) =1,98
Thế vào ta được:
22,55<
1
β
< 31,69
Ý nghĩa: Khi không có phân bón thì năng suất trung bình vẫn có thể đạt
được trong khoảng (22,55; 31,69)
+ Khoảng tin cậy bên phải của
1
β
là:
µ µ
( )
2
1 1
.
n
se t
α

β β
−
−
<
1
β
<
+∞
Với:
2n
t
α
−
=
10 2
0.05
t
−
=1.860
Thế vào ta được:
23,4372 <
1
β
<
+∞
Ý nghĩa: Khi không có phân bón thì năng suất trung bình đạt được ít
nhất là 23,4372 tạ/ha (không tính nhiều nhất)
+ Khoảng tin cậy bên trái của
1
β

là:
− ∞
<
1
β
<
µ µ
( )
2
1 1
.
n
se t
α
β β
−
+
Thế vào ta được:
− ∞
<
1
β
< 30,8028
Ý nghĩa: Khi không có phân bón thì năng suất trung bình đạt được lớn
nhất là 30,8028 tạ/ha (không tính ít nhất)
- Dạng 5b: Khoảng tin cậy 95% cho hệ số hồi quy
2
β
:
+ Khoảng tin cậy đối xứng của

2
β
là:
µ µ
( )
2
2 2
2
.
n
t se
α
β β
−
−
<
2
β
<
µ µ
( )
2
2 2
2
.
n
se t
α
β β
−

+
Với:
µ
2
β
=1,66
2
2
n
t
α
−
=
10 2
0.05
2
t
−
=2,306 Se(
µ
2
β
) =0,101
Thế vào ta được:
1,427<
2
β
< 1,89
Lê Kha
K45B TC-NH

3
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
Ý nghĩa: Khi phân bón tăng lên 1tạ/ha thì năng suất trung bình tăng lên
trong khoảng (1,427; 1,89)
+ Khoảng tin cậy bên phải của
2
β
là:
µ µ
( )
2
2 2
.
n
se t
α
β β
−
−
<
2
β
<
+∞
Với:
2n
t
α
−
=

10 2
0.05
t
−
=1.860
Thế vào ta được:
1,472 <
2
β
<
+∞
Ý nghĩa: Khi phân bón tăng lên 1tạ/ha thì năng suất trung bình tăng lên
ít nhất là 1,472 tạ/ha (không tính nhiều nhất)
+ Khoảng tin cậy bên trái của
2
β
là:
− ∞
<
2
β
<
µ µ
( )
2
2 2
.
n
se t
α

β β
−
+
Thế vào ta được:
− ∞
<
2
β
< 1,847
Ý nghĩa: Khi phân bón tăng lên 1 tạ/ha thì năng suất trung bình tăng lên
nhiều nhất là 1,847 tạ/ha (không tính ít nhất)
Dạng 6: Kiểm định các hệ số hồi quy
1 2
,
β β
và nêu ý nghĩa của nó:
Câu hỏi: Mức phân bón/ha có ảnh hưởng đến năng suất của loại cây trên
không? (Chú ý cụm từ “có ảnh hưởng”)
Muốn biết mức phân bón/ha có ảnh hưởng đến năng suất không ta tiến
hành kiểm định cặp giả thiết sau:
H
0
:
2
β
=0
H
1
:
2

β
≠0
µ
µ
2
2
2
( )
qs
t
se
β β
β
∗
−
=
=
1,66 0
16,43
0.101
−
=
Với mức ý nghĩa 5%, ta có
8
0.025
t
=2,306.
qs
t
=16,43>

8
0.025
t
, nên giả thiết
H
0
bị bác bỏ. Điều này có nghĩa là lượng phân bón/ha có ảnh hưởng đến
năng suất.
Lưu ý: Đối với dạng kiểm định này còn nhiều dạng nữa, trên đây chỉ là một
trường hợp nhỏ trong số đó.
Dạng 7: Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi quy:
H
0
: R
2
=0 (biến X không ảnh hưởng đến Y)
H
1
: R
2
≠0 (biến X giải thích được biến động của Y)
Lê Kha
K45B TC-NH
4
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
2
2
2 1
1
2

qs
R
F
R
n
−
=
−
−
=
0.971 10 2
. 267,86
1 0.971 2 1
−
=
− −
Với mức ý nghĩa 5%, ta có
0.05
(1,8)F
=5,32
F
qs
>
(1, 2)F n
α
−
cho nên bác bỏ giả thiết H
0
với mức ý nghĩa
α

. Vậy
biến phân bón/ha giải thích được sự biến động của biến năng suất. Hay độ
phù hợp của hàm hồi quy là 97,1%.
Dạng 8: Dự báo giá trị trung bình:
Câu hỏi: Dự báo giá trị trung bình khi mức phân bón là X
0
=20 tạ/ha
Phương sai của giá trị trung bình:
Var(
µ
0
Y
)=
2
2
0
2
1
( )
1
.
n
i
i
X X
n
x
σ
=
 

 
−
 
+
 
 
 
∑
=
2
0
2
1
( )
1
n
i
i
X X
n
x
=
 
 
−
 
+
 
 
 

∑
.
2
1
2
n
i
i
e
n
=
−
∑
=
2
1 (20 18) 47,3
.
10 576 10 2
 
−
+
 ÷
−
 
=0,632
se(
µ
0
Y
)=0,795

Ước lượng điểm của năng suất khi mức phân bón ở mức 20 tạ/ha:
µ
0
Y
=
µ µ
1 2
0
.X
β β
+
=27,12 + 1,66.20= 60,32
Khoảng tin cậy 95% cho mức sản lượng trung bình là:
µ µ µ µ
2 2
0 0 0 0
2 2
0
( ). ( ) ( ).
20
n n
Y
Y se Y t E Y se Y t
X
α α
− −
− < < +
=
60,32 – 0,795.2,306 <
0

( )
20
Y
E
X =
< 60,32 + 0,795.2,306
58,486 <
0
( )
20
Y
E
X =
< 62,153
Dạng 9: Dự báo giá trị cá biệt:
Câu hỏi: Dự báo giá trị cá biệt khi mức phân bón là X
0
=20 tạ/ha.
Phương sai của giá trị cá biệt:
Var(Y
0
)=
2
2 2
2
0 0 1
2 2
1 1
( ) ( )
1 1

1 . 1 .
2
n
i
i
n n
i i
i i
e
X X X X
n n n
x x
σ
=
= =
   
 ÷  ÷
− −
 ÷  ÷
+ + = + +
−
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
∑
∑ ∑
=6,54558
se(Y
0
)=2,558

