Đề thi thử đại học môn Toán có đáp án số 29

THI TH I HC, CAO NG 2012
Mụn thi : TON
Phần dành chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)
Câu 1: Cho hàm số : y =
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)x mx m x m +
(1)
a, Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) .
b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dơng.
Câu 2: a, Giải phơng trình : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin
2
(2x+
4

) = 0
b, Xác định a để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất :

2
2 2
2
1
x
x y x a
x y

+ = + +


+ =

Câu 3 : Tìm :
3
sin
(sin 3 cos )
xdx
x x+


Câu 4 : Cho lăng trụ đứng
' ' '
.ABC A B C
có thể tích V. Các mặt phẳng (
' ' '
),( ),( )ABC AB C A BC
cắt nhau
. tại O. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V.
Câu 5 : Cho x,y,z là các số thực dơng . Chứng minh rằng :
P =
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2( )
x y z
x y y z z x
y z x
+ + + + + + + +

12
Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B )
A. Theo chơng trình chuẩn

Câu 6a : a, Cho đờng tròn (C) có phơng trình :
2 2
4 4 4 0x y x y+ + =
và đờng thẳng
(d) có phơng trình : x + y 2 = 0
Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm toạ độ điểm C trên đờng
tròn . . . (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3)và hai đờng thẳng có phơng trình :

1
1 2
( ):
2 2 1
x y z
d
+
= =


'
2
'
4
( ) : 2
3
x t
d y
z t

=

=


=

Viết phơng trình đờng thẳng (

)đi qua điểm A và cắt cả hai đờng thẳng(d
1
), (d
2
).
Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :

7
4
3
1
x
x

+
ữ

( với x > 0 )
B . Theo chơng trình nâng cao
Câu 6b : a, Viết phơng trình đờng thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1) , đờng cao và . .
đờng phân giác trong qua đỉnh A,C lần lợt là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y 5 = 0 .
b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đờng thẳng (

) có phơng
trình :
2 1 0
2 0
x y z
x y z
+ + =


+ + =


Tìm toạ độ điểm M nằm trên đờng thẳng (

)sao cho : MA + MB nhỏ nhất .
Câu 7b : Cho
2 12 2 24
0 1 2 24
(1 ) x x a a x a x a x+ + = + + +
. Tính hệ số a
4
.
Hết.
1
P N THI TH I HC, CAO NG 2012
Mụn thi : TON
Phần dành chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)
Câu 1: Cho hàm số : y =
3 2 2 2

3 3( 1) ( 1)x mx m x m +
(1)
a, Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) .
b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dơng.
Ta cú y= 3x
2
-6mx+3(m
2
-1)
y=0

1
1
x m
x m
=


= +

th hm s ct Ox ti 3 im phõn bit cú honh dng thỡ ta phi cú:
'
2 2 2
' 0
. 0
( 1)( 3)( 2 1) 0
0 1 0
1 0
0
( 1) 0

(0) 0
y
CD CT
CD
CT
m R
f f
m m m m
x m
m
x
m
f
>





<
<



> >


+ >
>

<

<


V

1 2 1
3 1
3 1 2
3 1 2
1
m
m
m
m
m


< <



< <


< < +


< < +

>


Vy giỏ tr m cn tỡm l:
( 3;1 2)m +
Câu 2: a, Giải phơng trình :
sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin
2
(2x+
4

) = 0 <=> Sin2x + (1+2cos3x)sinx 2sin(2x +
4

)=0

sin2x + sinx + sin4x sin2x = 1 cos(4x +
2

)

sinx + sin4x = 1+ sin4x

sinx = 1

x =

2

+ k2

, k

Z
b, Xác định a để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất :

2
2 2
2
1
x
x y x a
x y

+ = + +


+ =


Nhn xột: Nu (x;y) l nghim thỡ (-x;y) cng l nghim ca hSuy ra, h cú nghim duy nht khi
v ch khi x =0
+ Vi x = 0 ta cú a =0 hoc a = 2-Vi a = 0, h tr thnh:
2 2
2 2 2 2
2 2 (1)
(I)

1 1 (2)
x x
x y x x x y
x y x y

+ = + + =



+ = + =


T (2)
2
2
2
2
1
1
2 1
1
1
x
y
x
x x
y
x x
y

+













( I ) cú nghim
2 2
2
1
0
2 1
1
1
x
x y
x
x x

y
y

+ =

=


+ =

=


=



-Vi a=2, ta cú h:
2
2 2
2 2
1
x
x y x
x y

+ = + +


+ =

D thy h cú 2 nghim l: (0;-1) v (1;0) khụng TM
Vy a = 0 TM
Câu 3 : Tìm :
3
sin
(sin 3 cos )
xdx
x x+


