Đề thi học kì 1 toán 11 (4)

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
TỔ TOÁN
KIỂM TRA KỌC KÌ I
Môn TOÁN - lớp 11
(Thời gian làm bài: 90 phút)

Bài 1 (3 điểm). Giải các phương trình sau
a)
2
cos 3sin 3 0+ + =x x
.
b)
sin 2 osx
0
1-sinx
x c−
=
c)
1 t anx
1 sin 2
1 t anx
x
−
= +
+

Bài 2 (2 điểm). Cho tập hợp
{
}
1;2;3;4;5;6;7;8;9X =

a) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau được lấy trong tập X.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau được lấy trong tập X, trong đó
có đúng 2 chữ số chẳn và hai chữ số chẳn này không đứng liền kề nhau.
Bài 3 (2 điểm). Trong một lớp học có 8 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,025.
Lớp học đó có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 6 bóng đèn sáng. Tính xác suất để lớp học đó
không có đủ ánh sáng.
Bài 4 (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng
: 2 1 0d x y− + = . Gọi
1
d là
ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ
( )
2;0v =

. Viết phương trình của đường thẳng
1
d .
Bài 5 ( 2 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, điểm M thay đổi
trên cạnh SD, M không trùng S.
a) Dựng giao điểm N của SC với mặt phẳng (ABM); Tứ giác ABNM là hình gì? Có
thể là hình bình hành không?
b) Gọi I là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: khi M chạy trên cạnh SD
thì I chạy trên một đường thẳng cố định. Hãy chỉ ra đường thẳng cố định đó.
Hết



www.VNMATH.com
ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KỲ I
MÔN TOÁN LỚP 11 (NC) – NĂM HỌC 2012 – 2013

Bài câu Bài giải gợi ý Điểm
Bài 1 a)
( )
2
sin 3sin 4 0⇔ − − =PT x x

0.25
sin 1
sin 4( )
= −

⇔

=

x
x l


0.5
sin 1 2
2
x x k
π
π
= − ⇔ = − +

0.25
b)
Điều kiện:

1 sinx 0 sinx 1 x 2
2
k
π
π
− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ +

0,25
(Pt sin 2 osx = 0 cosx(2sinx-1) = 0x c⇔ − ⇔
osx=0
1
sinx=
2
c


⇔



0.25

osx=0
2
c x k
π
π
⇔ = +

2 ,

1
6
sinx=
2 5
2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +






0.25
Đối chiếu với điều kiện, phương trình có 3 họ nghiệm:
5
2 ; 2 ; 2
2 6 6

x k x k x k
π π π
π π π
= − + = + = +


0,25
c)
ĐKXĐ:
cos 0
2
, , '
t anx 1
'
4
x k
x
k k Z
x k
π
π
π
π

≠ +

≠


⇔ ∈

 
≠ − −


≠ +




0,25



( ) ( )
2 3cos sinx
sinx cos cos sinx sinx cos
cos sinx
x
pt x x x
x
−
⇔ = + ⇔ − = +
+


0.25
Chia 2 vế của pt cho
3
os 0c x ≠
, có

( ) ( )
( )
3
2 2
1 t an x t anx 1 t an x t anx 1
+ − + = +


0.25
( )
( ) ( )
3
2
1 t an x 1 t anx t anx 1⇔ + − = +

( )
2
t anx t an x t anx 2 0⇔ + + =
t anx 0 ,x k k Z
π
⇔ = ⇔ = ∈ (Thỏa đ/k)


0.25

www.VNMATH.com

Bài2

a)
Số lẻ có 6 chữ số có dạng
{
}
, 1;3;5;7;9abcdef f ∈

Chọn f có 5 cách

0.25
Chọn abcde có
5
8
6720A = cách
0.5
Vậy, số các số lẻ cần tìm có
5
8
5. 33600A = (số)
0.25
b)
Số lẻ có 6 chữ số có dạng
{
}

, 1;3;5;7;9abcdef f ∈

Chọn f có 5 cách
Chọn 3 chữ số lẻ trong 4 chữ số lẻ còn lại của tập X rồi xếp thứ tự
cho chúng, có
3
4
24A = cách



0.25
Chọn 2 chữ số chẵn trong 4 chữ số chẵn của tập X, có
2
4
6C = cách
0.25
Đưa 2 chữ số chẳn đó vào 2 trong 4 vị trí (giữa hai chữ số lẻ hoặc
chữ số ở hàng cao nhất của số cần tìm), có
2
4
12A = cách
(Minh họa:
C C C C
L L L L )
0.25
Vậy, có 5.
3
4
A .

2
4
C .
2
4
A =8640 (số)
0.25
Bài 3
Xác suất để mỗi bóng sáng là:
1 39
1
40 40
− =

0,25
Biến cố A: “Lớp học có đủ ánh sáng”, A : “Lớp học không có đủ ánh
sáng”
B: “6 bóng đèn sáng, 2 bóng đèn bị cháy”.
C: “7 bóng đèn sáng, 1 bóng đèn bị cháy”.
D: “8 bóng đèn sang”.


0.25
( )
2
8
6 2
39 1
. . 0.015
40 40

P B C
   
= ≈
   
   

( )
1
8
7
39 1
. . 0.1675;
40 40
P C C
 
= ≈
 
 

( )
8
39
0.8167
40
P D
 
= ≈
 
 

(Đúng


P(B) và P(D) hoặc P(C) và P(D) thì cho t
ố
i đa)

0,5

; , ,A B C D B C D= ∪ ∪

đôi một xung khắc.
0,25
( ) ( ) ( ) ( )

P A P B P C P D
= + +


2 1
8 8
6 2 7 8
39 1 39 1 39
. . . . 0.9992
40 40 40 40 40
C C
   
       
+ + ≈
   

       
       
 
 
 
 

0,25

0.25
( )
( )
1 0,0008
P A P A= − ≈

0,25
Bài 4
Phương trình
1
: 2 0d x y m− + =
.
0.25
Lấy (1;1)A d∈ và gọi
( )
'
v
A T A=

thì
( )

' 3;1A .
0,25
Vì
( )
1
' 3;1A d∈ nên 3 2 0 1m m− + = ⇔ = −
0.25
Vậy
1
: 2 1 0d x y− − =
0,25
www.VNMATH.com
Bài 5 a)



(Vẽ đúng thiết diện là cho
điểm)



0.25






Có
/ /

( )
( )
( ); ( )
CD AB
CD Mp SCD
AB Mp ABM
M Mp SCD M Mp ABM


⊂


⊂


∈ ∈


nên giao tuyến của hai mp (SBC) và (ABM) đi qua M và song song
với CD.

0.25

0.25
Trong mp(SCD), vẽ MN//CD, N ở trên SC. Suy ra N là giao điểm
của SC với mp(ABM)
0.25
Có
/ /
/ /

/ /
MN CD
MN AB
AB CD

⇒


nên ABNM là hình thang.
Khi M trùng D thì ABNM là hình bình hành.
0.25
b)
Có
( )
( ) ( )
( )
I AM SAD
I SAD ABC
I BN SBC
∈ ⊂

⇒ ∈ ∩

∈ ⊂

= d
0.25
Do hai mp (SAD) và (SBC) cố định nên giao tuyến d của chúng cố
định. Vậy, I chạy trên đường thẳng cố định.
0.25

Có
/ /
( )
( )
CB AD
CB mp SCB
AD mp SAD
S chung


⊂


⊂




nên nên giao tuyến d của hai mp (SBC) và (SAD) đi qua S và song
song với CB, AD.
0.25



d
I
N
D
A
B

C
S
M
www.VNMATH.com