Ước lượng điểm của năng suất khi mức phân bón ở mức 20 tạ/ha:
µ
0
Y
=
µ µ
1 2
0
.X
β β
+
=27,12 + 1,66.20= 60,32
Khoảng tin cậy 95% cho mức sản lượng cá biệt là:
µ µ
2 2
0 0
0 0 0
2 2
( ). ( ).
n n
Y se Y t Y Y se Y t
α α
− −
− < < +
Lê Kha
K45B TC-NH
5
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
60,32 – 2,558.2,306 < Y
0

< 60,32 + 2,558.2,306
54,421 < Y
0
< 66,218
Phần hai: Bài tập tổng hợp chương II
Câu 1: Nghiên cứu mối quan hệ giữa sản lượng sản phẩm và các yếu tố đầu
vào của quá trình sản xuất ở một số doanh nghiệp. Lúc đầu người ta nghiên
cứu chú trọng vào quản lý nguồn nhân lực nên đưa ra mô hình sau, với S là
sản lượng, L là lao động (người). Cho mức ý nghĩa là 5%.
Dependent Variable: S
Method: Least Squares
Date: 11/11/05 Time: 23:21
Sample: 1 20
Included observations: 20
Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob
C 34.4438 29.0219 1.1868 0.251
L 19.2371 6.8786 2.7967 0.012
R-squared 0.30290 Mean dependent var 1094.666
Adjusted R-squared 0.26417 S.D. dependent var 57.7367
S.E. of regression 49.5267 Akaike info criterion
Sum squared resid 44152.1 Schwarz criterion
Log likelihood F-statistic 7.8213
Durbin-Watson stat 0.7151 Prob(F-statistic) 0.000
Giải thích một số thuật ngữ tiếng anh:
Dependent Variable: biến phụ thuộc
R-squared: R
2
Sum squared resid: tổng đã được bình phương của các phần dư
2
1

n
i
i
e
=
∑
S.E. of regression: độ lệch chuẩn của mẫu
µ
σ
=
2
1
2
n
i
i
e
n
=
−
∑
Coefficient: Hệ số (
µ µ
1 2
,
β β
),
µ
1
β

=34.4438,
µ
2
β
=19.2371
Std.Error: Sai số chuẩn, tương đương với các se(
µ
1
β
)=29.0219, se(
µ
2
β
)=6.8786
Lê Kha
K45B TC-NH
6
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
t-Statistic: thống kê t
Prob: giá trị xác suất
Included observations: số quan sát n
Variable: biến
S.D. dependent var: độ lệch chuẩn của biến phụ thuộc =
2
1
1 1
n
i
i
y

TSS
n n
=
=
− −
∑
TSS=(n-1).(S.D)
2
Mean dependent var: giá trị trung bình của biến phụ thuộc
Y
a/ Viết hàm hồi quy mẫu, nêu ý nghĩa của các hệ số trong mô hình:
Hàm hồi quy mẫu:
$
i
S
= 34.4438 + 19.2371.L
i
Ý nghĩa của các hệ số:
µ
1
β
=34.4438 có nghĩa là khi không có lao động thì sản lượng trung bình
của doanh nghiệp là 34.4438 đơn vị (đây chi là một mẫu ngẫu nhiên).
µ
2
β
=19.2371 >0 có nghĩa là khi tăng lao động thì sản lượng lao động cũng tăng.
Nếu tăng thêm một lao động thì sản lượng tăng thêm 19,2371 đơn vị.

b/ Lao động có ảnh hưởng đến sản lượng không?

Ta kiểm định cặp giả thiết sau:
H
0
:
2
β
=0
H
1
:
2
β
≠0
µ
µ
2
2
2
( )
qs
t
se
β β
β
∗
−
=
=
19,2731 0
2,7967

6,8786
−
=
Với mức ý nghĩa 5%, ta có
18
0.025
t
=2,101.
qs
t
=2,7967>
18
0.025
t
, nên giả
thiết H
0
bị bác bỏ. Điều này có nghĩa là lao động có ảnh hưởng đến sản
lượng.
c/ Theo lý thuyết thì khi không có lao động sẽ không có sản lượng, nhưng
trong hàm hồi quy mẫu, khi không có lao động thì ước lượng điểm mức sản
lượng lại khác không. Trên thực tế giá trị đó có thể coi là bằng không được
không?
Ta kiểm định cặp giả thiết sau:
H
0
:
1
β
=0

H
1
:
1
β
≠0
Lê Kha
K45B TC-NH
7
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
µ
µ
1
1
1
( )
qs
t
se
β β
β
∗
−
=
=
34.4438 0
1,1868
29,0219
−
=

Với mức ý nghĩa 5%, ta có
18
0.025
t
=2,101.
qs
t
=2,7967<
18
0.025
t
, nên giả
thiết H
1
bị bác bỏ. Điều này có nghĩa là khi không có lao động thì không có
sản lượng.
d/ Lao động giải thích được bao nhiêu phần trăm biến động của biến sản
lượng?
- R
2
=0.3029  Lao động giải thích được 30,29% biến động của biến sản
lượng.
e/ Khi lao động tăng thêm một lao động thì sản lượng tăng trong khoảng
nào?
- Bài này có dạng ước lượng khoảng của hệ số hồi quy
2
β
(đọc đề mà thấy
biến độc lập tăng một đơn vị >>> hỏi biến phụ thuộc tăng khoảng nào đó thì
chắc chắn đó là dạng ước lượng hệ số hồi quy

2
β
- xem ý nghĩa của ước
lượng hệ số hồi quy
2
β
)
+ Khoảng tin cậy đối xứng của
2
β
là:
µ µ
( )
2
2 2
2
.
n
t se
α
β β
−
−
<
2
β
<
µ µ
( )
2

2 2
2
.
n
se t
α
β β
−
+
Với:
µ
2
β
=19.2371
2
2
n
t
α
−
=
20 2
0.05
2
t
−
=2,101 Se(
µ
2
β

) =6.8786
Thế vào ta được:
14,7851<
2
β
< 33,6890
Ý nghĩa: Khi lao động tăng lên một lao động thì sản lượng tăng lên
trong khoảng (14,7851; 33,6890)
f/ Có thể nói khi bớt 1 lao động thì sản lượng giảm 30 đơn vị được không?
- Vì lao động và sản lượng đồng biến với nhau, cho nên bài này có thể đổi
lại nhưng có cùng một cách giải: “ Có thể nói khi tăng 1 lao động thì sản
lượng tăng lên 30 đơn vị được không?”
- Kiểm định cặp giả thiết sau:
H
0
:
2
β
=30
H
1
:
2
β
≠30
µ
µ
2
2
2

