Đề thi olympic toán 11

Câu 1: Giải hệ phương trình (4đ)
2 2
5 3
1
125 125 6 15 0
x y
y y

+ =


− + =


Câu 2: Cho dãy (4đ)
1
1
1
( )
( 1)
1
n
n
n n
u
u
u u
n
+
=




−
= +

+

a. Chứng minh:
2
1 1 1
1
1 2
n
u n
n n n n
= + + + ∀ ≥
+ + +
b. Chứng minh
( )
n
u
có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó
Câu 3: (3đ)
Cho 2 đường tròn (O
1
,R
1
) và (O
2
,R

2
) (R
1
>R
2
) cắt nhau tại dây chung MM’. (O
1
) và
(O
2
) cùng tiếp xúc với đường thẳng T
1
T
2
(T
1
∈
(O
1
);T
2
∈
(O
2
)). Đường thẳng T
1
T
2
cắt
đường thẳng O

1
O
2
tại P. PM cắt (O
1
) và (O
2
) lần lượt tại M
1
và M
2
. PM’ cắt (O
1
) và (O
2
)
lần lượt tại M
1
’ và M
2
’. A,B,C,D lần lượt là trung điểm của MM
1
, MM
2
, M’M
1
’ ,
M’M
2
’. Chứng minh A,B,C,D cùng thuộc 1 đường tròn và đường tròn này tiếp xúc với

T
1
T
2
.
Câu 4: (3đ)
Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa: P(x).P(x
2
) = P(x
3
+3x)
x∀ ∈R
Câu 5: (3đ)
Cho 2 số tự nhiên m, n (m > n
1≥
) sao cho hai chữ số tận cùng của 2014
m
bằng 2 chữ số
tận cùng của 2014
n
. Tìm các số m, n sao cho tổng m+n có giá trị nhỏ nhất
Câu 6: (3đ)
Cho đa giác đều 9 cạnh A
1
A
2
…A
9
có các đỉnh hoặc có màu xanh hoặc có màu đỏ. Chứng
minh rằng tồn tại hai tam giác bằng nhau có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 3 đỉnh cùng

màu.