Đề thi học sinh giỏi tỉnh năm 2011 THCS đề số (3)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ

Đề chính thức

Số báo danh



KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011

Môn thi: Toán
Lớp: 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).

Câu I. (5,0 điểm).
1) Cho phương trình:
2
2210.xmxm−+−=
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm

12
,
x
x với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
12

22
12 12
23
2(1 )
xx
P
x
xxx
+
=
++ +
khi m thay đổi.
2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn
111
.
abc
+
=
Chứng minh rằng
222
A
abc=++
là số hữu tỉ.
(b). Cho ba số hữu tỉ
,,
x
yz
đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

222

111
()()()
B
x
yyzzx
=++
−−−
là số hữu tỉ.
Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình:
22
10
.
119
xx
xx
⎛⎞⎛⎞
+=
⎜⎟⎜⎟
−+
⎝⎠⎝⎠

2) Giải hệ phương trình:
2
2
3
23
11
14
1
4.

xx
yy
xx
x
yyy
⎧
⎛⎞
+
++=
⎪
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎨
⎪
+
++=
⎪
⎩

Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB,
sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.
Tính

.BPE

Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (OAB
∉
). P là điểm di động
trên đoạn thẳng AB (

,PAB≠ và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm
P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường
tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (
NP
≠
).
1) Chứng minh rằng


ANP BNP= và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.
Câu V. (4,0 điểm).
1)
Cho
12 45
, , ,aa a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn
12 45
130.aa a
<
<< ≤ Đặt
1
, ( 1,2, ,44).
jj j
da a j
+
=− = Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu
j
d xuất hiện ít
nhất 10 lần.
2)

Cho ba số dương ,,abcthoả mãn:
22 22 22
2011.ab bc ca++ ++ +=
Chứng minh rằng:
222
1 2011
.
22
abc
bc ca ab
++≥
++ +

HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
.



SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC


(Gồm có 3 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN
LỚP: 9 THCS

Ngày thi: 24 - 3 - 2011

Câu Ý
Hướng dẫn chấm
Điểm
Ta có
2
'( 1) 0,mmΔ= − ≥ ∀
nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.
0,5
Theo định lí viet, ta có
12 12
2, 2 1xx mxx m
+
==−
, suy ra
2
41
42
m
P
m
+
=
+

1,0
1)
2,5đ
2

2
(2 1)
11.1,
42
m
Max P
m
−
=− ≤ =
+
khi
1
.
2
m
=

1,0
Từ giả thiết suy ra 2220ab bc ca
−
−=
0,5
2a)
1,5đ

Suy ra
2
()Aabcabc=+−=+−
là số hữu tỉ
1,0

Đặt
111
,,abc
x
yyzxz
===
−−−
suy ra
111
.
abc
+
=
0,5
Câu I
6 đ
2b)
1,0đ
Áp dụng câu 2a) suy ra
222
111
()()()
B
x
yyzzx
=++
−−−
là số hữu tỉ.
0,5
Đk: 1.

x
≠± Phương trình tương đương với
2
2
222
222
10 2 2 10
20.
11 19 1 19
xx x x x
xx x x x
⎛⎞
⎛⎞
+− =⇔ −−=
⎜⎟
⎜⎟
+− − − −
⎝⎠
⎝⎠

1,0
Đặt
2
2
2
,
1
x
t
x

=
−
ta được phương trình
2
10 5
0
93
tt t
−
−=⇔= hoặc
2
3
t
−
=
0,5
Với
5
,
3
t = ta được
2
2
25
13
x
x
=
−
(vô nghiệm)

0,5
1)
2,5đ

Với
2
,
3
t =−
ta được
2
2
22
13
x
x
=
−
−
suy ra
1
.
2
x
=
±

0,5
Đk:
0.y ≠

Hệ tương đương với
2
2
3
3
11
4
11
4.
xx
yy
x
xx
yy y
⎧
+++=
⎪
⎪
⎨
⎛⎞
⎪
+
++=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩

0,5
Câu II

6 đ
2)
2,5đ


Đặt
1
,
ux
y
x
v
y
⎧
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
ta được hệ
22
32
24 440 2
1.
24 42
uuv u u u
v

uuv uu v
⎧⎧
+
−= −+= =
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨⎨
=
−= +−=
⎪⎪
⎩
⎩⎩


1,0


Với
2
1,
u
v
=
⎧
⎨
=
⎩
ta được
1

2
1
1.
1
x
x
y
xy
y
⎧
+=
⎪
=
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
=
⎩
⎪
=
⎪
⎩
(thoả mãn điều kiện)
1,0
Kẻ EF AC⊥ tại F,
D
GBC
⊥
tại G.

Theo giả thiết
()()
A
DPE BPC
SS
=


() ()
.
ACE BCD
SS⇒=

0,5
Mà
A
CBC EFDG=⇒=
và


AC
=

Suy ra
.
A
EF CDG AE CGΔ=Δ ⇒=

0,5
Do đó



()AEC CDB c g c DBC ECAΔ=Δ −−⇒ =

0,5
Câu
III
2đ






0
60BPE PBC PCB PCD PCB⇒=+=+=

0,5
1,0


Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến
chung của (O) với (C), (D) tại A, B
tương ứng.
Suy ra



.ANP QAP QBP BNP===
Ta có




ANB ANP BNP QAP QBP=+=+

0
180 AQB=− , suy ra NAQB nội tiếp (1).
Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B
cùng nằm trên một đường tròn.


0,5




0,5

Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên
một đường tròn.
0,5

1)
3,0đ

Ta có




22OCN OAN OBN ODN===
,
suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm
trên một đường tròn.











0,5
Câu
IV
4,0đ




2)
1,0đ
Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua
các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố
định.
1,0

1 2 44 2 1 3 2 45 44 45 1
( ) ( ) ( ) 130 1 129.dd d aa aa a a a a+++ = − + − ++ − = −≤ −= (1)
0,5
1)
2,0
đ
Nếu mỗi hiệu
( 1,2, ,44)
j
dj
=
xuất hiện không quá 10 lần thì
12 44
9(1 2 3 4) 8.5 130dd d+++ ≥ ++++ = mâu thuẫn với (1).
Vậy phải có ít nhất một hiêụ ( 1, ,44)
j
dj
=
xuất hiện không ít hơn 10 lần


1,5
Câu V
2đ
2)
2,0đ
Ta có
22 2
2( ) ( )ab ab+≥+.
0,5

A
O
N
C
D
B
P
Q
E
H




GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.










Suy ra
()()()
222 2 2 2
22 22 2 2
222

abc a b c
bc ca ab
bc ca ca
++≥ + +
++ +
+++

Đặt
22 2 2 22
,,,
x
bcy caz ab=+ =+ =+

suy ra
222 22 2 2 22
22 22 22
yzx zxy xyz
VT
x
yz
+− +− +−
≥++

22 2
1( ) () ( )
22 2
22
yz zx xy
x
yz

xyz
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++
≥−+−+−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦



1,0





22 2
1( ) () ( )
23 23 23
22 2
22
yz zx xy
x
xyyzz
xy z
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
++ +

≥+−++−++−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦

()()()
1
2( ) 3 2( ) 3 2( 3
22
yz x zx y xy z≥+−++−++−
⎡⎤
⎣⎦

Suy ra
1 1 2011
()
22
22
VT x y z≥++=


0,5