( )
qs
t
se
β β
β
∗
−
=
=
19,2731 30
1,5647
6,8186
−
= −
Lê Kha
K45B TC-NH
8
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
Với mức ý nghĩa 5%, ta có
18
0.025
t
=2,101.
qs
t
=1,5647<
18
0.025
t

, nên không
có cơ sở để bác bỏ H
0
. Điều này có nghĩa là khi giảm một lao động thì sản
lượng giảm 30 đơn vị.
g/ Nếu tăng 1 lao động thì sản lượng tăng nhiều hơn 20 đơn vị có phải
không?
- Kiểm định cặp giả thiết sau:
H
0
:
2
β
=20
H
1
:
2
β
>20
µ
µ
2
2
2
( )
qs
t
se
β β

β
∗
−
=
=
19,2731 20
0,1109
6,8186
−
= −
Với mức ý nghĩa 5%, ta có
18
0.05
t
=1,734.
qs
t
=-0,1109<
18
0.05
t
, nên không
có cơ sở để bác bỏ H
0
. Điều này có nghĩa là nếu tăng một lao động thì sản
lượng tăng không nhiều hơn 20 đơn vị.
h/ Tìm mức sản lượng trung bình khi doanh nghiệp có 30 lao động.
-Để tìm mức sản lượng trung bình khi doanh nghiệp có 30 lao động, ta
tìm khoảng tin cậy 95% của E(
0

30
S
L =
):
-Sử dụng tích chất của hàm hồi quy mẫu SRF: đường hồi quy mẫu đi qua
giá trị trung bình của biến độc lập và biến phụ thuộc, điều này được suy ra từ
công thức
µ µ
1 2
.Y X
β β
= −
.
µ µ
1 2
.S L
β β
= −

µ
µ
1
2
S
L
β
β
−
=
=

1094.666 34,4438
19,2371
−
=55,1134
-Tìm
2
1
n
i
i
l
=
∑
bằng cách:
Cách 1: Var(
µ
2
β
)=
µ
2
2
1
n
i
i
l
σ
=
∑


µ
µ
2
2
1
2
ar( )
n
i
i
l
v
σ
β
=
=
∑
=
2
2
49.5267
6,8786
=51,841
Cách 2: ESS=
µ
2
1
n
i

i
s
=
∑
=
¶
2 2
2
1
( ) ( )
n
i
i
l
β
=
∑

µ
2
2
1
2
ES
( )
n
i
i
S
l

β
=
=
∑
-Phương sai của giá trị trung bình:
Var(
$
0
S
)=
µ
2
2
0
2
1
( )
1
.
n
i
i
L L
n
l
σ
=
 
 
−

 
+
 
 
 
∑
=49,5267
2
2
1 (30 55,1134)
10 51,841
 
−
+
 ÷
 
=29963,85537
se(
µ
0
S
)=173,1007
Lê Kha
K45B TC-NH
9
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
Tính
µ
0
S

:
µ
0
S
= 34.4438 + 19.2371.L
0
= 34,4438 + 19,2371.(30) =611,5568
-Thay tất cả số liệu tìm được vào công thức:
$ $ $ $
2 2
0 0 0 0
2 2
0
( ). ( ) ( ).
20
n n
S
S se S t E S se S t
L
α α
− −
− < < +
=
247,8722<
0
( )
20
S
E
L =

< 975,2431
Câu 2: Sau khi hồi quy biến sản lượng (S) theo lao động (L) có hệ số chặn,
thấy hệ số xác định R
2
của mô hình đó khá nhỏ, nên người ta đua thêm biến
K là vốn (triệu đồng) vào và hồi quy được mô hình sau:
Dependent Variable: S
Method: Least Squares
Date: 11/11/05 Time: 23:21
Sample: 1 20
Included observations: 20
Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob
C -20.6583 22.0029 -0.93889 0.361
K 10.7720 2.1599 4.9874 000
L 19.2232 4.5279 4.2455 0.001
R-squared Mean dependent var 1094.666
Adjusted R-squared 0.68369 S.D. dependent var 57.7367
S.E. of regression 32.4717 Akaike info criterion
Sum squared resid 17925.0 Schwarz criterion
Log likelihood F-statistic 21.5343
Durbin-Watson stat 2.3574 Prob(F-statistic) 0.000
Với mức ý nghĩa
α
=5%. Hãy:
a/ Viết hàm hồi quy tổng thể và hàm hồi quy mẫu.
- Hàm hồi quy tổng thể có dạng như sau:
1 2 3
( )
,
i i

i i
S
E K L
K L
β β β
= + +
- Hàm hồi quy mẫu có dạng như sau:
$
µ µ µ
1 2 3
i
i i
S K L
β β β
= + +
=-20.6583+ 10.7720K
i
+ 19.2232L
i
b/ Nói rằng vốn và lao động tác động cùng chiều đến sản lượng có đúng
không?
- Ta kiểm định cặp giả thiết sau:
0 2
1 2
: 0
: 0
H
H
β
β

=


>

Lê Kha
K45B TC-NH
10
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
t
qs
=
µ
µ
2
2
( )se
β
β
=
10.7720
2.1599
=4,987
3n
t
α
−
=
17
0.05

t
=1.740
 t
qs
>
3n
t
α
−
bác bỏ H
0
tức là vốn tác động cùng chiều với sản lượng.
- Ta kiểm định cặp giả thiết sau:
0 3
1 3
: 0
: 0
H
H
β
β
=


>

t
qs
=
µ

µ
3
3
( )se
β
β
=
19.2232
4.5279
=4,2455
3n
t
α
−
=
17
0.05
t
=1.740
 t
qs
>
3n
t
α
−
bác bỏ H
0
tức là lao động tác động cùng chiều với sản
lượng.

c/ Tính R
2
bằng các cách và cho biết ý nghĩa của giá trị nhận được:
Cách 1: R
2
=
ESS
TSS
=
TSS RSS
TSS
−
mà TSS=(n-1).(S.D)
2
Cách 2:
2 2
1
1 (1 )
n
R R
n k
−
= − −
−
Suy ra
2 2
1 (1 )
1
n k
R R

n
−
= − −
−
Cách 3: F
qs
=21,5343=
2
2
.
1 1
R n k
a
R k
−
=
− −
Suy ra:
2 2
1
. (1 )
k
R a R
n k
−
= −
−
Như vậy:R
2
=

