đề thi hsg toán thpt

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Trường THPT Hương Thủy
Câu1:
Giải phương trình:
[ ]
)1(12)1()1(11
2332
xxxx −+=+−−−+
Câu2:
Giải hệ bất phương trình:






≥++
≤++
1
1
200720052003
1086
zyx
zyx
Câu3:
a. Chứng minh rằng:

(*)27256,0
434
pqxqpxx
≥⇔∀≥++

b. Chứng minh rằng nếu p, q nghiệm đúng (*) thì
xpxqx
∀≥++
,01
34
Câu4: Cho hàm số
mxxxf
−−=
2
2)(
. Định m để giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [– 1 ; 1] đạt
giá trị nhỏ nhất.
Câu5: Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1. Với
giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ?
Đáp án
Câu1
Nội dung
2.50đ
Câu2
Điều kiện:
11
01
01
01
2
≤≤−⇔






≥−
≥+
≥−
x
x
x
x
0.50đ

Đặt x = cost với
[ ]
ttxt sinsin1,0
22
==−⇒∈
π
, khi đó:


[ ]
2
1
cos
sin2)sin2(cos2
sin2
2
cos
2
sin
2

cos
2
sin
2
cos
2
sin22
sin2
2
cos
2
sin22.
2
cos
2
sin
sin2
2
cos2
2
sin2
2
cos
2
sin
sin2)cos1()cos1(sin1)1(
2222
33
3
2

3
2
2
33
−==⇔
+=+−⇔
+=






++






−⇔
+=






−







+⇔
+=














−













+⇔
+=+−−+⇔
tx
ttt
t
tttttt
t
tttt
t
tttt
tttt
0.50đ
1.00đ
0.50đ
Giải hệ bất phương trình:





≥++
≤++
)2(1
)1(1
200720052003
1086

zyx
zyx
2.50đ
Từ (1) suy ra: x ≤ 1 ; y ≤ 1 ; z ≤ 1 (*)
Ta có: ( x
2003
+y
2005
+ z
2007
) – ( x
6
+ y
8
+ z
10
) ≥ 0
⇒ x
6
( x
1997
– 1 ) + y
8
( y
1997
– 1 ) + z
10
( z
1997
– 1) ≥ 0

Mặt khác (*) cho x
6
( x
1997
– 1 ) + y
8
( y
1997
– 1 ) + z
10
( z
1997
– 1) ≤ 0
Do vậy x
6
( x
1997
– 1 ) + y
8
( y
1997
– 1 ) + z
10
( z
1997
– 1) = 0
Nên: x
6
( x
1997

– 1 ) = 0 ; y
8
( y
1997
– 1 ) = 0 ; z
10
( z
1997
– 1) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 1 ; y = 0 hoặc y = 1 ; z = 0 hoặc z = 1
Ta nhận thấy chỉ có : (x = 0 ; y = 0 ; z = 1)
(x = 0 ; y = 1 ; z = 0)
(x = 1 ; y = 0 ; z = 0)
thỏa hệ phương trình.
Vậy hệ có ba nghiệm là: (1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1)
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.50đ
0.50đ
0.25đ
0.25đ
Câu3
a. Chứng minh rằng:
1.50đ

(*)27256,0
434
pqxqpxx

≥⇔∀≥++
b. Chứng minh rằng nếu p, q nghiệm đúng (*) thì

(**),01
34
xpxqx
∀≥++
a. Xét hàm số
qpxxy ++=
4
Ta có:
3
3/
4
04
p
xpxy
−=⇔=+=
Và
xxy
∀≥=
,012
2//
Suy ra:

q
p
p
p
p

p
Miny
+−=+−+






−=
33
3
4
44
3
4
44
Do đó:

(*)272560
44
3
,0
43
3
4
pqq
p
pxqpxx
≥⇔≥+−⇔∀≥++

b. x = 0 thì (**) đúng
x ≠ 0 thì (**) tương đương:

0
11
.
4
≥






++
xx
pq
Đặt:
0
1
4
≥++⇒=
qptt
x
t
Bất đẳng thức này đúng vì p, q thỏa (*).

0.25đ
0.25đ
0.25đ

0.25đ
0.50đ
Câu4
Cho hàm số
mxxxf
−−=
2
2)(
. Định m để giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn
[– 1 ; 1] đạt giá trị nhỏ nhất.
2.50đ
Parabol y = 2x
2
– x + m có hoành độ đỉnh là x
o
=
4
1
∈ [– 1 ; 1] nên
Maxf(x) = max






− )1(,)
4
1
(,)1( fff

= max






+−++− mmm 1,
8
1
,3
= M
Nếu m > 0: tacó
mm +−≥+ 1
8
1
Nếu m < 0: m đủ lớn ta có – 3 + m ≥ – 1 + m 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Vậy:







++−= mmMaxM

8
1
;3
Do đó: M ≥ – 3 + m 

M ≥
m+
8
1
⇒ 2M ≥ – 3 + m +
m+
8
1
≥
8
25
8
1
3 =++− mm
⇒ M ≥
16
25
Suy ra Min(M) =
16
25
.Dấu “ = ’’ xãy ra khi
8
1
3
+=−

mm

16
23
=⇔ m

0.50đ
0.25đ
0.25đ
0.50đ
0.25đ
Câu5
Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài
bằng 1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ?
1.00đ


H
I
A
B
C
S
D

0.25đ
Giả sử SA = BC = x, các cạnh khác của tứ diện có độ dài bằng 1. Gọi I, D lần lượt là
trung điểm của BC & SA.
Ta có: SA
⊥

(BCD). Do đó:

SAIDBCSABCDdtV
6
1
.
3
1
=∆=
mà ID = CD
2
– CI
2
= SC
2
– SD
2
– CI
2
= 1 –
2
2
x
Suy ra:

22
2
2
24
12

1
2
1
6
1
xx
x
xV −=−=
Vì vậy:

39
2
=
MaxV
đạt tại x =
3
32
0.50đ
0.25đ
0.25đ