ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN

phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai

Đề thi olympic lớp 6
Năm học 2014 - 2015

Đề chính thức

Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
(không kể thời gian giao ®Ò )

Câu 1: (6,0 điểm)

27.4500 + 135.550.2
2 + 4 + 6 + ... + 18
b) Chứng minh rằng: 1028 + 8 chia hết cho 72.
c) Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3. Còn khi chia a cho 9 ta được số
dư là 5. Hãy tìm số dư trong phép chia a cho 36.
a) Tính tổng: S =

Câu 2: (4,0 điểm)
1. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 7x + 12y = 50.
18n + 3
2. Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số
có thể rút gọn được.
21n + 7
Câu 3: ( 2,0 điểm)
Tìm các số nguyên tố x,y sao cho: x2 + 45 = y2
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho

và

là 2 góc kề bù. Om là tia phân giác của

; On là tia phân giác của

.
a) Tính

.

b) Kẻ tia Om’ là tia đối của tia Om .Nếu

=

thì

có số đo bằng bao nhiêu

độ.
c) Vẽ đường thẳng d không đi qua O .Trên đường thẳng d lấy 2015 điểm phân biệt
.Tính số các góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d .
Câu 5: ( 2,0 im)
Tìm các số tự nhiên a,b thoả mÃn điều kiƯn:
11 a 23
< <
17
b 29

vµ 8b - 9a = 31
----------- Hết ----------(giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm)


phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai

Hớng dẫn chấm thi olympic

Năm học 2014 - 2015

Môn thi : Toán
Cõu

Cõu 1
(6 )

Lớp 6

Tóm tắt nội dung hướng dẫn
Câu a (2 điểm)
Xét tử: 27.4500+135.550.2
= 270.450+270.550
= 270.(450+550) = 270000
(2 + 18).9
= 90
Xét mẫu: 2+4+6+…+18 =
2
Suy ra: S = 270000:90=3000
Câu b (2 điểm)

Vì 1028 + 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho
9.
Lại có 1028 + 8 có ba chữ số tận cùng là 008 chia hết cho 8 nên tổng
đó chia hết cho 8.
Mà (8,9) = 1.
Nên 1028 + 8 chia hết cho 72.
Câu c (2 điểm)
Đặt a = 4q+3=9p+5 (p, q là thương trong hai phép chia)
=> a + 13 = 4(q+4)=9(p+2)
=> a+13 là bội của 4 và 9
Mà (4;9) = 1 => a+13 ∈ BC(36)
=> a + 13 = 36k (k ∈ N * )
=> a = 36k – 13 =36(k-1) + 23
Vậy a chia 36 dư 23.

Điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

Câu 2
(4 đ)

1. Ta có 122 = 144 > 50 và y

73 > 50 và x

0,5

N => 0 ≤ y ≤ 1 => y

0, 25

N => 0 ≤ x ≤ 2

Với y = 1 => 7x + 121 = 50 => 7x = 38 => khơng tìm được x

.

Với y = 0 => 7x + 120 = 50 => 7x = 49=72 => x = 2
Vậy x = 2, y = 0
2. Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d

0,5
0,5
0,25
0,25

=> 18 n + 3 M d, 21n + 7 M d => 6( 21n + 7) – 7(18n + 3) M d

0,5

=> 21M d => d ∈ Ư(21) = { 3 ; 7}

0,5

Mà 21n + 7 Không chia hết cho 3 => d ≠ 3
Ta lại có 21n + 7 M 7 => 18n + 3 M 7 => 18n + 3 – 21 M 7
=> 18(n - 1) M 7 mà (18; 7) = 1 => n – 1M 7 = > n = 7k + 1(k ∈ N)
Vậy để phân số
Câu 3
( 2đ)

18n + 3
có thể rút gọn được thì n = 7k + 1(k ∈ N)
21n + 7

x2 + 45 = y2 => y2 > 45. Do đó y là số nguyên tố lẻ
Suy ra x là số nguyên tố chẵn nên x = 2. Từ đó ta có:
y2 = 4 + 45 suy ra y2 = 49 => y = 7

0,5
0,25

0,5
0,5
1,0

Câu 4
(6 đ)

0,5

a.Om là tia phân giác

=>

On là tia phân giác

=>

0,5
0,5


=>

+

=

)=

b) Om và Om’ là hai tia đối nhau =>
+)

<

=>

=>

+

=

Mặt khác

+

Mà

+

0,5

=
nằm

giữa

Om

và

Om’ 0,5

(1)
=

Từ (1) và (2) =>
+)

Oz

1,0

=

0,5

(2)

0,5

=
=

=

0,5
=

( vì Om là tia phân giác của

)

0

=>

= 150
c.Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được 1 góc
đỉnh O .
=>Có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc
đỉnh O.
=> Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là :
= 4058210 (góc)
Vậy có 4058210 góc.
Bài 5
(2,0đ)

