Đề thi thử đại học môn Toán có đáp án số 1

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số
4 2 2 4
2 2y x m x m m= − + +
(1), với m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1m
=
.
2. Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi
0m <
.
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
2sin 2 4sin 1
6
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
.
2. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình
2
1
y x m
y xy
− =




+ =


có nghiệm duy nhất.
Câu III: (2,0 điểm)
1. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
( )
( )
2
4
1
2 1
x
f x
x
−
=
+
.
2. Với mọi số thực dương
; ;x y z
thỏa điều kiện
1x y z+ + ≤
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
1 1 1

2P x y z
x y z
 
= + + + + +
 ÷
 
.
Câu IV: (1,0 điểm) Cho khối tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N,
P sao cho
4 , 2BC BM BD BN= =
và
3AC AP=
. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD
làm hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Tất cả thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: A hoặc B.
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu Va: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho đường thẳng
( )
: 2 4 0d x y− − =
. Lập phương
trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).
Câu VIa: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
log log
4 2
2 8
x x
x =
.
2. Viết phương trình các đường thẳng cắt đồ thị hàm số

1
2
x
y
x
−
=
−
tại hai điểm phân biệt sao
cho hoành độ và tung độ của mỗi điểm là các số nguyên
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb: (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz , cho các điểm
( ) ( ) ( )
1;3;5 , 4;3;2 , 0;2;1A B C− −
. Tìm
tọa
độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu VIb: (2,0 điểm)
1. Giải bất phương trình
( )
2 4 8
2 1 log log log 0x x x+ + <
.
2. Tìm m để đồ thị hàm số
( )
3 2
5 5y x m x mx= + − −
có điểm uốn ở trên đồ thị hàm số
3
y x=

.
Hết
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
Câu I
(2,0đ)
Ý 1
(1,0đ)
Khi
4 2
1 2 3m y x x= ⇒ = − +
.
Tập xác định D=R .
0,25 đ
Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
.
( )
3 2
' 4 4 4 1y x x x x= − = −
.
' 0 0, 1y x x= ⇔ = = ±
.
0,25 đ
Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng
( ) ( )
1;0 , 1;− +∞
và nghịch biến trên
khoảng
( ) ( )
; 1 , 0;1−∞ −
.
Hàm số đạt CĐ tại
0, 3
CD
x y= =
và đạt CT tại
1, 2
CT
x y= ± =
.
0,25 đ
Đồ thị cắt Oy tại (0;3). Đồ thị đối xứng qua Oy. 0,25 đ
Ý 2
(1,0đ)
Phương trình HĐGĐ của đồ thị (1) và Ox:

4 2 2 4
2 2 0x m x m m− + + =
(∗).
0,25 đ
Đặt
( )
2

0t x t= ≥
, ta có :
2 2 4
2 2 0t m t m m− + + =
(∗∗). 0,25 đ
Ta có :
' 2 0m∆ = − >
và
2
2 0S m= >
với mọi
0m >
.
Nên PT (∗∗) có nghiệm dương.
0,25 đ
KL: PT (∗) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt (đpcm).
0,25 đ
Câu II
(2,0đ)
Ý 1
(1,0đ)
PT
3 sin 2 cos 2 4sin 1 0x x x⇔ + + − =


2
2 3sin cos 2sin 4sin 0x x x x⇔ − + =
.
0,25 đ

( )
2 3 cos sin 2 sin 0x x x⇔ − + =
. 0,25 đ
Khi :
5
sin 3 cos 2 sin 1 2
3 6
x x x x k
π π
π
 
− = ⇔ − = ⇔ = +
 ÷
 
. 0,25 đ
Khi:
sin 0x x k
π
= ⇔ =
.
KL: nghiệm PT là
5
, 2
6
x k x k
π
π π
= = +
.
0,25 đ

Ý 2
(1,0đ)
Ta có :
2x y m= −
, nên :
2
2 1y my y− = −
. 0,25 đ
PT
1
1
2
y
m y
y
≤


⇔

= − +


( vì y = 0 PTVN). 0,25 đ
Xét
( ) ( )
2
1 1
2 ' 1 0f y y f y
y

y
= − + ⇒ = + >
0,25 đ
Lập BTT. KL: Hệ có nghiệm duy nhất
2m⇔ >
. 0,25 đ
Câu III
(2,0đ)
Ý 1
(1,0đ)
Ta có:
( )
2 ,
1 1 1
. .
3 2 1 2 1
x x
f x
x x
− −
   
