Đề thi thử đại học môn Toán có đáp án số 42

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012.
Môn thi : TOÁN
Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số
4 2
2 1y x mx m= − + −
(1) , với
m
là tham số thực.
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1m
=
.
2.Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một
tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
1
.
Câu II : ( 2, 0 điểm)
Giải các phương trình
1.
3 3
4sin x.c 3x 4cos x.sin3x 3 3c 4x 3os os+ + =
2.
2 2
3 3 3
log (x 5x 6) log (x 9x 20) 1 log 8
+ + + + + = +
CâuVI:( 1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC =

2 3a
,
BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
3
4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo
a.
CâuV :( 2, 0 điểm).
1. TÝnh tÝch ph©n sau:
2
2 2
0
cos .cos 2 .I x x dx
π
=
∫

1. Cho 3 sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n : x +3y+5z
3≤
.Chøng minh r»ng:
46253
4
+zxy
+
415
4
+xyz
+

4815
4
+yzx
≥
45
5
xyz.
Câu VI :(2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường tròn (C ):
2 2
2x 2y 7x 2 0+ − − =
và hai điểm
A(-2; 0), B(4; 3). Viết phương trình các tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm của
(C ) với đường thẳng AB.
2. Cho hàm số
2
2x (m 1)x 3
y
x m
+ + −
=
+
. Tìm các giá trị của m sao cho tiệm cận của đồ thị hàm số
tiếp xúc với parabol y = x
2
+5
Câu VII :(1,0 điểm) Cho khai triển
( )
x 1
3

x 1
2
2
8
1
log 3 1
log 9 7
5
2 2
−
−
− +
+
 
+
 ÷
 
. Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số
hạng thứ 6 trong khai triển này là 224

***HÕt***
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012.
Môn thi : TOÁN
(Đáp án- Thang điểm gồm 04 trang)
Câu Nội dung Điểm
I
(2điểm)
1.(1 điểm). Khi
1m
=

hàm số trở thành:
4 2
2y x x= −
• TXĐ: D=
¡
• Sự biến thiên:
( )
' 3 2
0
4 4 0 4 1 0
1
x
y x x x x
x
=

= − = ⇔ − = ⇔

= ±

0.25

( ) ( )
0 0, 1 1
CD CT
y y y y= = = ± = −
0.25
• Bảng biến thiên
x -
∞

-1 0 1 +
∞
y
’
−
0 + 0
−
0 +

y +
∞
0 +
∞
-1 -1
0.25
• Đồ thị
0.25
2. (1 điểm)
( )
' 3 2
2
0
4 4 4 0
x
y x mx x x m
x m
=

= − = − = ⇔


=

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị
⇔
pt
'
0y =
có ba nghiệm phân biệt và
'
y
đổi dấu khi
x
đi qua các nghiệm đó
0m⇔ >
0.25
• Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
( )
( ) ( )
2 2
0; 1 , ; 1 , ; 1A m B m m m C m m m− − − + − − + −
0.25
•
2
1
.
2
ABC B A C B
S y y x x m m= − − =
V
;

4
, 2AB AC m m BC m= = + =
0.25
•
( )
4
3
2
1
2
. .
1 1 2 1 0
5 1
4
4
2
ABC
m
m m m
AB AC BC
R m m
S
m m
m
=

+

= = ⇔ = ⇔ − + = ⇔
−


=


V
0.25
Câu II
(2,0
1. (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với phương trình :
1. Phương trình :
3 3
4sin x.cos3x 4cos x.sin 3x 3 3 cos4x 3
+ + =
2 2
4 (1 cos x)sin x.cos3x (1 sin x)cos x.sin 3x 3 3 cos4x 3[ ]⇔ − + − + =

4 sin x.cos3x cos x.sin 3x) cos xsin x(cosx.cos3x sin x.sin 3x) 3 3cos4x 3[( ]
⇔ + − + + =
1 1
4 sin 4x sin 2x.cos2x 3 3cos4x 3 4 sin 4x sin 4x 3 3co s4x 3 3sin 4x 3 3 cos4x 3
2 4
[ ]
 
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ + =
 ÷
 
1 3 1
sin 4x 3 cos4x 1 sin 4x cos 4x sin(4x ) sin
2 2 2 3 6

π π
⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =
0,50
0,50
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5
10
f x
()
= x
4
-2
⋅
x
2
4x k2 4x k2
4x k2 x k
3 6 3 6 6 24 2
(k Z)
5 5
x k