ESS
TSS
=
TSS RSS
TSS
−
=
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
n 1 . S.D 17925
19*57,7367 17925
19*57,7367
n 1 . S.D
− −
−
=
−
=0,717
Lao động và vốn giải thích được 71,7% biến động của sản lượng.
d/ Phải chăng các biến giải thích không giải thích được cho sự biến động
của sản lượng?
Chú ý: Nếu nói các biến độc lập giải thích được hay không giải thích được
sự biến động của biến phụ thuộc thì ta phải kiểm định R
2
- Còn nói một biến độc lập nào đó giải thích được hay không giải thích được
sự biến động của biến phụ thuộc thì ta kiểm định: H

0
=
0
i
β
≠
(xem bài soạn)
Ta kiểm định giả thiết:
2
0
: 0H R =
(Các biến K, L không ảnh hưởng đến S)
2
1
: 0H R ≠
(Các biến K, L giải thích được biến động của S)
F
qs
=
2
2
0,7169 20 3
. 21,5217
1 0,7169 3 1
−
=
− −
Tra bảng phân phối Fisher ta có: F
0.05
(2,17)=3,59

Ta thấy F
qs
> F
0.05
(2,17) bác bỏ giả thiết H
0
với mức ý nghĩa α=0,05
Vậy, các biến vốn và lao động giải thích được sự biến động của biến sản
lượng. (ít nhất một trong hai yếu tố có ảnh hưởng đến sản lượng)
e/ Khi lao động không đổi, nếu tăng thêm vốn 1 triệu thì sản lượng tăng
trong khoảng nào?
- Ta tìm khoảng tin cậy đối xứng của hệ số
2
β
Lê Kha
K45B TC-NH
11
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
Khoảng tin cậy đối xứng của
2
β
:
µ µ
( )
2
2 2
2
.
n
t se

α
β β
−
−
<
2
β
<
µ µ
( )
2
2 2
2
.
n
se t
α
β β
−
+
10,7720 - 2,11*2,1599<
2
β
<10,7720 + 2,11*2,1599
6,2146<
2
β
<15,329
Vậy nếu khi lao động không đổi nếu vốn tăng thêm một triệu thì sản lượng
tăng trong khoảng (6,2146; 15,329) đơn vị sản lượng.

f/ Có thể nói khi lao động không đổi, tăng vốn thêm 1 triệu đồng thì sản
lượng tăng ít hơn 10 đơn vị không?
Ta kiểm định giả thiết:
0 2
1 2
: 10
: 10
H
H
β
β
=


<

t
qs
=
µ
µ
2
2
10 10,7720 10
0,3574
2,1599
( )se
β
β
− −

= =
3n
t
α
−
=
17
0.05
t
=1,74
t
qs
>-
17
0.05
t
Không có cơ sở bác bỏ H
0
. Vậy vốn tăng thêm một triệu
thì sản lượng tăng không ít hơn 10 đơn vị (tức là nhiều hơn 10 đơn vị)
g/ Tìm ước lượng điểm mức sản lượng doanh nghiệp có 20 lao động và 300
triệu đồng vốn?
Chú ý: bài này tìm ước lượng điểm chứ không ước lượng khoảng. (đọc đề
cho kỹ)
Với L=20, K=300 ta có ước lượng điểm của mức sản lượng của doanh
nghiệp là:

µ
0
S

=-20,6583 + 10,7720*300 + 19,2232*20 =3595,4057 (đơn vị sản lượng)
h/ Dùng kiểm định thu hẹp hồi quy để đánh giá việc đưa thêm biến K vào
mô hình có được không:
Ta kiểm định giả thiết: H
0
:
2
0
β
=
không nên đưa K vào
H
1
:
2
2
0
β
>
nên đưa K vào
F
qs
=
2 2
2
( , )
1
U R
U
R R

m
F m n k
R
n k
−
−
−
−
:
F
qs
=
2 2
2
.
1
U R
U
R R
n k
R m
−
−
−
=
0,7169 0,3029 17
.
1 0,7169 1
−
−

=24,8604
Tra bảng phân phối Fisher ta có:
( )
0.05
1,17F
=4,48
Ta thấy: F
qs
>
( )
0.05
1,17F
bác bỏ giả thiết H
0
với mức ý nghĩa α=0.05
Kết luận: Nếu đi từ mô hình U về mô hình R thì không bỏ biến K được.
Lê Kha
K45B TC-NH
12
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
(Hoặc) Nếu đi từ mô hình R về mô hình U thì nên thêm biến K vào.
Câu 3: Dạng hồi quy với hàm cobb-douglas:
Dependent Variable: LogS
Method: Least Squares
Date: 11/11/05 Time: 23:21
Sample: 1 20
Included observations: 20
Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob
C 2.8749 0.22746 12.639 0.000
Log(K) 0.52178 0.093498 5.5806 0.000

Log(L) 0.68225 0.1408 4.8457 0.000
R-squared 0.78117 Mean dependent var 6.9982
Adjusted R-squared 0.75543 S.D. dependent var 0.57067
S.E. of regression 0.28222 Akaike info criterion
Sum squared resid 1.3540 Schwarz criterion
Log likelihood F-statistic 30.3438
Durbin-Watson stat 1.9062 Prob(F-statistic) 0.000
Với log(S), log(K), log(L) là logarit cơ số tự nhiên của các biến tương ứng.
Cho hiệp phương sai của các ước lượng ứng với các biến log(K) và log(L)
bằng 0.0127
a/ Viết hàm số kinh tế ban đầu với các biến S, K, L.
S
i
=
31 2
. . .
i
U
i i
e K L e
ββ β
b/ Viết hàm hồi quy tổng thể ngẫu nhiên, hàm hồi quy mẫu và cho biết ý
nghĩa của các hệ số hồi quy riêng?
- Hàm hồi quy tổng thể ngẫu nhiên có dạng:
logS
i
=
1 2 3
.log( ) .log( )
i i i

K L U
β β β
+ + +
- Hàm hồi quy mẫu có dạng:
·
µ µ µ
1 2 3
log( ) .log( ) .log( )
i i i
S K L
β β β
= + +
=2,8749 + 0,52178.log(K
i
) + 0.68225.log(L
i
)
- Ý nghĩa của các hệ số hồi quy riêng:
+ Nếu lao động không đổi, khi vốn tăng 1% thì sản lượng tăng 0,52128%.
+ Nếu vốn không đổi, khi lao động tăng 1% thì sản lượng tăng 0,68225%.
c/ Hàm hồi quy có phù hợp không? Các biến giải thích giải thích được bao
nhiêu % biến động của biến sản lượng?
Lê Kha
K45B TC-NH
13
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
Chú ý: + Khi nào hỏi hàm hồi quy có phù hợp hay không thì đó chính là
dạng kiểm định hệ số R
2
.

