Đề thi thử đại học môn Toán có đáp án số 6

THI TH I HC, CAO NG NM 2010
Mụn thi : TON
Bài i : (2 điểm) Cho hàm số y =
1 - x
5 - 2x x -
2
+

1) Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số .
2) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm M bất kì trên (H) tới 2 tiệm cận
của nó là 1 số không đổi , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M .
Bài ii : (2 điểm)
1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình sau có nghiệm

1 x
+
-
x - 3
+
2
x -2x 3
+
= m .
2) Giải bất phơng trình :
log
5x + 4
(4x
2
+ 4x + 1) + log
2x + 1
(10x

2
+ 13x + 4) 4 .
Bài iii : (3 điểm)
1) Cho hình chóp S.ABC có đờng cao là SA , tam giác ABC vuông ở A . Biết rằng AB =
a , AC = a
3
, góc giữa mặt bên SBC và đáy là 60
0
. Tính diện tích xung quanh của
hình chóp và số đo góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) .
2) Trong hệ trục tọa độ Đề Các Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x - y - 2z - 4 = 0 , điểm A( 5 ;
- 7 ; 1) và đờng thẳng (d) :

3-
3- z

1
3 y

2
1 x
=
+
=
+
. Viết phơng trình tham số của đ-
ờng thẳng sau :
a - (d') là hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P).
b - () qua A , cắt và tạo với (d) một góc 60
0

.
Bài iv : (2 điểm)
1) Tính tích phân :

1
1-
32
2
dx
)x - (4
x

2) Trong một nhóm đại biểu các đoàn viên của Đoàn trờng gồm 9 đoàn viên nam và 7
đoàn viên nữ ta chọn 6 đại biểu đi dự hội nghị đoàn cấp trên . Hỏi có tất cả bao nhiêu
cách chọn sao cho có ít nhất 2 đoàn viên nữ ? .
Bài v : (1 điểm)
Cho ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn:
a - c b
a
+
+
b -a c
25b
+
+
c - b a
81c
+
= 59. Tìm số đo
góc lớn nhất của tam giác .

============ Hết ===========
đáp án THI TH I HC, CAO NG NM 2010
Mụn thi : TON
Bài Nội dung cơ bản Điểm

Bài
I - 2
(1 đ)
Lấy M(x
0
; y
0
(H))


x
4
- 1 x - y
1 x
0
00
0






+=

1

Tiệm cận đứng : x- 1 = 0 khoảng cách d
1
từ M tới nó là : d
1
= x
0
-1
Tiệm cận xiên : x + y - 1 = 0 k/c cách d
2
từ M tới tiệm cận xiên
d
2
=
1
2
1
4
1
1
0
2

=

++
=
+
+
0
00
2
00
x
22

1- x - x

1
1 -y x
x

d
1
.d
2
= x
0
-1.
1

0
x
22
=
22
(Không đổi , không phụ thuộc M ) đpcm
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài
Nội dung cơ bản Điểm
Bài
II - 1
(1 đ)
TXĐ :
3 x 1 -
0 x - 2x 3
x - 3
0 1 x
2






+

+
0

Đặt t =
x - 3 - 1 x
+
t'(x) =

x - 32
1

1 x2
1
+
+
> 0 x(-1 ; 3)
t(-1) = -2 ; t(3) = 2 ; t(x) liên tục và trên [-1;3] tập giá trị của t là [-2 ; 2] .
t
2
= 4 -
x - 2x 32
2
+

2
x - 2x 3
+
=

t - 4

2
2

PT đã cho trở thành : t +
m
t - 4
2
=
2
4 + 2t - t
2
= 2m (*)
PT đã cho có nghiệm (*) có nghiệm t [-2 ; 2]
2m tập giá trị của h/s liên tục f(t) trên miền [-2 ; 2]
f '(t) = 2- 2t f(-2) = - 4 , f(1) = 5 , f(2) = 4 ; Dấu f '(t) và bảng biến thiên :

1
2
- 2
4
-4
5
+
0
f (t)
f '(t)
t
_
Giá trị cần tìm : -2

m

5/2
0.25
0.25
0.25
0.25

Bài
II - 2
(1 đ)
Ta có 4x
2
+ 4x + 1 = (2x +1)
2
; 10x
2
+ 13x + 4 = (5x +4)(2x +1)
TXĐ :

