đề thi chọn hsg toán 9 đề 4

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS - năm học 2008 - 2009
Môn : Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức:
2 4 5 21 80
10 2
A
+ +
=

2. Giải phơng trình:
2 2
6 18 0x x x x + =
Bài 2: (3,0 điểm)
Cho phơng trình
( ) ( )
3 2
1 3 1 4 1 0 (1)m x m x x m+ + + =
(
m
là tham số).
1. Biến đổi phơng trình (1) về dạng phơng trình tích.
2. Với giá trị nào của
m
thì phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt, trong đó có 2
nghiệm âm.
Bài 3: (4,0 điểm)
1. Chứng minh rằng với hai số thực bất kì
,a b

ta luôn có:
2
2
a b
ab
+


ữ

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
2. Cho ba số thực
, ,a b c
không âm sao cho
1a b c
+ + =
.
Chứng minh:
16b c abc
+
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
3. Với giá trị nào của góc nhọn

thì biểu thức
6 6
sin cosP

= +
có giá trị bé nhất ?

Cho biết giá trị bé nhất đó.
Bài 4: (6,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các
cạnh BC, CA và AB lần lợt tại D, E và F. Đặt
, ,x DB y DC z AE= = =
.
a. Tìm hệ thức giữa
,x y
và
z
.
b. Chứng minh rằng:
2AB AC DB DC
ì = ì
.
2. Cho tam giác ABC cân tại A,
BC a
=
. Hai điểm M và N lần lợt trên AC và AB sao
cho:
2 , 2AM MC AN NB= =
và hai đoạn BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện
tích tam giác ABC theo
a
.
Bài 5: (3,0 điểm)
1. Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 ngời thì còn thừa một
ngời. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn
lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng mỗi ô tô chỉ
chở không quá 30 ngời.

2. Một tấm bìa hình chữ nhật có kích thớc
1 5ì
. Hãy cắt tấm bìa thành các mảnh để ráp
lại thành một hình vuông. Giải thích.
Hết
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2008 - 2009
Môn : toán
Đáp án và thang điểm:
B i
Cõu
Nội dung Điểm
1
(4 điểm)
1.1
(2 đ)
2 4 5 21 80
10 2
A
+ +
=

( )
2
21 80 1 4 5 2 5 1 2 5+ = + + = +
5 21 80 6 2 5 1 5+ + = + = +
( )
2
5 1
2 3 5 6 2 5

1
2( 5 1) 5 1 5 1
A


= = = =

0,5
0,5
1,0
1.2
(2 đ)
2 2
6 18 0x x x x + =
.
Điều kiện để phơng trình có nghĩa:
2
6 0x x
Đặt
( ) ( )
2 2 2
6 0 18 12 0t x x t x x t t= =
Khi đó phơng trình đã cho trở thành:
( )
2
12 0 0 3 ( 4 0t t t t t+ = = = <
loại)
2 2
1 2
1 61 1 61

3 6 9 0 15 0 ;
2 2
t x x x x x x
+
= = > = = =
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm:
1,2
1 61
2
x

=
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
2
(3 điểm)
2.1
( ) ( )
3 2
1 3 1 4 1 0 (1)m x m x x m+ + + =
( ) ( )
3 2 2
1 1 4 4 1 0m x m x mx x m + + + + =
( ) ( )
( )
( )
2 2

1 1 4 1 1 0m x x m x x + + =
( ) ( )
2
1 1 4 4 1 0x m x mx m

+ + + =

0,5
0,5
0,25
2.2
Ta có:

( ) ( )
( )
2
2
1 1 4 4 1 0
1 ( )
( ) 1 4 4 1 0 ( )
x m x mx m
x a
g x m x mx m b

+ + + =

=

= + + + =

0,5
2
Để phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phơng trình (b) phải có hai
nghiệm phân biệt khác 1, tơng đơng với:
1
1
1 1
' 1 3 0 1, 0,
3 3
(1) 0
9 0
m
m
m m m m m
g
m






= > < <

(*)
Với điều kiện (*), phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có một
nghiệm x = 1 > 0 và hai nghiệm còn lại x
1
và x
2
(x
1
< x
2
) là nghiệm của (b).
Do đó để (1) có 3 nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm âm thì x
1
< x
2
<0,
tơng đơng với:
1 2
1 2
4 1
1
0
1
1
1
1
4
4

4
1 0
0
1
m
P x x
m hay m
m
m hay m
m
m hay m
S x x
m


= = >


< >

+
< >



< >
= + = <


+

(**).
Kết hợp (*) và (**) ta có: Để phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó
có hai nghiệm âm thì cần và đủ là:
1 1
1
4 3
m hay m< < <
0,25
0,50
0,25
0,25
3
(4,0 điểm)
3.1
Ta có:
2
2 2 2 2
2 2
2 4 4
a b a ab b a ab b
ab ab
+ + + +