4x k2 4x k2
4x k2
8 23 6 3 6
2
π π π π π π π
   
+ = + π + = + π
= − + π = − +
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈
   
π ππ π π π
π
 
 
= +
+ = + π + = + π
= + π
 
 
 
 

Đáp án Điểm
2.(1,0 điểm) PT
2 2
3 3 3
log (x 5x 6) log (x 9x 20) 1 log 8
+ + + + + = +
(*)

+ Điều kiện :
2
2
x 5
x 5x 6 0 x 3 x 2
4 x 3
x 5 x 4
x 9x 20 0
x 2
< −


+ + > <− ∨ > −



⇔ ⇔ − < <−
 

<− ∨ >−
+ + >




> −

, và có :
3 3
1 log 8 log 24

+ =
+ PT (*)
2 2
2 2
3 3
log (x 5x 6)(x 9x 20) log 24
(x 5x 6)(x 9x 20) 24
(x 5) ( 4 x 3) (x 2)
(x 5) ( 4 x 3) (x 2)

 
+ + + + =

+ + + + =

 
⇔ ⇔
 
< − ∨ − < <− ∨ > −
<− ∨ − < <− ∨ > −


(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 (*)
(x 5) ( 4 x 3) (x 2) (**)


+ + + + =

⇔


<− ∨ − < < − ∨ >−

+ Đặt
2
t (x 3)(x 4) x 7x 12 (x 2)(x 5) t 2
= + + = + + ⇒ + + = −
, PT (*) trở thành :
t(t-2) = 24
2
(t 1) 25 t 6 t 4
⇔ − = ⇔ = ∨ = −
• t = 6 :
2 2
x 1
x 7x 12 6 x 7x 6 0
x 6
=−

+ + = ⇔ + + = ⇔

=−

( thỏa đkiện (**))
• t = - 4 :
2 2
x 7x 12 4 x 7x 16 0
+ + = − ⇔ + + =
: vô nghiệm
+ Kết luận : PT có hai nghiệm là x = -1 và x = - 6
0,25

0,25
0,25
0,25
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu III
(1,0
điểm)
Từ giả thiết AC =
2 3a
; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của
mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO =
3a
; BO = a , do đó
·
0
60A DB =
Hay tam giác ABD đều.
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên
giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD).
0,25
Do tam giác ABD đều nên với H là trung
điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có
DH AB⊥
và DH =
3a
; OK // DH và
1 3
2 2
a
OK DH= =

⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥
(SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥
SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là
khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
0,25
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao
⇒
2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
= + ⇒ =
Diện tích đáy
2
4 2. . 2 3
D
S
ABC ABO
S OAOB a
∆
= = =
;
0,25
S
A
B
K

H
C
O
I
D
3a
a
ng cao ca hỡnh chúp
2
a
SO =
.
Th tớch khi chúp S.ABCD:
3
.
1 3
.
3 3
D DS ABC ABC
a
V S SO= =
0,25
IV
(1,0
im)
Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z

3 . Chứng minh rằng:

xy3

4625
4
+z
+
zx5
415481
44
+++ xyzy
xyz545
Bất đẳng thức

2
2
4
x
x +
+
2
2
9
4
9
y
y +
+
2
2
25
4
25

z
z +


45

VT
+++++
22
)
5
2
3
22
()53(
zyx
zyx
3
2
2
3
)5.3.(
36
)5.3.(.9
zyx
zyx +
. 0,25
Đặt t =
3
2

)5.3.( zyx

ta có
1
3
53
)5.3.(
3
3
=






++

zyx
zyx
do đó t

1 0,25
Điều kiện . 0 < t

1. Xét hàm số f(t)=
t9
+
t
36

36 36
36 27 2 36 . 27t t t
t t
= +
=45 0,25
Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y=
3
1
; z=
5
1
. 0,25
Cõu V.
1.(1,0 im)
(2,0
im)
1/ + ng trũn (C ) :
2
2 2 2 2 2
7 7 65
2x 2y 7x 2 0 x y x 1 0 x y
2 4 16