1 4 5x 0
1 1 2x 0



+<
+<

0 x
2

1-
<
(*) ( Khi đó 5x + 4 > 1 )
BPT log
5x + 4
(2x + 1)
2
+ log
2x + 1
[(2x + 1)(5x + 4)] 4
2.log
5x + 4
(2x + 1) + log
2x + 1
(5x + 4) - 3 0
Đặt log
5x + 4
(2x + 1) = t log
2x + 1
(5x + 4) = 1/ t .
BPT trở thành : 2t + 1/t - 3 0
(2t
2
- 3t + 1)/ t 0 (2t - 1)(t - 1)/ t 0 (1)
Dấu VT (1)
1
1
2
0
_

_
+
+

Tập nghiệm của (1) : 0 < t 1/2 ; t 1
* Nếu 0 < t 1/2 0 < log
5x + 4
(2x + 1) 1/2
1 < 2x +1
4 5x
+
(với đk (*) thì 5x + 4 > 1)





>




+++
>
0 3- x -4x
0 x

4 5x 1 4x 4x
0 x
22

0 < x 1 ( thỏa mãn (*) )
* Nếu t 1 ta có : log
5x + 4
(2x + 1) 1 2x + 1 5x + 4 x -1 (loại )
Vậy tập nghiệm T = ( 0 ; 1] .
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài Nội dung cơ bản Điểm
Bài
III -1
(1 đ)
a
3
a
60
0
K
C
B
A
S
SBC có hình chiếu trên (SAC)
cos =

4
3

dt(SBC)

dt(SAC)
=

Hạ AK BC tại K BC SK ( đ/l 3
đờng ) SKC là góc giữa (SBC) và
đáy SKC = 60
0

ABC vuông BC = = 2a
AK = =
3a
/2
SAK vuông SA = = 3a / 2
SK = =
3a

dt(SAC) = (1/2)SA.AC = = 3
3
a
2
/4
dt(SAB) = (1/2)SA.AB = = 3a
2
/4
dt(SBC) = (1/2) BC. SK = =
3
a
2

S

xq
=
.a
37
2
4
3
+

là SAC nên góc giữa 2 mf đã cho t/m :




41
0
24,6'
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài
III-2a
(1 đ)
(d') = (P) (Q) ; trong đó (Q) là mf qua (d) và (Q) (P)
Dễ thấy (d) qua điểm B( - 1 ; - 3 ; 3) và nhận
( )
3 - ; 1 ; 2 u
=
d

làm vtcf
(Q) chứa (d) , (Q) (P) (Q) qua B và nhận 2 véc tơ :
( )
3- ; 1 ; 2 u
=
d

và
;-2) 1- (2; n
P
=
làm cặp chỉ phơng (Q) có 1 vtft
[ ]
u ; n n
dPQ
=


[ ]
u ; n n
dPQ
=
=

1 2
1- 2
;
2 3-
2 2-
;

3 - 1
2- 1-









= ( 5 ; 2 ; 4 )
PT (Q) : 5(x + 1) + 2(y + 3) + 4(z - 3) = 0 5x + 2y + 4z - 1 = 0 .
(d') :



=++
=
(2) 0 1 - 4z 2y 5x
(1) 0 4 - 2z- y - 2x




=
=
1 x
0 4 - 2z - y - 2x

0 2 2z y
1 x



=++
=

( nhân pt (1) với 2 rồi cộng với pt (2)
pt tham số (d') : x = 1 + 0.t ; y = -2 - 2t ; z = t ( t là tham số )
0.25
0.25
0.25
0.25

Bài
III - 2b
(1 đ)
PT tham số của (d): x = -1 + 2t ; y = -3 + t ; z = 3 - 3t ( tham số t )
Giả sử (d) = M M(-1 + 2t ; -3 + t ; 3 - 3t) . Vì qua M và A(5; - 7 ;1 )
nên 1 vtcf của là :
( )
3t- 2 ; 4 t ; 6 -2t u
+=

, đã có
( )
3 - ; 1 ; 2 u
=

d

tạo với (d) góc 60
0

) u;ucos( cos60
0
d
=


2
1
=
3t)- (2 4) (t 6) -(2t 2
3t) - (-3).(2 4) 1.(t 6) -2.(2t
2222
+++++
+++
.)3(1
22