2
Ta cú
3
3
sin[(x- ) ]
sinx
6 6
(sinx+ 3 osx)
8 os ( )
6
c
c x


+
=

3 1

sin( ) os(x- )
2 6 2 6
8 os(x- )
6
x c
c


+
=
3 2
sin( )
3 1 1
6
16 16
os ( ) os ( )
6 6
x
c x c x



= +

3
2
sinxdx 3 1
tan( )
16 6
(sinx+ 3 osx)

32 os ( )
6
x c
c
c x


= + +


Câu 4 : Cho lăng trụ đứng
' ' '
.ABC A B C
có thể tích V. Các mặt phẳng (
' ' '
),( ),( )ABC AB C A BC
cắt nhau .
tại O. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V.
Gi I = AC

AC, J = AB

AB
(BA'C) (ABC') = BI
(BA'C) (AB'C) = CJ
Goi O = BI CJ

O l im cn tỡm
Ta cú O l trng tõm tam giỏc BAC
Gi H l hỡnh chiu ca O lờn (ABC)
Do
V
ABC l hỡnh chiu vuụng gúc ca
V
BAC
trờn (ABC) nờn H l trng tõm
V
ABC
Gi M l trung im BC. Ta cú:
1
' 3
OH HM
A B AM
= =
1 1 1
. ' .
3 9 9
OABC ABC ABC
V OH S A B S V = = =
V V
Câu 5 : Cho x,y,z là các số thực dơng . Chứng minh rằng :

P =
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2( )
x y z
x y y z z x
y z x
+ + + + + + + +

12
Ta cú: 4(x
3
+y
3
)

(x+y)
3
, vi

x,y>0
Tht vy: 4(x
3
+y
3
)

(x+y)
3

4(x
2
-xy+y
2
)

(x+y)
2
(vỡ x+y>0)


3x
2
+3y
2
-6xy

0

(x-y)
2

0 luụn ỳng
Tng t: 4(x
3
+z
3
)

(x+z)
3

4(y
3
+z
3
)

(y+z)
3

3 3 3 3 3 3
3 3 3
3
4( ) 4( ) 4( ) 2( ) 6x y x z y z x y z xyz + + + + + + +
Mt khỏc:
3
2 2 2
1
2( ) 6
x y z
y z x xyz
+ +
3
3
1
6( ) 12P xyz
xyz

+
Du = xy ra
2 2 2
1
1
x y z
x y z
x y z
y z x
xyz
xyz


= =


= = = = =



=


Vy P

12, du = xy ra

x = y = z =1
Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B )
A. Theo chơng trình chuẩn

Câu 6a : a, Cho đờng tròn (C) có phơng trình :
2 2
4 4 4 0x y x y+ + =
và đờng thẳng (d) có phơng trình : x + y 2 =
0 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm toạ độ điểm C trên đờng tròn
3
J
I
O
H
M
B'
A'
C'
C
B
A
(C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
(C) cú tõm I(2;2), bỏn kớnh R=2
Ta giao im ca (C) v (d) l nghim ca h:
2 2
0
2
2 0
4 4 4 0
2
0
x
y
x y

x y x y
x
y
=



=
+ =






+ + =
=




=



Hay A(2;0), B(0;2)
Hay (d) luụn ct (C ) ti hai im phõn bit A,B
Ta cú
1
.

2
ABC
S CH AB=
V
(H l hỡnh chiu ca C trờn AB)
ax CH max
ABC
S m
V
D dng thy CH max
( ) ( )
2
C
C C
x
=



>

V
Hay
V
: y = x vi
:
(2;2)
d
I

V
V
V
(2 2;2 2)C + +
Vy
(2 2;2 2)C + +
thỡ
ax
ABC
S m
V
b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3)và hai đờng thẳng có phơng trình :

1
1 2
( ) :
2 2 1
x y z
d
+
= =


'
2
'