+ Biến giải thích chính là biến độc lập.
Giải: Ta kiểm định giả thiết:
2
0
2
1
: 0
: 0
H R
H R

=


≠


Tính F
qs
=
2
2
3
.
1 3 1
R n
R
−
− −
=

0,78117 20 3
.
1 0,78117 3 1
−
− −
=30,3429
F
0,05
(2,17)=3,59
Ta thấy F>F
0.05
(2,17)  bác bỏ giả thiết H
0
với mức ý nghĩa α=0.05
Vậy hàm hồi quy là phù hợp (các biến vốn và lao động giải thích được sự
biến động của biến sản lượng)
- Các biến giải thích log(K
i
), log(L
i
) giải thích được 78,117% sự biến log(S
i
).
d/ Giả sử vốn không đổi, khi tăng lao động 1% thì sản lượng tăng trong
khoảng bao nhiêu %?
Ta tìm khoảng tin cậy đối xứng của
3
β
:
µ µ

( )
2
3 3
2
.
n
t se
α
β β
−
−
<
3
β
<
µ µ
( )
2
3 3
2
.
n
se t
α
β β
−
+
0,68225-2,11*0,1408<
3
β

<0,68225+2,11*0,1408
0,385162<
3
β
<0,979338
Vậy khi vốn không đổi, nếu lao động tăng thêm 1% thì sản lượng tăng trong
khoảng (0,385162; 0,979338)
e/ Giả sử lao động không đổi, khi nguồn vốn giảm 1% thì sản lượng giảm tối
đa bao nhiêu %?
Chú ý: Câu này tương đương với câu sau: giả sử lao động không đổi, khi
nguồn vốn tăng 1% thì sản lượng tăng tối đa bao nhiêu % nên chuyển
thành tăng tăng cho nó dễ tư duy hơn.
Ta tìm khoảng tin cậy bên trái của
2
β
Khoảng tin cậy bên trái của
2
β
:
-∞<
2
β
<
µ µ
( )
2
2 2
.
n
se t

α
β β
−
+
-∞<
2
β
<0,52178 + 1,74*0,0934982
-∞<
2
β
<0,68446
Vậy khi lao động không đổi, nếu nguồn vốn giảm 1% thì sản lượng giảm tối
đa là 0,68446%.
Lê Kha
K45B TC-NH
14
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
f/ Theo kết quả ước lượng ở trên, hãy kiểm định xem hiệu quả sản xuất có
thay đổi theo quy mô không?
- Kiểm định giả thiết:
0 2 3
1 2 3
: 1
: 1
H
H
β β
β β
+ =



+ ≠

t
qs
=
µ µ
µ µ
2 3
2 3
1
( )se
β β
β β
+ −
+
Với: se(
µ µ
2 3
β β
+
)=
µ µ
2 3
ar( )v
β β
+
var(
µ µ

2 3
β β
+
)=var(
µ
3
β
) + var(
µ
2
β
) + 2cov(
µ µ
3 2
,
β β
)
=0,093498
2
+ 0,1408
2
+ 2*0,0127 =0,05396
se(
µ µ
2 3
β β
+
)=
0,05396
=0,2323

t
qs
=
0,52128 0,68225 1
0,8783
0,2323
+ −
=
3 17
0.025
2
2,11
n
t t
α
−
= =
;
17
0.025qs
t t<
Không có cơ sở để bác bỏ H
0
, nghĩa là
µ µ
2 3
β β
+
=1
Vậy hiệu quả sản xuất không đổi theo qui mô.

g/ Sản lượng tăng bằng với mức tăng của lao động có đúng không?
Chú ý: Câu này có ý nghĩa là khi lao động tăng lên 1% thì sản lượng sẽ tăng
lên 1%=
µ
3
β
.
Ta kiểm định giả thiết:
0 3
1 3
: 1
: 1
H
H
β
β
=


≠

t
qs
=
µ
µ
3
3
1
( )se

β
β
−
=
0,68224 1
2,256
0,1408
−
= −
3 17
0,025
2
2,11
n
t t
α
−
= =
;
17
0.025qs
t t>
Bác bỏ H
0
, nghĩa là
3
β
≠1
Vậy sản lượng tăng khác với mức tăng của lao động (tức là lao động tăng
1% thì sản lượng tăng khác 1%)

h/ Có ý kiến cho rằng hệ số co giãn của S so với K và hệ số co giãn của S so
với L là như nhau, bạn có đồng ý không?
Có nghĩa là ta kiểm định:
0 2 3
1 2 3
:
:
H
H
β β
β β
=


≠


0 2 3
1 2 3
: 0
: 0
H
H
β β
β β
− =


− ≠


Lê Kha
K45B TC-NH
15
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
t
qs=
µ µ
µ µ
2 3
2 3
( )se
β β
β β
−
−

3 17
0.025
2
n
t t
α
−
=
=2,11
Ta có:
var(
µ µ
2 3
β β

−
)=0.093498
2
+0.1408
2
-2.0.0127=0,00316
se(
µ µ
2 3
β β
−
)=
µ µ
2 3
ar( )v
β β
−
=0,0563
t
qs
=
µ µ
µ µ
2 3
2 3
( )se
β β
β β
−
−

=
0.52178 0.68225
2,850
0.0563
−
= −

17
0.025qs
t t>
Bác bỏ H
0
, tức là hệ số co giãn của S so với K và hệ số co giãn
của S so với L là khác nhau.
i/ Phải chăng lao động tăng lên 2% và vốn tăng 1% thì sản lượng sản xuất
tăng 2%?
Ta kiểm định giả thiết:
H
0
:
2 3
2 2
β β
+ =
H
1
:
2 3
2 2
β β

+ ≠
Chú ý công thức sau:
se(aX+bY)=
ar(aX )v bY+
var(aX+bY)=var(aX)+var(bY)+2cov(aX,bY)
=a
2
var(X) + b
2
var(Y) + 2.a.b.cov(X,Y)
- Áp dụng công thức trên:
Se(
µ µ
2 3
2
β β
+
)=
µ µ
2 3
ar( 2 )v
β β
+
=
µ µ µ µ
2
2 3 2 3
1. ar( ) 2 ar( ) 2.1.2.cov( , )v v
β β β β
+ +