= =
ữ

( )
2
0, ,

4
a b
a b

= R
Vậy:
( )
2
2
, , 4 , ,
2
a b
ab a b a b ab a b
+

+
ữ

R R
Dấu đẳng thức xảy ra khi
a b=
0,25
0,25
0,25
0,25
Theo kết quả câu 3.1, ta có:
( ) ( ) ( )
2 2
4a b c a b c a b c

+ + = + + +

mà
1a b c+ + =
(giả thiết)
nên:
( ) ( )
2
1 4 4a b c b c a b c + + +
(vì a, b, c không âm nên b + c không
âm)
Nhng:
( )
2
4b c bc+
(không âm)
Suy ra:
16b c abc+
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
1 1
,
4 2
a b c
b c a
b c
= +

= = =

=

0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
3
3.2
Ta có:
( ) ( )
3 3
6 6 2 2
sin cos sin sP co

= + = +

( )
2 2 4 2 2 4
sin cos si n sin cos cosP


= + +

( )
2
2 2 2 2 2 2
sin cos 3sin cos 1 3sin cosP

= + =

áp dụng kết quả câu 3.1, ta có:
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
sin cos 4 sin cos 1 4sin cos sin cos
4

+
Suy ra:
2 2
3 1
1 3sin cos 1
4 4
P

= =
Do đó:
min
1
4
P =
khi và chỉ khi:
2 2
sin cos sin cos

= =
(vì

là góc

nhọn)
0
sin
1 1 45
cos
tg



= = =
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
4
(6,0 điểm)
4.1.a
+ Ta có: BD = BF, CD = CE
và AE = AF (Tính chất của
hai tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó:
, ,BC x y AC y z
AB x z
= + = +
= +
Theo định lí Pytago:
2 2 2
BC AB AC= +
( ) ( ) ( )

2 2 2
x y x z y z + = + + +
( ) ( )
2
2 2 2xy z x y z xy z x y z = + + = + +
(a)
0,5
0,5
0,5
4.1.b
Gọi
r
là bán kính, I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có:
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
ABC
S AB AC BC r CA r AB r x y z r

= ì = ì + ì + ì = + +
(b)
Tứ giác AEIF có 3 góc vuông, nên là hình chữ nhật.
Nhng AE = AF (cm trên), nên AEIF là hình vuông,
Do đó:
z EI r= =
(c)
Từ (a), (b), (c) suy ra:
2 2AB AC xy AB AC DB DCì = ì = ì
0,5

0,5
0,5
4
4.2 + Theo giả thiết:
2AM MC=
và
2AN NC=
Suy ra:

2 2
//
3 3
AM AN MN AM
MN BC
AC AB BC AC
= = = =
.
+ Gọi E là giao điểm của BM và CN, theo định lí Ta-lét, ta có:
2
3
EM EN MN
EB EC BC
= = =
.
Gọi BK là đờng cao hạ từ B của tam giác ABC, ta có:
1
2
3 3
1
2

ABC
ABC BCM
BCM
AC BK
S
AC
S S
S CM
CM BK
ì
= = = =
ì
0,5
0,5
1,0
2
3 5 5
5 3 12
BEC
BMC BEC
BMC
S
BE a
S S
S BM
= = = =
Vậy:
2
5
4

ABC
a
S =
0,5
0,5
5
(3,0 điểm)
5.1
+ Gọi số ô tô lúc đầu là
x
( x nguyên và x 2)
Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1.
+ Theo giả thiết: Nếu số xe là
1x
thì số học sinh phân phối đều cho tất cả
các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y 30).
+ Do đó ta có phơng trình:
( )
22 1 23
1 22 1 22
1 1
x
x y x y
x x
+
= + = = +

0,25
0,25
0,5

+ Vì x và y đều là số nguyên dơng, nên
1x

phải là ớc số của 23.
Mà 23 nguyên tố, nên:
1 1 2x x = =
hoặc
1 23 24x x = =
Nếu
2x =
thì
22 23 45 30y = + = >
(trái giả thiết)
Nếu
24x =
thì
22 1 23y = + =
< 30 (thỏa điều kiện bài toán).
+ Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là:

22 24 1 23 23 529ì + = ì =
học sinh.
0,25
0,25
0,25
0,25
5.2 + Tấm bìa hình chữ nhật
1 5ì
có diện tích là 5
(đvdt).

Để cắt hình chữ nhật thành các mảnh ráp thành
hình vuông, thì cạnh của hình vuông bằng
5
,
bằng độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có
hai cạnh góc vuông có kích thớc là 1 và 2 có diện tích
bằng 1 (đvdt).
+ Do đó nếu cắt hình chữ nhật
1 5ì
theo đờng chéo của 2 hình chữ nhật AEFD
và GBCH, và cắt theo 2 đờng EF và GH xong ráp lại thì đợc hình vuông
MNPQ nh hình bên.
1,0
5
6