De chon Doi tuyen HSG du thi Cap tinh 92010-2011)

TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM
TỔ TOÁN – TIN
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH
GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN LỚP 12 - NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1. (5.0 điểm)
1/ Cho hàm số
( )
2 3
1 1x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
. Chứng minh rằng trên mặt phẳng toạ
độ tồn tại duy nhất một điểm vừa là điểm cực đại của đồ thị ứng với m nào đó
vừa là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với giá trị khác của m.
2/ Tìm m để phương trình
( )
4 3 2
2 1 0x mx m x mx− + + − + =
có nghiệm duy nhất
1x ≥
.
Bài 2. (5.0 điểm)
1/ Giải phương trình:
3

8 .2 2 0
x x
x x
−
− + − = (1)
2/ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = 4a. Các
mặt bên
( ) ( ) ( )
, ,SBC SAB SAC
lần lượt tạo với đáy các góc
0 0 0
, 90 30 , 60
. Tính
thể tích của khối chóp.
Bài 3. (5.0 điểm)
1/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM:
2 1 0x y+ + =
và
phân giác trong CD:
1 0x y+ − =
. Viết phương trình đường thẳng BC.
2/ Cho dãy
{ }
1 2
, ,...,
n
x x x
với
0 1
n

x< <
và
( )
1
1
1
4
n n
x x
+
− >
.
Chứng minh rằng:
1
lim
2
n
x =

Bài 4. (5.0 điểm)
1/ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
(
)
2
2 2 2 2
3 12
xy
A
x y x x y

=
+ + +
với
,x y∈¡

2/ Chứng minh rằng:
2 cos sin cos 1,x x x x+ + ≥ ∀ ∈ ¡
------------------------Hết-----------------------------
Họ và tên thí sinh: ………………………………………Số báo danh:………….
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Lời giải sơ lược
Bài 1.
a)
( )
2 2
2
2 1
'
x mx m
y
x m
− + −
=
−
;
1
2
1
' 0
1

x m
y
x m
= −

= ⇔

= +

BBT:
x -
∞
m-1 m m+1 +
∞

y’ + 0 - - 0 +
y
CĐ
-
∞
-
∞
+
∞
+
∞

CT
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 2
2 1 2 1 3
y f x x m m y x x x x x
y f x x m m y x x x x x
= = − + ⇒ = − + + = − − −
= = − + ⇒ = − − = − +
 CĐ
( )
1
P∈
:
2
2y x x= − − −
; CT
( )
2
P∈
:
2
3y x x= − +
( )
1
P ∩
( )
2

P
= A
1 7
;
2 4
−
 
−
 ÷
 
Vậy điểm A vừa là điểm cực đại và vừa là điểm cực tiểu ứng với các giá trị
m khác nhau.( ĐPCM).
b)
( )
4 3 2
2 1 0x mx m x mx− + + − + =

2
1 1
0x m x m
x x
   
⇔ + − + + =
 ÷  ÷
   
Đặt
1
, | | 2t x t
x
= + ≥

. Với
1 2x t
≥ ⇒ ≥
Cần tìm m để phương trình theo t:
2
0t mt m− + = có nghiệm
2t ≥

ta có pt:
2
0t mt m− + =

2
1
t
m
t
=
−
,
( )
2
1
t
f t
t
=
−
với
2t ≥

Dựa vào đồ thị hàm số f(t) ta có
4m ≥
1
1
0,5
1
1
0,5
Bài 2 a) ) D = R.
PT: 8 – x.
2
x
+
3
2
x−
- x = 0  8 – x.
2
x
-
8
2
x
- x = 0
 8(1+
1
)
2
x
- x(

2
x
+1) = 0 
8
(2 1) (2 1) 0
2
x x
x
x+ − + =

 (
2
x
+1)(
8 8
) 0
2 2
x x
x x− = ⇔ =
Vế trái nghịch biến, vế phải đồng biến
⇒
phương trình có nghiệm duy nhất x=2
1
1
0,5
b).
2,5
B
A
C

S
H
I
K
( ) ( ) ( )
0 0
;
, 30 , 60
SBC ABC SH BC SH ABC
HI AB HK AC SIH SKH
∧ ∧
⊥ ⊥ ⇒ ⊥
⊥ ⊥ ⇒ = =
Tính HK hoặc HI để suy ra SH
3
8 3
3
3
SABC
SH a V a= => =
Bài 3:
a) C
( )
: 1 0 ;1CD x y C t t∈ + − = => −
Vì M trung điểm AC =>
1 3
;
2 2
t t
M

+ −
 
 ÷
 
MK: M
:2 1 0BM x y∈ + + =
=> t = -7 => C(-7;8).
Kẻ AK
⊥
CD cắt CD tại I ( K
BC∈
).
=> Pttq của AK:
1 0x y− + =
=> I
( )
0;1
Ngoài ra:
ACK∆
cân tại C => K(-1;0)
Đường BC qua C,K nên có pt:
4 3 4 0x y+ + =
b) Vì
*
0 1,
n
x n N< < ∀ ∈
, nên dãy đã cho bị chặn.
Mặt khác
( ) ( )

1
1
1 1
4
n n n n
x x x x
+
− > ≥ −
và
0 1
n
x< <
nên
1n n
x x
+
>
Dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn
Đặt
lim
n
a x=
. Ta có
( )
1
1
1
4
n n
x x

+
≤ −

Nên
( ) ( ) ( )
2
1 1
1 1 1 1
lim 1 lim .lim 1 1 0
4 4 2
n n n n
x x x x a a a a
a
+ +
 
≤ − = − ⇔ ≤ − ⇔ − ≤ ⇔ = 
 ÷
 
 
1
1
0,5
0,5
1
1
a)
(
)
( )
(

)
(
)
( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
1
ó : . :
3 1 1 12
1 1 12
1
1
1 3 12
1 3 1 1 12
3 1 1 12
1 1 12 1 1
. : 1 12 ( 1) 3 ( )
3 12 4 3
1
1
'( ) 0 3 ( ) (3)

3
6
y
Ta c A t
x
x y
y x
t t
t
A
t t
t t
t
t
t u
u t u A f u
t u
u
f u A f u f
u
= =
 
 
 
 
 ÷
 + ÷ + +
 ÷
 ÷
 ÷

 ÷
 
 
 
 
− +
⇒ = = =
 
+ −
+ + +
+ + +
 ÷
 
+ − −
= = + ≥ ⇒ = =
+ +
= −

⇒ = ⇔ ⇒ = ≤ = ⇒

=

1
ax .
18
à : lim ( ) 0 0
u
M A
V f u MinA
→∞

=
= ⇒ =
b) Trên mặt phẳng toạ độ ta chọn :
( ) ( ) ( )
cos ;0 ; 0;cos ; sin ;0A x B x C x−
=>
( ) ( ) ( )
cos ;cos ; sin ; cos ; cos sin ;0AB x x BC x x CA x x
→ → →
= − = − − +
Ta có:
2 cos ; 1; sin cosAB x BC CA x x= = = +
Và
1.AB CA BC VT+ ≥ => ≥
0,5
1
1
1
0,5
I
B
A
C
M
D
K
Dấu bằng xảy ra <=> A, B, C thẳng hàng
osx=0
cosx=-sinx
c


⇔


2
4
x k
x k
π
π
π
π

= +

<=>


= − +


với
k ∈ ¢
1
Chú ý: Mọi cách giải khác nếu đúng cho điểm tối đa