4
( ) : 2
3
x t
d y
z t

=

=


=

Viết phơng trình đờng thẳng (

)đi qua điểm A và cắt cả hai đờng thẳng(d
1
), (d
2
).
Nhn xột: M

(d1) v M

(d2)
Gi s
( ) ( 1)
( ) ( 2)
d I

d H
=


=

V
V
Vỡ I

d1

I(2t-1; -1-2t; 2+t) H

d2

H(4t; -2; 3t)
1 2 (1 4 ')
23
3 2 (2 2)
10
, 0
1 (3 3 ')
23 18 3
( ; ; )
5 5 10
cbt
t k t
TM kHM
y t k t

k R k
t k t
T
=


=

+ = + =





=


uuur uuuur
Vy phng trỡnh ng thng i qua 2 im I v H
l:
1 56
2 16
3 33
x t
y t
z t
= +


=

= +

hoc l:
5 8 17 0
12 9 16 18 0
x y z
x y z
+ +


+ + =

Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :

7
4
3
1
x
x

+
ữ

( với x > 0 )
Ta cú:
1
1

7
7 7
4
3
4
7
3
0
1
( ) ( ) .( )
k k k
k
x C x x
x


=
+ =

s hng th k khụng cha x thỡ:
1 1
(7 ) 0
4
4 3
[0;7]
k k
k
k

=

=




Vy s hng khụng cha x trong khai trin l:
4
7
1
35
C =
B . Theo chơng trình nâng cao
4
H
4
A
B
I
y
x
M
2
2
O
C
Câu 6b : a, Viết phơng trình đờng thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1) , đờng cao và đờng phân giác trong
qua đỉnh A,C lần lợt là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y 5 = 0 .
Phngtrỡnh ng thng cha cnh BC:
1

( ) qua B
( ) : 4 3 5 0
BC d
BC
BC x y

+ =



Ta im C l nghim ca h:
4 3 5 0
( 1;3)
2 5 0
x y
C
x y
+ =



+ =


Gi K
AC
, K
BC
, K
2

theo th t l h s gúc ca cỏc ng thng AC, BC, d
2

Ta cú:
2 2
2 2
3 1 1
4 2 2
1 3 1
1 . 1 .
1 . 1
2 4 2
0
1
(loai)
3
AC
BC d d AC
BC d d AC
AC
AC
AC
K
K K K K
K K K K
K
K
K
+

= =
+ +
+
=




=


Vy pt ng thng AC i qua C
v cú h ssú gúc k=0 l: y = 3
+ Ta im A l nghim ca h:

3 4 27 0
( 5;3)
3 0
x y
A
y
+ =



=


Pt cnh AB l:
5 3

4 7 1 0
2 5 1 3
x y
x y
+
= + =
+
Vy AB: 4x+7y-1=0 AC: y=3 BC: 4x+3y-5=0
b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đờng thẳng (

) có phơng
trình :
2 1 0
2 0
x y z
x y z
+ + =


+ + =


Tìm toạ độ điểm M nằm trên đờng thẳng (

)sao cho : MA + MB nhỏ nhất .
+ Xột v trớ tng i gia AB v
V
, ta cú:
V
ct AB ti K(1;3;0)

Ta cú
2KB KA=
uuur uuur


A, B nm v cựng phớa i vi
V
Gi A l im i xng vi A qua
V
v H l hỡnh chiu ca A trờn
V
.

H( 1;t;-3+t) (vỡ PTTS ca
V
:
1
3
x
y t
z t
=


=


= +

)Ta cú

. 0 1.0 ( 4).1 ( 4 ).1 0 4
(1;4;1) '(0;4;1)
AH u t t t
H A
= + + + = =

uuuurr
Gi M l giao im ca AB v d
13 4
(1; ; )
3 3
M
Ly im N bt k trờn
V
Ta cú MA+MB=MB+MA=AB

NA+NBVy
13 4
(1; ; )
3 3
M
Câu 7b : Cho
2 12 2 24
0 1 2 24
(1 ) x x a a x a x a x+ + = + + +
. Tính hệ số a
4
.
Ta cú: (1+x+x
2

)
12
= [(1+x)+x
2
]
12
= =
0 12 1 11 2 12 2 12 24
12 12 12 12
(1 ) (1 ) . (1 ) .( )
k k k
C x C x x C x x C x

+ + + + + + + +
=
0 0 12 1 11 8 4 1 2 0 11 9 2
12 12 12 12 12 11 11
2 4 0 10 10
12 10 10
[C ]+C x [C ]
+C [C ]+
C x C x C x x C x
x x C
+ + + + + + +
+ +

Ch cú 3 s hng u cha x
4

0 8 1 9 2 10

4 12 12 12 11 12 10
. . . 1221a C C C C C C = + + =
5
6