=
µ
( )
µ
( )
µ µ
2 2
2 3 2 3
4 4cov( , )se se
β β β β
   
+ +
   
=
( ) ( )
2 2
0,093498 4. 0,1408 4.0,0127+ +
=0,3726
- t
qs
=
µ µ
µ µ
( )
2 3
2 3
2 2
2se
β β
β β

+ −
+
=
0,52178 2.0,68225 2
0,3726
+ −
=-0,3052;
3 17
0.025
2
n
t t
α
−
=
=2,11

3
2
n
qs
t t
α
−
<
Chấp nhận H
0
.
Lê Kha
K45B TC-NH

16
µ µ
µ µ µ µ µ µ
2 3
2
2 3 2 3 2 3
ar( ) ar( ) ar( ) 2cov( , )v v v
β β
σ β β β β β β
−
= − = + −
var(aX+bY)=a
2
var(X) + b
2
var(Y) + 2.a.b.cov(X,Y)
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
Bài 4: Dưới đây là báo cáo kết quả của chương trình Eviews cho mô hình
lượng cầu về tiền ở Ấn Độ:
Dependent Variables: LMP
Method: Least Squares
Sample: 1949 1965
Included observations: 17
Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob
LYP 1.4957 0.33249 4.4984 0.001
LR -0.50228 0.41728 -1.2037 0.239
C 3.6418 0.53277 6.8357 0.000
R-squared 0.89424 Mean dependent var 3.1048
Adjusted R-squared 0.87913 S.D. dependent var 0.20554
S.E. of regression 0.071459 Akaike info criterion -2.5137

Sum squared resid 0.071489 Schwarz criterion -3.9054
Log likelihood 22.3851 F-statistic 59.1859
Durbin-Watson stat 1.2896 Prob(F-statistic) 0.000
Trong đó:
LMP là lô-ga-rít cơ số e của dự trữ tiền thực tế của quốc gia
LYP là lô-ga-rít cơ số e của thu nhập quốc dân thực tế
LR là lô-ga-rít cơ số e của lãi xuất
a/ Hãy giải thích các hệ số hồi qui riêng?
- Hàm hồi quy mẫu:
·
µ µ µ
1 2 3
( ) ( )
i i i
LMP LYP LR
β β β
= + ∗ + ∗
=3,6418 + 1,4957*LYP
i
- 0,50228*LR
i
- Ý nghĩa của các hệ số hồi qui riêng:
+ Nếu lãi suất không đổi, khi thu nhập quốc dân thực tế tăng 1% thì dự
trữ tiền thực tế của quốc gia tăng lên 1,4957%.
+ Nếu thu nhập quốc dân thực tế không đổi, khi lãi suất tăng lên 1% thì
thì dự trữ tiền thực tế của quốc gia giảm đi -0,50228%
b/ Hãy giải thích ý nghĩa của R
2
:
- R

2
=0,89424, điều đó có nghĩa là lô-ga-rit cơ số e thu nhập quốc dân thực
tế và lô-ga-rít cơ số e lãi suất giải thích được 89,424% lô-ga-rít cơ số e dự
trữ tiền thực tế của quốc gia.
c/ Hãy kiểm định các giả thiết H
0
dưới đây và trong mỗi trường hợp hãy giải
thích kỹ về: giả thuyết H
0
, giá trị tính toán của đại lượng thống kê kiểm định,
các bậc tự do, và giá trị tới hạn của đại lượng thống kê kiểm định.
Lê Kha
K45B TC-NH
17
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
i) Thu nhập thực tế không ảnh hưởng tới lượng cầu về tiền.
Ta kiểm định giả thiết:
H
0
:
2
0
β
=
(Thu nhập thực tế không ảnh hưởng tới lượng cầu về tiền)
H
1
:
2
0

β
≠
(Thu nhập thực tế có ảnh hưởng tới lượng cầu về tiền)
Tính thống kê T: t
qs
=
µ
µ
2
2
( )se
β
β
=
1,4957
0.33249
=4,4985
Giá trị tới hạn (n-k là bậc tự do):
2
n k
t
α
−
=
17 3
0.025
t
−
=2.145


qs
t
>
14
0.025
t
cho nên bác bỏ H
0
. Vậy thu nhập thực tế có ảnh hưởng tới
lượng cầu về tiền.
ii) Độ co giãn của cầu về tiền theo thu nhập bằng 1.
Ta kiểm định giả thiết:
H
0
:
2
1
β
=
(Độ co giãn của cầu về tiền theo thu nhập bằng 1)
H
1
:
2
1
β
≠
(Độ co giãn của cầu về tiền theo thu nhập không bằng 1)
Tính thống kê T: t
qs

=
µ
µ
2
2
2
( )se
β β
β
∗
−
=
1,4957-1
0.33249
=1,4909
Giá trị tới hạn (n-k là bậc tự do):
2
n k
t
α
−
=
17 3
0.025
t
−
=2.145

qs
t

<
14
0.025
t
cho nên chấp nhận H
0
. Vậy độ co giãn của cầu về tiền theo
thu nhập bằng 1.
iii) Lãi suất không ảnh hưởng tới cầu về tiền.
Ta kiểm định giả thiết:
H
0
:
3
0
β
=
(Lãi suất không ảnh hưởng tới cầu về tiền)
H
1
:
3
0
β
≠
(Lãi suất có ảnh hưởng tới cầu về tiền)
-Tính thống kê T: t
qs
=
µ

µ
3
3
( )se
β
β
=
0,50228
0,41728
−
=-1.2037
Giá trị tới hạn (n-k là bậc tự do):
2
n k
t
α
−
=
17 3
0.025
t
−
=2.145

qs
t
<
14
0.025
t

cho nên chấp nhận H
0
. Vậy lãi suất không ảnh hưởng tới cầu
về tiền
iv) Cả thu nhập lẫn lãi suất đều không giải thích được sự biến thiên trong
lượng cầu về các số dư tiền mặt thực tế.
Ta kiểm định giả thiết:
2
0
: 0H R =
(Các biến thu nhập, lãi suất không ảnh hưởng đến lượng cầu về tiền)
2
1
: 0H R ≠
(Các biến thu nhập, lãi suất giải thích được biến động của lượng cầu về tiền)
Lê Kha
K45B TC-NH
18
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
- Tính thống kê F:
2
2
3 1
1
2
qs
R
F
R
n

−
=
−
−
=
2
2
3
.
1 3 1
R n
R
−
− −
=
2
2
0,89424 17 3
.
1 0,89424 3 1
−
− −
=27,94150
Với df=3-1 là bậc tự do của ESS
df=n-3 là bậc tự do của RSS
Tra bảng phân phối Fisher ta có: F
0.05
(2,14)=3,74
Ta thấy F
qs

