ĐỀ THI HSG TOAN 11 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN DUYÊN HẢI BẮC BỘ

K THI CHN HC SINH GII CC TRNG CHUYấN
VNG DUYấN HI BC B NM 2009
THI CHNH THC
Mụn: TON
Lp 11
Thi gian 180 phỳt
Bi 1: (4 im) (Nguyn Trói-Hi Dng)
Gii h phng trỡnh:
( )
( )





+=+
=+
2
ln.ln./1
22
1
yxeee
yx
yyxxe
Bi 2: (4 im) (Trn Phỳ - Hi Phũng)
Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC và
1 1 1
, ,A B C
là các điểm thuộc các đoạn
thẳng AI, BI, CI. Trung trực các đoạn thẳng
1 1 1

, ,AA BB CC
cắt nhau tại các điểm
2 2 2
, ,A B C
.
Chứng minh rằng: tâm đờng tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC và
2 2 2
A B C
trùng
nhau khi và chỉ khi I là trực tâm của tam giác
1 1 1
A BC
.
Bi 3: (4 im) (Lờ Hng Phong - Nam nh)
Cho dãy số (a
n
) (n 1) đợc xác định bởi:
a
1
= 2009; a
n+1
=
2
1
n
n
a
a
+
, n 1

a) Chứng minh rằng a
n

,
2
1
n
n 2
b) Chứng minh rằng dãy số (n
2
n
a
) (n 1) có giới hạn hữu hạn khi n +.
Tìm
+
n
lim
(n
2
n
a
)
Bi 4: (4 im) (Lng Vn Tu - Ninh Bỡnh)
Cho số thực

thuộc khoảng
( 1;1)
. Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc không
vợt quá hai thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
(1) 1; ( 1) 1; ( ) 1f f f

và
2
[ ;1]
2 5
( )
4( 1)
Max f x



+ +
=
+
.
B i 5: (4 điểm) (Chuyên Hng Yên-Hng Yên)
Trên mặt phẳng, cho một số điểm màu đỏ và một số điểm màu xanh. Ngời ta nối các điểm
khác màu với nhau sao cho điều kiện sau đây đồng thời thoả mãn:
1) Mỗi điểm màu đỏ đợc nối ít nhất với một điểm màu xanh.
2) Mỗi điểm màu xanh đợc nối với một hoặc hai điểm màu đỏ.
Chứng minh rằng có thể xoá đi không quá một nửa số điểm (trong số các điểm đã cho ) sao
cho với các điểm còn lại, mỗi điểm màu xanh đợc nối với đúng một điểm màu đỏ.
---Ht---