56 28t - t
14 14t

2
1
2
+

=
14.14

t
2
- 2t = 0 t = 0 hoặc t = 2
0.25
0.25
0.25
Bài Nội dung cơ bản Điểm
Bài
III -
2b
(tiếp)
t = 2 M
1
(3 ; -1 ;-3)
1
u
= (-2 ; 6 ; - 4) // ( 1; -3 ; 2)
pt

1
: x = 5 + m ; y = - 7 - 3m ; z = 1 + 2m (m là tham số )
t = 0 M
2
(-1 ; -3 ; 3)
2

u

= (- 6 ; 4 ; 2) // ( 3 ; -2 ; -1)
pt

2
: x = 5 +3 m ; y = - 7 - 2m ; z = 1 - m (m là tham số )
ĐS : 2 đờng thẳng thỏa mãn đề bài :
1
;
2
ở trên .
0.25
Bài
IV - 1
(1 đ)

Đặt x = 2sint (- /2 t /2) ; khi x =-1 t = - /6 , khi x = 1 t =
/6
I =

t)4sin - (4
d(2sint) . (2sint)
6
6
-
32
2



=

t cos 8.
.dt cost t 8sin
6
6
-
3
2



=
t.dt tg
6
6
-
2



=
.dt 1 -
tcos
1

6
6
-
2

=

6
6
-
6
6
-
2
dt - dt
tcos
1






=

6
t -

6
tgt
66





=

3
-
3
2


=

3
-3 2

0.25
0.25
0.25
0.25

Bài
IV - 2
(1 đ)
Các cách chọn 6 trong 16 đoàn viên không thỏa mãn đề bài gồm có :

Chọn 6 trong 16 đoàn viên trong đó không có đoàn viên nữ nào
tức là phải chọn 6 đoàn viên nam trong 9 đoàn viên nam (không
cần thứ tự) . Trờng hợp này có : S
0
=
6
9
0
7
.CC
=
6!.3!
9!
.
7!.0!
7!
= 84
( cách chọn )
Chọn 6 trong 16 đoàn viên trong đó có đúng 1đoàn viên nữ . Ta
lần lợt chọn : 1 trong 7 đoàn viên nữ ( có 7 cách chọn ) ; chọn 5
trong 9 đoàn viên nam ( có
5
9
C
cách chọn ) .
Trờng hợp này có : S
1
=
5
9

7C
=
5!.4!
9!
7.
= 882 ( cách chọn )
Nên số cách chọn không thỏa mãn đề bài là : 84 + 882 = 966
Số cách chọn 6 trong 16 đoàn viên bất kì trong nhóm đoàn viên
trên là : S =
6
16
C
=
6!.10!
16!
= 8008 ( cách chọn ) .
Số cách chọn thỏa mãn đề bài là : S - (S
0
+ S
1
) . Vậy tất cả có :
8008 - ( 84 + 882) = 7042 ( cách chọn)
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài Nội dung cơ bản Điểm
Bài
V
(1 đ)

Đặt

2z c - b a
2y b -a c
2x a - c b





=+
=+
=+
x , y , z > 0 và

y x c
x z b
z y a





+=
+=
+=

Giả thiết
2x
z y

+
+
2y
x) 25(z
+
+
2z
y) 81(x +
= 59









+

y
25x

x
y

+

+

z
81x

x
z

+








+
z
81y

y
25z

= 108 (*)
áp dụng bđt Cô Si ta luôn có VT (*) 2.5 + 2.9 + 2.5.9 = 108
nên (*) thỏa mãn

9y 5z
9x z
5x y





=
=
=


9x z
5x y



=
=


6x y x c
10x x z b
14x z y a

=+=
=+=
=+=

hay ABC có các cạnh thỏa mãn a : b : c = 7 : 5 : 3
góc lớn nhất là A và cosA =

2.5.3
7 - 3 5
222
+
=
2
1
-
A = 120
0
.
0.25
0.25
0.25
0.25
Đồ thị của hàm số ở bài I - 1 .


5
y
x
4

-4
3
-1
I
O
y =
-
x
2
+ 2x -5
x - 1
y = -x + 1
x = 1
Ghi Chú : - Các cách giải khác hợp lí vẫn cho điểm tối đa .
- Bài II - 2 nếu giải nh trên mà không có nhận xét 5x + 4 > 1 thì chỉ cho tối
đa 0.75 đ
- Bài tập hình nếu giải bằng phơng pháp tổng hợp bắt buộc phải vẽ hình , nếu
giải bằng phơng pháp tọa độ thì không nhất thiết phải vẽ hình .