> F
0.05
(2,14) bác bỏ giả thiết H
0
với mức ý nghĩa α=0,05
Vậy, Các biến thu nhập, lãi suất giải thích được biến động của lượng cầu
về tiền. (ít nhất một trong hai yếu tố có ảnh hưởng đến lượng cầu về tiền)
Bài 5: Hãy ước lượng hàm sản xuất có dạng Cobb- Douglas:
Y=
31 2
e K L
ββ β
Y=GDP; L= Lao động (ngày); K=vốn, Y, K tính theo giá cố định, đơn
vị triệu đô là Đài Loan. Cho α=5%, hãy trả lời các câu hỏi sau:
Dependent Variable: LOG(Y)
Method: Least Squares
Date: 01/01/09 Time: 16:54
Sample: 1 20
Included observations: 20
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 9.770251 0.228568 42.74543 0.0000
LOG(K) 0.523699 0.093755 5.585820 0.0000
LOG(L) 0.693005 0.140540 4.931025 0.0001
R-squared 0.781422 Mean dependent var 11.45945
Adjusted R-squared 0.755707 S.D. dependent var 0.570617
S.E. of regression 0.282033 Akaike info criterion 0.443897
Sum squared resid 1.352226 Schwarz criterion 0.593257
Log likelihood -1.438970 F-statistic 30.38777
Durbin-Watson stat 1.833099 Prob(F-statistic) 0.000002
- Hàm hồi quy tổng thể ngẫu nhiên có dạng:

logY
i
=
1 2 3
.log( ) .log( )
i i i
K L U
β β β
+ + +
- Hàm hồi quy mẫu có dạng:
·
µ µ µ
1 2 3
log( ) .log( ) .log( )
i i i
Y K L
β β β
= + +
=9.770251+ 0.523699.log(K
i
) + 0.693005.log(L
i
)
Lê Kha
K45B TC-NH
19
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
a/ Khi tăng vốn (lao động) 1% thì mức sản xuất tăng bao nhiêu %?
- Ta tìm khoảng tin cậy đối xứng của hệ số
2

β
Khoảng tin cậy đối xứng của
2
β
:
µ µ
( )
3
2 2
2
.
n
t se
α
β β
−
−
<
2
β
<
µ µ
( )
3
2 2
2
.
n
se t
α

β β
−
+
0,523699- 2,11*0,093755<
2
β
<0,523699+ 2,11*0,093755
0,325875<
2
β
<0,721522 (
3
2
n
t
α
−
=
17
0.025
t
=2,11)
Vậy nếu khi lao động không đổi nếu vốn tăng thêm 1% thì mức sản xuất
tăng trong khoảng (0,325875; 0,721522 ) %.
- Ta tìm khoảng tin cậy đối xứng của
3
β
:
Khoảng tin cậy đối xứng của
3

β
:
µ µ
( )
3
3 3
2
.
n
t se
α
β β
−
−
<
3
β
<
µ µ
( )
3
3 3
2
.
n
se t
α
β β
−
+

0,693005-2,11*0,140540<
3
β
<0,693005+2,11*0,140540
0,396465<
3
β
<0,989544
Vậy khi vốn không đổi, nếu lao động tăng thêm 1% thì mức sản xuất tăng
trong khoảng (0,396465; 0,989544 ) %.
b/ Hãy tính ma trận Cov(
µ
β
)?
- Sử dụng phần mềm Eviews, ta tìm được ma trận Cov(
µ
β
) như sau:
0.052243 -0.012183 -0.023211
-0.012183 0.008790 -0.001148
-0.023211 -0.001148 0.019751
c/ Hiệu quả sản xuất không đổi theo quy mô?
- Kiểm định giả thiết:
0 2 3
: 1H
β β
+ =
1 2 3
: 1H
β β

+ ≠
t
qs
=
µ µ
µ µ
2 3
2 3
1
( )se
β β
β β
+ −
+
Với: se(
µ µ
2 3
β β
+
)=
µ µ
2 3
ar( )v
β β
+
var(
µ µ
2 3
β β
+

)=var(
µ
3
β
) + var(
µ
2
β
) + 2cov(
µ µ
3 2
,
β β
)
=0,140540
2
+ 0,093755
2
+ 2*-0.001148=0,026245
se(
µ µ
2 3
β β
+
)=
0,026245
=0,162004
t
qs
=

0,523699 0,693005 1
1,337645
0,162004
+ −
=
Lê Kha
K45B TC-NH
20
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
3 17
0.025
2
2,11
n
t t
α
−
= =
;
17
0.025qs
t t<
Không có cơ sở để bác bỏ H
0
, nghĩa là
µ µ
2 3
β β
+
=1

Vậy hiệu quả sản xuất không đổi theo qui mô.
d/ Hãy tìm khoảng tin cậy cho
2
β
,
3
β
và
2
β
+
3
β
.
i) Khoảng tin cậy cho
2
β
:
- Khoảng tin cậy đối xứng của
2
β
:
µ µ
( )
3
2 2
2
.
n
t se

α
β β
−
−
<
2
β
<
µ µ
( )
3
2 2
2
.
n
se t
α
β β
−
+
0,523699- 2,11*0,093755<
2
β
<0,523699+ 2,11*0,093755
0,325875<
2
β
<0,721522
- Khoảng tin cậy bên trái của
2

β
:
-∞<
2
β
<
µ µ
( )
3
2 2
.
n
se t
α
β β
−
+
-∞<
2
β
<0,523699+ 1,74*0,093755
-∞<
2
β
<0,686832
- Khoảng tin cậy bên phải của
2
β
:
µ µ

( )
3
2 2
.
n
se t
α
β β
−
−
<
2
β
<
+∞
0,523699-1,74*0,093755<
2
β
<
+∞
0,360565<
2
β
<
+∞
ii) Khoảng tin cậy cho
3
β
:
- Khoảng tin cậy đối xứng của

3
β
:
µ µ
( )
3
3 3
2
.
n
t se
α
β β
−
−
<
3
β
<
µ µ
( )
3
3 3
2
.
n
se t
α
β β
−

+
0,693005-2,11*0,140540<
3
β
<0,693005+2,11*0,140540
0,396465<
3
β
<0,989544
- Khoảng tin cậy bên trái của
3
β
:
-∞ <
3
β
<
µ µ
( )
3
3 3
.
n
se t
α
β β
−
+
-∞<
3

β
<0,693005+1,74*0,140540
-∞<
3
β
<0,937544
- Khoảng tin cậy bên phải của
3
β
:
µ µ
( )
3
3 3
.
n
t se
α
β β
−
−
<
3
β
< +∞
0,693005 – 1,74*0,140540 <
3
β
< +∞
0,448465<