0,5

0, 5

11 a 23
< <
vµ 8b - 9a = 31
17 b 29
31 + 9a 32 − 1 + 8a + a
=
8b - 9a = 31 ⇒ b =
∈ N ⇒ (a-1) M 8
8
8

T×m a,b ∈ N sao cho

⇒ a = 8q + 1(q ∈ N)

31 + 9(8q + 1)
= 9q + 5
b=
8

11 8q + 1 23
⇒
<
<
17 9q + 5 29

11(9q+5) < 17(8q+1) ⇒ 37q > 38
29(8q+1) < 23(9q+5) ⇒ 25q < 86
q=2⇒

a 17
=
b 23

1,0

⇒q>1
⇒ q < 4 q {2; 3}

q=3

a 25
=
b 32

phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai

Đề thi olympic lớp 7
Năm học 2014 - 2015

Đề chính thức

Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
(không kể thời gian giao đề )

1,0


Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết:
5

1
1

a.  x −  =
2
243

b. 2 x − 1 − x = 1

c.

3 1

2
− x >
5 2
5

Câu 2: (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng đa thức x2 – 2x + 2 vô nghiệm
a c
b
3
= . Với ≠ ± Chứng minh:
b d
d
2
2a + 3c 2a − 3c
a 2 + c 2 ac
=
=
1)
2) 2
2b + 3d 2b − 3d
b + d 2 bd

b) Cho tỉ lệ thức

Câu 3: ( 4,0 điểm)
a) Tìm x biết: x + 3 − 2x = x − 4

b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B =

8−x
đạt giá trị nhỏ nhất.
x −3

Câu 4: (5,0 điểm)
Cho ∆ ABC nhọn, AD vng góc với BC tại D. Xác định I; J sao cho AB là trung
trực của DI, AC là trung trực của DJ ; IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K. Chứng minh
rằng :
a) ∆ AIJ cân
b) DA là tia phân giác của góc LDK
c) BK ⊥ AC ; CL ⊥ AB
d) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng góc IAJ có số đo
khơng đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5: ( 1,0 điểm)
Tìm x, y thuộc Z biết: 25 − y 2 = 8( x − 2009) 2
----------- Hết ----------(giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm)
phßng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai

Hớng dẫn chấm thi olympic

Năm học 2014 - 2015
Môn thi : Toán Lớp 7

Cõu

Túm tt nội dung hướng dẫn

Điểm

4

4

1

 1
a.  x −  =  ± 
2

 3
1
1
5
=> x − = => x =
2
3
6
1
1
1
hoặc x − = − => x =
2
3
6

0,5
0,5
0,5

Vậy x =

5
1
hoặc x =
6
6

0,5

b. 2 x − 1 − x = 1
Câu 1
(6 đ)

1
ta có 2x – 1 – x = 1 => x = 2 (thoả mãn)
2
1
Nếu x < ta có –2x + 1 – x = 1 => x =0 (thoả mãn)
2

Nếu x ≥

Vậy x = 2 hoặc x = 0
c.

3 1
2
− x >
5 2

5
3 1
2
 − x>

5 2
5
3 1
2
hoặc − x < −

5 2
5

Bài 3
( 4đ)

0,5

0,75

x>2

0,75
2
hoặc x > 2
5

a) x2 – 2x + 2 = x2 – 2x +1 + 1= ( x- 1 )2 +1
Vì ( x- 1)2 ≥ 0 với ∀ x nên ( x- 1)2 + 1 ≥ 1 với ∀ x. Do đó đa thức đã cho vơ

nghiệm
b
3 a c 2a 2c 3a 3c 2a + 3c 2a − 3c
=
=
=
=
=
b) 1) Với ≠ ± ; = =
d
2 b d 2b 2d 3b 3d 2b + 3d 2b − 3d
a c
a2 c2 a2 + c2
2) = ⇒ 2 = 2 = 2
(1)
b d
b
d
b +d2
a c
a2 c2
ac ( 2 )
= ⇒ 2 = 2 =
b d
bd
b
d
Từ 1 và 2 suy ra ĐPCM

a

0,75

2
5

x<

Vậy x <
Bài 2
( 4đ )

0,75

0,5
1,0
1,0
1,0
1,0

x + 3 − 2x = x − 4 (1)

Lập bảng xét dấu:
x
x+3
x-4

-

-3

0

4
+
-

0

+
+

0,5đ


Xét khoảng x < 3, ta có (1) trở thành: -2x = 7 ⇔ x = -3,5 (thuộc
khoảng đang xét).
Xét khoảng −3 ≤ x ≤ 4 ta có (1) trở thành:
0.x = 1 (Khơng có giá trị nào của x thoả mãn)
Xét khoảng x > 4, ta có (1) trở thành: -2x = -7 ⇔ x = 3,5 (không
thuộc khoảng đang xét)
Kết luận: Vậy x = -3,5

b

Biến đổi B =

1đ
0,5đ

8−x

5 − ( x − 3)
5
=
=
−1
x −3
x −3
x −3

0,5đ

5

B đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ x − 3 nhỏ nhất.

