đề kiểm tra chọn đội tuyển toán lớp 12

SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ LỚP 12 (2008 - 2009)
Tổ Toán Thời gian: 90 phút
Bài 1:Giả sử
0
x
là nghiệm của phương trình
3)12()223( +−=+
xx
, chứng minh
rằng khi đó
0
x
cũng là nghiệm của phương trình
9
cos2)12(
π
=+
x
Bài 2:Giải phương trình
xx sin6sin
216.4
2
=
với
π
20 ≤≤ x
Bài 3:Cho
0,,
>
cba

chứng minh:
333333
)()()()(8 accbbacba
+++++≥++
Bài 4:Trong mặt phẳng cho 2 tia Ox và Oy và một điểm M nằm giữa 2 tia đó. Hãy xác
định điểm A trên Ox sao cho MA kéo dài cắt Oy tại B thì tích MA.MB có giá trị
nhỏ nhất.
Bài 5:Cho hàm số
)(xfy
=
liên tục và thỏa điều kiện:
)(2)12(
2
xxfxf =−
với mọi
Rx
∈
Chứng minh rằng
0)(
=
xf
với mọi
]1;1[
−∈
x
.
ĐÁP ÁN TÓM TẮT
Bài 1:
3)12()223(
+−=+

xx
(1)
Đặt
0,)12(2
>+=
tt
x
ta có phương trình:
2
1
34
3
=−
tt
(2)
Tìm nghiệm
]1;1[
−∈
t
, đặt
παα
≤≤= 0,cost
ta có phương trình
9
7
;
9
5
;
92

1
3cos
2
1
cos3cos4
3
πππ
αααα
=⇔=⇔=−

Phương trình (2) có đủ 3 nghiệm nên không cần xét
]1;1[−∉t
Vì
0
>
t
nên
9
cos2)12(
9
cos
ππ
=+⇔=
x
t
(đpcm)
Bài 2:





=
=
⇔=
2
1
sin
1sin
216.4
sin6sin
2
x
x
xx
Bài 3:
333333
)()()()(8 accbbacba +++++≥++

)(3)(6
222222333
bccbaccaabbacba
+++++≥++⇔
Ta có:
babaa
2333
3
≥++
abbba
2333
3

≥++
cacaa
2333
3
≥++
acacc
2333
3
≥++
cbcbb
2333
3
≥++
bcbcc
2333
3
≥++
Suy ra
)(3)(6
222222333
bccbaccaabbacba
+++++≥++
(đpcm)
Bài 4:
B
P
Q
O
M
A

Gọi P cà Q lần lượt là hình chiếu của M trên Ox và Oy
Đặt
βα
==
∧∧
OBAOAB ,
ta có:
O
MQMP
O
MQMPMQMPMQMP
MBMA
cos1
.2
cos)cos(
.2
)cos()cos(
.2
sin.sin
.
.
+
≥
+−
=
+−−
==
βαβαβαβα
MBMA.
có giá trị nhỏ nhất khi A,B lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua M

và vuông góc với đường phân giác của góc xOy với Ox và Oy.
Bài 5:
)(2)12(
2
xxfxf =−
với mọi
Rx
∈
, suy ra
0)1()1(2)1(
=⇒=
fff
0)1()1(2)1(
=−⇒−−=
fff
Với giá trị
)1;1(
−∈
a
, xét dãy số





≥
+
=
=
−

)2(
2
1
1
1
n
x
x
ax
n
n
Thì dãy số
1
<
n
x
với mọi n, do đó
1
1
2
1
−
−
>
+
>
n
n
n
x

x
x
. Suy ra dãy số
n
x
có giới hạn
và giới hạn đó là 1.
Ta có
)(2)(
1 nnn
xfxxf
=
−
Nên
)(2)(
22
xfxaf
=