3
β
< +∞
iii) Khoảng tin cậy cho
2
β
+
3
β
:
Lê Kha
K45B TC-NH
21
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
- Khoảng tin cậy đối xứng của
2
β
+
3
β
:
µ µ
( )
µ µ
( )
3
2 3 2 3
2
.
n

t se
α
β β β β
−
+ − +
<
2
β
+
3
β
<
µ µ
( )
µ µ
( )
3
2 3 2 3
2
.
n
se t
α
β β β β
−
+ + +
(0,523699+0,693005) – 2,11*(0,162004)<
2
β
+

3
β
<(0,523699+0,693005) +2,11*0,162004
0,874875<
2
β
+
3
β
<1,558532
- Khoảng tin cậy bên trái của
2
β
+
3
β
:
-∞<
2
β
+
3
β
<
µ µ
( )
µ µ
( )
3
2 3 2 3

.
n
se t
α
β β β β
−
+ + +
-∞<
2
β
+
3
β
<(0,523699+0,693005)+1,74*0,162004
-∞<
2
β
+
3
β
<1,498590
- Khoảng tin cậy bên phải của
2
β
+
3
β
:
µ µ
( )

µ µ
( )
3
2 3 2 3
.
n
t se
α
β β β β
−
+ − +
<
2
β
+
3
β
<+∞
(0,523699+0,693005) – 1,74*0,162004<
2
β
+
3
β
<+∞
0,934817<
2
β
+
3

β
<+∞
e/ Nếu dùng ln(K)=2 và ln(L)=1, hãy dự báo giá trị trung bình của Y với hệ
số tin cậy 95%.
- Dự báo giá trị trung bình E(log(Y)\X
0
):
X
0
=
0
0
1
l ( )
log( )
og K
L
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
=
1
2
1
 
 ÷
 ÷
 ÷

 

0
t
X
=(1, 2, 1)
var(
·
0
log( )Y
)=
0
t
X
.cov(
µ
β
).X
0
=(1, 2, 1)
0.052243 0.012183 0.023211
0.012183 0.008790 0.001148
0.023211 0.001148 0.019751
− −
 
 ÷
− −
 ÷
 ÷
− −

 
1
2
1
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
=(0.004666, 0.004249, -0.00576)
1
2
1
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
=0.007404
se(
·
0
log( )Y
)=
·
( )
0
ar log( )v Y
=
0.007404

=0,086046
·
0
log( )Y
=9.770251+ 0.523699*2+ 0.693005*1=11,510654
- Khoảng tin cậy đối xứng của E(log(Y)\X
0
) là:
· ·
( )
· ·
( )
3 3
0 0 0 0
2 2
0
log( )
log( ) se log( ) . log( ) log( ) .
n n
Y
Y Y t E Y se Y t
X
α α
− −
 
− < < +
 ÷
 
11,510654-2,11*0,086046<
0

log( )Y
E
X
 
 ÷
 
<11,510654+2,11*0,086046
Lê Kha
K45B TC-NH
22
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
11,329096<
0
log( )Y
E
X
 
 ÷
 
<11,692211
Vậy khi ln(K)=2 và ln(L)=1, giá trị trung bình của log(Y) nằm trong khoảng
(11,329096; 11,692211) đơn vị sản lượng.
f/ Hãy kiểm định các giả thiết:
i) Có ý kiến cho rằng hệ số co giãn của L so với K và hệ số co giãn của K
so với L là như nhau, bạn có đồng ý không?
Có nghĩa là ta kiểm định:
0 2 3
1 2 3
:
:

H
H
β β
β β
=


≠


0 2 3
1 2 3
: 0
: 0
H
H
β β
β β
− =


− ≠

t
qs=
µ µ
µ µ
2 3
2 3
( )se

β β
β β
−
−

3 17
0.025
2
n
t t
α
−
=
=2,11
µ µ µ µ µ µ
2 3 2 3 2 3
ar( ) ar( ) ar( ) 2cov( , )v v v
β β β β β β
− = + −

=0,093755
2
+ 0,140540
2
- 2*(-0.001148)=0,030837
se(
µ µ
2 3
β β
−

)=
µ µ
2 3
ar( )v
β β
−
=0,175606
t
qs
=
µ µ
µ µ
2 3
2 3
( )se
β β
β β
−
−
=
0,523699 0,693005
0,964124
0,175606
−
= −

17
0.025qs
t t<
Chấp nhận H

0
, tức là hệ số co giãn của L so với K và hệ số
co giãn của K so với L là bằng nhau.
ii) Phải chăng lao động tăng lên 1% và vốn tăng 1% thì sản lượng sản
xuất tăng 1%?
- Kiểm định giả thiết:
0 2 3
: 1H
β β
+ =
1 2 3
: 1H
β β
+ ≠
t
qs
=
µ µ
µ µ
2 3
2 3
1
( )se
β β
β β
+ −
+
Với: se(
µ µ
2 3

β β
+
)=
µ µ
2 3
ar( )v
β β
+
var(
µ µ
2 3
β β
+
)=var(
µ
3
β
) + var(
µ
2
β
) + 2cov(
µ µ
3 2
,
β β
)
=0,140540
2
+ 0,093755

2
+ 2*-0.001148=0,026245
se(
µ µ
2 3
β β
+
)=
0,026245
=0,162004
t
qs
=
0,523699 0,693005 1
1,337645
0,162004
+ −
=
3 17
0.025
2
2,11
n
t t
α
−
= =
;
17
0.025qs

t t<
Lê Kha
K45B TC-NH
23
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
Không có cơ sở để bác bỏ H
0
.
Vậy khi lao động tăng lên 1% và vốn tăng 1% thì mức sản xuất tăng 1%.
iii) Phải chăng lao động tăng lên 1% (vốn không đổi) thì mức sản xuất
tăng 0,3%?
Ta kiểm định giả thiết:
H
0
:
3
β
=0,3
H
1
:
3
β
≠0,3
t
qs
=
µ
µ
3

3
0,3
( )se
β
β
−
=
0,693005 0,3
2,796392
0,140540
−
=
3 17
0,025
2
2,11
n
t t
α
−
= =
;
17
0.025qs
t t>
Bác bỏ H
0
, nghĩa là lao động tăng lên 1% (vốn không đổi) thì mức sản
xuất tăng 0,3% là sai.

Lê Kha
K45B TC-NH
24
Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội
Lê Kha
K45B TC-NH
25