0,5đ

5

Xét x > 3 và x < 3, ta được x − 3 có giá trị nhỏ nhất bằng -5 tại x = 2
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của B bằng -6 tại x = 2
Câu 4 : (5 điểm)
Vẽ hình ghi giả thiết, kết luân: 0,5đ

a) Do AB ; AC là trung trực của AB.
=> AI = AD
AD = AJ
=> AI = AJ => ∆AIJ cân tại A.
 
I 1 = D1

∆ ALI = ∆ ALD (c.c.c)
b)
=>

(1đ)

0,5đ
0,5đ






=> D2 = J 2
) )
=> I1 = J 2
(1đ)


=> D1 = D 2

=> DA là tia p/g của LDK
c) + Chứng minh được KC là phân giác ngoài tại đỉnh K của tam giác DLK.
+ Chứng minh được DC là phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác DLK.
Suy ra LC là tia phân giác trong tại đỉnh L của tam giác DLK
Mà AB cũng là phân giác ngồi tại đỉnh L của tam giác LDK
Hay CL vng góc với AB tại L.
Chứng minh tương tự: BK vơng góc với AC tại K
(1đ)

ˆ
ˆ
d) CM được IAJ = 2 BAC (không đổi)
(0, 75 đ)
ˆ
* ∆ AIJ cân tại A có IAJ khơng đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bên
AI nhỏ nhất.
Ta có AI = AD ≥ AH (AH là đường vng góc kẻ từ A đến BC)
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D ≡ H
(0, 75đ)
Vậy khi D là chân dường vng góc hạ từ A xuống BC thì IJ nhỏ nhất.
TT : ∆ AKD = ∆ AKJ (c.c.c)
Mà ∆ AIJ cân (câu a)

Bài 5: (1 đ)
Ta có

25 − y 2 = 8(x − 2009) 2
8(x-2009)2 = 25- y2
8(x-2009)2+y2=25(*)

Vì y2 ≥ 0 nên (x-2009)2 ≤

(0.25đ)

25
, suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1
8

2

(0.25đ)

2

Với (x -2009) =1 thay vào (*) ta có y = 17 (loại)
Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*)
ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ∈ Ơ )

(0.25)

T ú tỡm c

(0.25 )

(x=2009; y=5)

phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai

Đề thi olympic lớp 8
Năm học 2014 - 2015

Đề chính thức

Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
(không kể thời gian giao đề )

Cõu 1: (6,0 điểm)

 1 − x3

1 − x2

:
− x
1. Cho biểu thức A = 
2
3 với x ≠ -1; x ≠ 1.
 1− x
 1− x − x + x


a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tìm giá trị của x để A < 0.
2. Giải phương trình: x 4 - 30x 2 + 31x - 30 = 0
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
x 2 − xy = 6 x − 5 y − 8

2. Chứng minh rằng nếu m ≠ 5 thì m = a 4 + 4 không là số nguyên tố.
Câu 3: ( 3,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết:
A = (x-1)4 + (x - 3)4 + 6 (x - 1)2 (x - 3)2
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a. Tính tổng :

HD HE HF
+

+
.
AD BE CF

b. Chứng minh : BH.BE + CH.CF = BC 2 .
c. Chứng minh : H cách đều ba cạnh tam giác DEF.
d. Trên các đọan HB, HC lấy các điểm M, N tùy ý sao cho HM = CN.
Chứng minh đường trung trực của đoạnn MN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: ( 1,0 điểm)
Tìm số nguyên n sao cho : 2n3 + n2 + 7n + 1 M (2n – 1)
----------- Hết ----------(giám thị coi thi không gii thớch gỡ thờm)
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai

Hớng dẫn chấm thi olympic

Năm học 2014 - 2015
Môn thi : To¸n

Câu 1

(6đ)

1

Nội dung trình bày
a) Với x khác -1 và 1 thì :
1 − x3 − x + x2
(1 − x)(1 + x)
:

A=
1− x
(1 + x)(1 − x + x 2 ) − x(1 + x)

Líp 8
Điểm
1,0


(1 − x)(1 + x + x 2 − x)
(1 − x)(1 + x)
:
=
1− x
(1 + x)(1 − 2 x + x 2 )
1
2
= (1 + x ) : (1 − x)
= (1 + x 2 )(1 − x)

