đề chọn đội tuyển hsg môn toán thpt

phòng giáo dục-đào tạo đức thọ
đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán
Năm học: 2008-2009
Thời gian: 150 phút
Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình:
(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 2: 1/ Cho
= + + + + +
+
1 1 1 1
S
1.2008 2.2007 k.(2008 k 1) 2008.1
So sánh S với
2008
2.
2009
2/ Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008. Chứng minh rằng:
+ + =
+ + + + + +
2008a b c
1
ab 2008a 2008 bc b 2008 ca c 1
Bài 3: Cho x =
+
3 3
1 2 4
. Tính giá trị của P = x
2009
3x
2008
+ 9x

2007
9x
2006
+ 2009
Bài 4: Giải phơng trình:
(
)
( )
+ + +
2
x 2009 x 2009 x x
= 2009
Bài 5: Cho 0
0
< < 90
0
. Chứng minh rằng:
+ <
2008 2009
sin cos 1
Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ +
+ + + + + +
1 1 1
2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b

+ +
1
ab bc ca

Bài 7: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + 1 với x R
Bài 8: Cho ABC có ba cạnh là a, b, c, có chu vi là 2p và diện tích S; r là bán kính đờng tròn nội
tiếp; r
a
là bán kinh đờng tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác. Chứng minh: p(p a)
A
tg
2
= S
Bài 9: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. M chuyển động trên nửa đờng tròn. Xác định vị
trí điểm M để MA +
3
MB đạt giá trị lớn nhất
Bài 10: Cho dãy số
{ }
n
a
đợc xác định theo công thức:

=



= + +


1
3 2
n n 1
a 2

a 3a 2n 9n 9n 3; n = 2,3,
. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các
tổng tơng ứng a
1
+ a
2
+ a
p 1
đều chia hết cho p
Hết
H ớng dẫn chấm
Bài 1: (2 đ) Từ (2m - 1) x + my + 3 = 0 m(2x + y) + 3 x = 0 1đ
Với mọi m thì
+ = =



= =

2x y 0 x 3
3 x 0 y 6
1đ
Bài 2: (3 đ) 1/ Ta chứng minh:

+
1 2
a b
ab
0,5đ
áp dụng BĐT trên đợc:

+ + + =
2 2 2 2008
S 2.
2009 2009 2009 2009
1đ
2/ Từ abc = 2008 suy ra a; b; c khác 0. Thay abc = 2008 ta có: 0,5đ
+ +
+ + = =
+ + + + + + + +
2008 b bc bc b 2008
1
bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008
1đ
Bài 3: (2 đ) Từ x =
+
3 3
1 2 4

( )
+ =
3
x 1 2 3
3 x = x
3
2

x
3
3x
2

+ 9x 9 = 0 1đ
P = x
2009
3x
2008
+ 9x
2007
9x
2006
+ 2009 = x
2006
(x
3
3x
2
+ 9x 9) + 2009 = 2009
1đ
Bài 4: (2 đ) ĐK: x 0 0,5đ
Ta có
( )
(
)
+ = +
2
2009 2009 x x 2009 2009 x x
(1) 0,5đ
(
)
( )
+ + = + +

2
2009 2009 x x 2009 2009 x x
(2) 0,5đ
Cộng (1) và (2) suy ra: x =
x
hay x = 0 và x = 1 0,5đ
Bài 5: (2 đ). Ta dễ chứng minh đợc sin; cos < 1 với < 90
0
1đ
Nên sin
2008
< sin
2
và cos
2009
< cos
2
nên
+ <
2008 2009
sin cos 1
1đ
Bài 6: (2 đ)
( ) ( ) ( ) ( )
=
+ + + +
1 bc
2a b 2a c 2ac bc 2ab bc

( )

+ +
2
bc
ab bc ca
(Cauchy) 1đ
Tơng tự
( ) ( )
( )

+ +
+ +
2
1 ca
2b c 2b a
ab bc ca
;
( ) ( )
( )

+ +
+ +
2
1 ab
2c b 2c a
ab bc ca
0,5đ
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu = xảy ra khi a = b = c 0,5đ
Bài 7: (2 đ). Ta có P(x + 1) + x
2
= p(x) + x

2
+ 2x + 1 P(x + 1) (x + 1)
2
= P(x) x
2
0,5đ
Đặt Q(x) = P(x) x
2
, khi đó Q(x) = Q(x + 1) 0,5đ
Cho x = 0; 1; 2; nhận đợc Q(0) = Q(1) = Q(2) = = Q(n) = 0,5đ
Suy ra phơng trình Q(x) Q(0) = 0 có vô số nghiệm. Do đó Q(x) Q(0) 0 P(x)
x
2
= Q(0) = P(0). Vậy P(x) = x
2
+ a với a là hằng số tuỳ ý. Thử lại ta thấy thoả mãn bài toán
0,5đ
Bài 8: (2 đ). Chứng minh đợc S = (p a)r
a
và r
a
= p
A
tg
2
1,5 đ
S = p(p a)
A
tg
2

0,5đ
Bài 9: (2 đ). Chứng minh đợc
ã
AMB
= 90
0
. Theo Pitago: MA
2
+ MB
2
= AB
2
= R
2
0,5đ
áp dụng BĐT:
( ) ( )
+ + +
2 2 2 2
ax by a b x y
ta có MA +
3
MB 4R 1đ
Dấu = xảy ra khi
3
MA = MB hay M ở vị trí sao cho
à
A
= 60
0

0,5đ
Bài 10: (1 đ). Theo giả thiết
( ) ( )


+ = + = + =

3 3
3 2
n n 1 n 2
a n 3 a n 1 3 a n 2

=
( )

+
n 1
1
3 a 1
= 3
n
. Vậy nên a
n
= 3
n
n
3
với mọi n N
*
. 0,5đ

Với p = 2 thì a
1
= 2
M
2
Với p > 2 thì a
1
+ a
2
+ a
p 1
=
( )
( )


+ + + + + +

3
2 p 1 3 3
3 3 3 1 2 p 1
Do
( )
+ M
3
3
k p k p
và
( )

+ + + = M
2 p 1 p
1
3 3 3 3 3 p
2
nên a
1
+ a
2
+ a
p 1

M
p 0,5đ