+ = + = + =
ữ



(C ) cú tõm
7

I ;0
4

ữ

v bỏn kớnh
65
R
4
=
+ ng thng AB vi A(-2; 0) v B(4; 3) cú phng trỡnh
x 2 y x 2
y
6 3 2
, hay :
+ +
= =
+ Giao im ca (C ) vi ng thng AB cú ta l nghim h PT
2
2 2
2
x 2
5x(x 2) 0
2x 2y 7x 2 0
2x 2 7x 2 0
x 0; y 1
2
x 2
x 2
x 2; y 2

x 2
2
2
2
y =
y =
y =

+

=

+ =
+ =

ữ
= =




+
+

= =
+

Vy cú hai giao im l M(0; 1) v N(2; 2)
+ Cỏc tip tuyn ca (C ) ti M v N ln lt nhn cỏc vect
7
IM ;1
4

=
ữ

uuur
v
1
IN ;2
4

=
ữ

uur
lm cỏc vect phỏp tuyn , do ú cỏc TT ú cú phng trỡnh ln lt l :

7
(x 0) 1(y 1) 0 7x 4y 4 0
4
, hay : + = + =
0,25
0,25
0,50
•

1
(x 2) 2(y 2) 0 x 8y 18 0
4
, hay : − + − = + − =
2/ Cho hàm số
2
2x (m 1)x 3
y
x m
+ + −
=
+
. Tìm các giá trị của m sao cho tiệm cận của đồ thị
hàm số tiếp xúc với parabol y = x
2
+5
Điểm
Hàm số
2
2x (m 1)x 3
y
x m
+ + −
=
+
xác định với mọi
x m≠ −
Viết hàm số về dạng
2
m m 3

y 2x 1 m
x m
− −
= + − +
+
+ TH1 :
2
1 13
m m 3 0 m
2
±
− − = ⇔ =
: Có hàm số bậc nhất
y 2x 1 m= + −
(
x m≠ −
) :
đồ thị không có tiệm cận
+ TH2 :
2
1 13
m m 3 0 m
2
±
− − ≠ ⇔ ≠
: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
(d
1
) x = -m
và tiệm cận xiên là đường thẳng (d

2
) y = 2x + 1 - m
+ Đường thẳng (d
1
) x = - m luôn cắt parabol parabol y = x
2
+5 tại điểm (-m ; m
2
+5) ( với
mọi
1 13
m
2
±
≠
) và không thể là tiếp tuyến của parabol
+ Tiệm cận xiên (d
2
) y = 2x + 1 - m tiếp xúc với parabol y = x
2
+5
⇔
PT x
2
+5 = 2x + 1
- m , hay PT x
2
– 2x + 4 +m = 0 có nghiệm kép
'⇔ ∆ =
1-(4 + m) = 0

m 3⇔ = −
( thỏa
điều kiện) Kết luận : m = -3 là giá trị cần tìm

0,25
0,25
0,25
0,25
(1,0 điểm) Cho khai triển
( )
x 1
3
x 1
2
2
8
1
log 3 1
log 9 7
5
2 2
−
−
− +
+
 
+
 ÷
 
. Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng

thứ 6 trong khai triển này là 224
( )
x 1
3
x 1
2
2
8
1
log 3 1
log 9 7
5
2 2
−
−
− +
+
 
+
 ÷
 
Ta có :
( )
k 8
8
k 8 k k
8
k 0
a b C a b
=

−
=
+ =
∑
với
( )
( )
( )
x 1
3
x 1
2
2
1
1 1
log 3 1
log 9 7
x 1 x 1
5
3 5
a 2 9 7 b 2 3 1 = ;
−
−
− +
−
+
− −
= + = = +
+ Theo thứ tự trong khai triển trên , số hạng thứ sáu tính theo chiều từ trái sang phải của
khai triển là

( ) ( ) ( ) ( )
3 5
1 1
1
5 x 1 x 1 x 1 x 1
3 5
6 8
T C 9 7 . 3 1 56 9 7 . 3 1
− −
− − − −
   
= + + = + +
 ÷  ÷
   
+ Theo giả thiết ta có :
( ) ( )
x 1
1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
9 7
56 9 7 . 3 1 4 9 7 4(3 1)
3 1
= 224
−
−
− − − −
−
+
+ + ⇔ = ⇔ + = +

+

( )
x 1
2
x 1 x 1
x 1
3 1 x 1
3 4(3 ) 3 0
x 2
3 3
−
− −
−

= =

⇔ − + = ⇔ ⇔


=
=


0,25
0,25
0,25
0,25