0,5
0,5

b)Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 + x 2 )(1 − x) < 0 (1)
Vì 1 + x > 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 − x < 0
⇔ x > 1 KL:..
2
x 4 - 30x 2 + 31x - 30 = 0 <=> ( x - x + 1) ( x - 5 ) ( x + 6 ) = 0 (*)
2

2

1 2 3
) + > 0 ∀x (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0
2
4
x - 5 = 0
x = 5
⇔
⇔
x + 6 = 0
 x = - 6 Kết luận nghiệm

Vì x2 - x + 1 = (x -

Câu 2
(4đ)

0,75
0,75
0,5

1. x 2 − xy = 6 x − 5 y − 8 ⇔ x 2 − 6 x + 8 = y ( x − 5) (2)
x 2 − 6x + 8
(vì x=5 khơng là nghiệm (2))
x−5
3
⇔ y = ( x + 1) +
x+5
vì x,y nguyên nên x-5 là ước của 3 ⇔ x-5∈ {-1,1,3,-3} hay

x ∈ { 4,6,8,2}
⇔ y=

x
y

Bài 3

1,0
1,0

2
0

6
8

4
0

8
8

Vậy nghiệm phương trình (x,y)=(2,0);(4,0);(6,8);(8,8)
2. m = a 4 + 4 = (a 4 + 4a 2 + 4) − (2a) 2
= (a 2 + 2 + 2a)(a 2 + 2 − 2a)
=[( a 2 + 2a + 1) + 1][(a 2 − 2a + 1) + 1]
=[( a + 1) 2 + 1][(a − 1) 2 + 1]
vì (a + 1) 2 ≥ 1∀a, (a − 1) 2 ≥ 0∀a
nên giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ nhất là 1 khi a=-1

giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ hai là 1 nếu a=1
cịn các trường hợp khác là tích >1
Vậy ngồi a=1 hoặc a=-1 khi đó m=5 thì có thể phân tích thành
tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên m không thể là số nguyên tố.
Đặt a = x - 1, b =3-x ta có a + b = 2
A = a4 + b4 + 6(ab)2 = (a2+b2)2 + 4a2b2

1đ

1đ

1đ

1đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ


0,5đ

2

2
= ( a + b ) − 2ab  + 4a 2b 2



= ( 4 − 2ab ) + 4a 2b 2

2

= 8a 2b 2 − 16ab + 16

0,5đ

= 8(ab − 1) 2 + 8 ≥ 8

Dấu “=” xảy ra a + b = 2 và ab = 1  a = b = 1
Suy ra x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất A bằng 8 tại x = 2
Bài IV

A

E

F

H
M

I
B

K
N

D

C

O

a)
(2đ)

b)
(1,5)

c)
(1,5đ)

d)

S ( HBC )
HD
Trước hết chứng minh: AD = S ( ABC )
HE S ( HCA) HF S ( HAB )
=
=
Tương tự có: BE S ( ABC ) ; CF S ( ABC )

S ( HBC ) + S ( HCA) + S ( HAB )
HD HE HF
+
+
S ( ABC )
Nên AD BE CF =
HD HE HF

+
+
⇒ AD BE CF = 1
Trước hết chứng minh ∆ BDH : ∆ BEC
⇒ BH.BE = BD.BC
Vµ ∆ CDH : ∆ CFB ⇒ CH.CF = CD.CB.
⇒ BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (đpcm)
·
·
Trước hết chứng minh ∆ AEF : ∆ ABC ⇒ AEF = ABC
·
·
⇒ CED = CBA
∆
: ∆

Và CDE
CAB
·
⇒ ·
AEF = CED mà EB ⊥ AC nên EB là phân giác của góc DEF.
Tương tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE.
Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF
nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đọan MN

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
0,5
0,5

0,5
0,5
0,5


·

(1đ)

·

và HC, ta có ∆ OMH = ∆ ONC (c.c.c) ⇒ OHM = OCN .(1)
·
·
Mặt khác ta cũng có ∆ OCH cân tại O nên: OHC = OCH .(2)
·
·
Từ (1) và (2) ta có: OHC = OHB ⇒ HO là phân giác của góc BHC
Vậy O là giao điểm của trung trực đọan HC và phân giác của
góc BHC nên O là điểmm có định.
Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O
2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5

Câu 5

Để 2n3 + n2 + 7n + 1 M 2n - 1 thì 5 M 2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5)

 2n
 2n
⇔ 
 2n

 2n

−
−
−
−

0,25
0,25
O,25
0,25

0,5

1=-5
n = - 2
n = 0
1 = -1
⇔
n = 1
1=1

1=5
n = 3

Vậy: n ∈ { − 2; 0; 1; 3 } thì 2n3 + n2 + 7n + 1 M 2n – 1

0,5

********************

Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác ở đây:
(GIỮ PHÍM CTRL VÀ CLICK VÀO ĐƯỜNG LINH MÀU XANH NÀY):

/>