=
 ÷  ÷
+ +
   
. 0,50 đ
KL:
( )
3
1 1

9 2 1
x
F x C
x
−
 
= +
 ÷
+
 
.
0,50 đ
Ý 2
(1,0đ)
Áp dụng BĐT Cô-si :
2
18 12x
x
+ ≥
(1). Dấu bằng xãy ra khi
1
3
x =
. 0,25 đ
Tương tự:
2
18 12y
y
+ ≥
(2) và

2
18 12z
z
+ ≥
(3). 0,25 đ
Mà:
( )
17 17x y z− + + ≥ −
(4). Cộng (1),(2),(3),(4), ta có:
19P ≥
.
0,25 đ

1
19
3
P x y z= ⇔ = = =
. KL: GTNN của P là
19
. 0,25 đ
Câu IV
(1,0đ)
Gọi T là giao điểm của MN với CD; Q là giao điểm của PT với AD.
Vẽ DD’ // BC, ta có: DD’=BM
' 1
3
TD DD
TC MC
⇒ = =
.

0,25 đ
Mà:
1 2
/ /
3 3
TD AP QD DP CP
AT DP
TC AC QA AT CA
= = ⇒ ⇒ = = =
. 0,25 đ
Nên:
.
.
.
1 3 1 1
. .
3 5 5 10
A PQN
A PQN ABCD
A CDN
V
AP AQ
V V
V AC AD
= = = ⇒ =
(1) 0,25 đ
Và
.
.
2 3 1 1

. .
3 4 2 4
C PMN
ABMNP ABCD
C ABN
V
CP CM
V V
V CA CB
= = = ⇒ =
(2).
Từ (1) và (2), suy ra :
7
20
ABMNQP ABCD
V V=
.
KL tỉ số thể tích cần tìm là
7
13
hoặc
13
7
.
0,25 đ
Câu Va
(1,0đ)
Gọi
( ) ( )
;2 4I m m d− ∈

là tâm đường tròn cần tìm.
0,25 đ
Ta có:
4
2 4 4,
3
m m m m= − ⇔ = =
. 0,25 đ
Khi:
4
3
m =
thì PT ĐT là
2 2
4 4 16
3 3 9
x y
   
− + + =
 ÷  ÷
   
. 0,25 đ
Khi:
4m =
thì PT ĐT là
( ) ( )
2 2
4 4 16x y− + − =
.
0,25 đ

Câu VIa
(2,0đ)
Ý 1
(1,0đ)
ĐK :
0x
>
. Ta có:
2 4 2
1 log log 3logx x x+ =
. 0,25 đ
Đặt
2
logt x=
.Ta có:
2
3 2 0 1, 2t t t t− + = ⇔ = =
. 0,25 đ
Khi:
1t =
thì
2
log 1 2( )x x th= ⇔ =
.
0,25 đ
Khi:
2t
=
thì
2

log 2 4( )x x th= ⇔ =
. KL: Nghiệm PT
2, 4x x= =
. 0,25 đ
Ý 2
(1,0đ)
Ta có:
1
1
2
y
x
= +
−
0,25 đ
Suy ra:
; 2 1 3, 1x y Z x x x∈ ⇔ − = ± ⇔ = =
0,25 đ
Tọa độ các điểm trên đồ thị có hoành độ và tung độ là những số
nguyên là
( ) ( )
1;0 , 3;2A B
0,25 đ
KL: PT đường thẳng cần tìm là
1 0x y− − =
. 0,25 đ
Câu Vb
Ta có:
( )
3;0; 3 3 2AB AB= − − ⇒ =

uuur
. 0,25 đ
Tương tự:
3 2BC CA= =
.
0,25 đ
(1,0đ)
Do đó:
ABC
∆
đều, suy ra tâm I đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
là
trọng tâm của nó.
0,25 đ
KL:
5 8 8
; ;
3 3 3
I
 
−
 ÷
 
. 0,25 đ
Câu VIb
(2,0đ)
Ý 1
(1,0đ)

ĐK :
0x
>
. Đặt
2
logt x=
, ta có :
( )
1 0
3
t
t t+ + <
0,25 đ
BPT
2
4
3 4 0 0
3
t t t⇔ + < ⇔ − < <
. 0,25 đ
KL:
2
3
4 1
log 0 1
3
2 2
x x− < < ⇔ < <
. 0,50đ
Ý 2

(1,0đ)
Ta có:
( )
2
' 3 2 5 5 ; " 6 2 10y x m x m y x m= + − − = + −
. 0,25 đ

5
" 0
3
m
y x
−
= ⇔ =
; y’’đổi dấu qua
5
3
m
x
−
=
.
Suy ra:
( ) ( )
3
2 5 5 5
5
;
3 27 3
m m m

m
U
 
− −
−
 ÷
+
 ÷
 
là điểm uốn
0,50 đ
KL:
5m =
. 0,25 đ
…HẾT…