Đề thi thử đại học môn Toán lời giải chi tiết số 39

Thầy giáo :Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 40
A. PHẦN CHUNG ( Dành cho tất cả các thí sinh)
Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x
3
– 3x + 2 (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) có phương trình y = - 3x + 2 sao cho từ M kẻ
được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Câu II (2 điểm)
1. Giải hệ phương trình:





=−−+++
=+++++
232
532
22
22
yxyx
yxyx
2. Giải phương trình. 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0
Câu III (1 điểm). Tính tích phân:
∫
−+
1
0
2

11 x
dx
Câu IV (1 điểm). Cho khối chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c,
·
ASB
= 60
0
,
·
BSC
= 90
0
,
·
CSA
= 120
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Câu V (1 điểm). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 2abc.
Chứng minh rằng:
222
)12(
1
)12(
1
)12(
1
−
+
−

+
− ccbbaa
2
1
≥
B. PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chỉ chọn một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2)
Phần 1:
Câu VI a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (
∆
): x + y – 1 = 0, các điểm A( 0; - 1),
B(2;1). Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên (
∆
). Tịm tọa độ các điểm C, D.
2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;0;2) và đường thẳng (
∆
) có phương trình tham
số: x = 0; y = t; z = 2. Điểm M di động trên trục hoành, điểm N di động trên (
∆
) sao cho:
OM + AN = MN. Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
Câu VII a (1 điểm). Tìm các giá trị của a thỏa mãn: 3
x
+ (a – 1).2
x
+ (a – 1) > 0,
Rx ∈∀
.
Phần 2:
Câu VI b (2 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC trọng tâm G(
3
1
;
3
5
−
), đường tròn đi qua
trung điểm các cạnh có phương trình x
2
+ y
2
– 2x + 4y = 0. Hãy tìm phương trình đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; - 2; 3), B(2; - 1;2) và đường thẳng (
∆
):
3
6
2
1
1
−
=
−
=
zyx
. Tìm tọa độ của điểm M trên (
∆
) sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.

Câu VII b (1 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
3
1
−
−
z
z
= 1,
iz
iz
+
− 2
= 2.
Hết
Luyện thi Đại Học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thành Hóa
Thầy giáo :Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
HƯỚNG DẪN ĐỀ 40
Câu I:
1. Tự làm.
2. Gọi M(a;b) là điểm cần tìm. M thuộc (d) nên b = -3a + 2.
Tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại điểm (x
0
;y
0
) là: y = (3x
0
2
– 3)(x – x
0
) + x

0
3
– 3x
0

+2.
Tiếp tuyến đi qua M(a;b)
⇔
- 3a + 2 = (3x
0
2
– 3)( a – x
0
) + x
0
3
– 3x
0
+ 2
⇔
2x
0
3
– 3ax
0
2
= 0
⇔
x
0

= 0 hoặc x
0
= 3a/2
Có hai tiếp tuyến đi qua M với hệ số góc là k
1
= f ’(0) = -3 và k
2
=f ‘(3a/2) =
4
27
2
a
- 3 .
Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau
⇔
k
1
.k
2
= - 1
⇔
a
2
= 40/81
⇔
a =
9
102
±
.

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M(
9
102
±
;
2
3
102
+
).
Câu II:
1. Cộng và trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được hệ tương đương:







=+
=+++
2
3
2
7
32
22
yx
yx

⇔







=+−++
−=
2
7
3)
2
3
(2
2
3
22
xx
xy
⇔
…
⇔







=
=
)
20
13
;
20
17
();(
)1;
2
1
();(
yx
yx
2. Phương trình
⇔
( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos
2
x – sin
2
x) = 0

⇔
( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0
⇔
( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0

⇔
1

tan 1;cos
2
x x= =
⇔
( )
. ; . ,
4 3
x k x l k l
π π
π π
= + = ± + ∈¢
( k,l
∈
Z).
Câu III:
Đặt x = sint với t
]
2
;
2
[
ππ
−∈
. Ta có:dx = costdt và
ttx
222
cossin11 =−=−
=|cost| = cost.
Đổi cận: Với x =0 thì t = 0; Với x = 1 thì t =
2

π
. Từ đó:

∫∫
+
=
−+
2
0
1
0
2
cos1
cos
11
π
t
tdt
x
dx
=
∫
−
2
0
2
2
)2/(cos2
1)2/(cos2
π

dt
ts
ts
=
∫∫
−
2
0
2
2
0
)2/(cos
)2/(
ππ
t
td
dt
=( t – tan (t/2) ) |
2
0
π
=
2
π
-1
Câu IV: Tự vẽ hình.
Trên các tia SB, SC lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho SB’ = SC’ = SA = a Tam giác SAB’ đều cạnh
a nên AB’ = a. Tam giác SBC’ vuông cân tại S nên B’C’ = a
2
. Tam giác SC’A cân tại S có

∠
C’SA
= 120
0
nên C’A = a
3
. Suy ra AB’
2
+ B’C’
2
= C’A
2
hay tam giác AB’C’ vuông tại B’
⇒
diện tích tam
giác AB’C’ =
2
2
2
a
. Hạ SH
⊥
mp(AB’C’)
⇒
HA = HB’ =HC’
⇒
H là tâm của đường tròn ngoại tiếp
tam giác AB’C’
⇒
H là trung điểm của C’A

⇒
SH = SA. Sin 30
0
= a/2.
Thể tích khối chóp S.AB’C’ là: V’ =
12
2
2
.
2
2
.
3
1
32
aaa
=
. Áp dụng công thức:
'
.
'
'.
.
'
SC
SC
SB
SB
V
V

CABS
ABCS
=
Tính được: V
S.ABC
=
12
2abc
.
Câu V. Đặt x =
a
1
, y =
b
1
, z =
c
1
ta có x,y,z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z = 2.
Ta có: a(2a – 1)
2
=
2
)1
2
(
1
−
xx
=

3
2
)(
x
zy +

. Từ đó:
Luyện thi Đại Học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thành Hóa
Thầy giáo :Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
: P =
222
)12(
1
)12(
1
)12(
1
−
+
−
+
− ccbbaa
=
2
3
2
3
2
3
)()()( yx

z
xz
y
zy
x
+
+
+
+
+
.
Áp dụng bất đẳng thức Cô si có:
x
xzyzy
zy
x
4
3
64
3
88
)(
3
3
2
3
=≥
+
+
+

+
+
(1)
Tương tự:
y
xzxz
xz
y
4
3
88
)(
2
3
≥
+
+
+
+
+
(2)
z
yxyx
yx
z
4
3
88
)(
2

3
≥
+
+
+
+
+
(3).
Cộng từng vế của (1), (2), (3) rồi ước lược được: P
≥

4
1
(x + y + z) =
2
1
.
Đẳng thức xảy ra
⇔
x = y = z = 2/3
⇔
a = b = c = 3/2.
Câu VIa:
1. Gọi I(a;b) là tâm của hình thoi.Vì I
∆∈
nên a + b – 1 = 0 hay b = 1 – a (1).
Ta có:
AI
(a;b+1) và
BI

(a – 2;b – 1) mà ABCD là hình thoi nên AI
⊥
BI suy ra :
a(a – 2) + (b + 1)(b – 1) = 0 (2). Thế (1) vào (2) rồi rút gọn được: a
2
– 2a = 0
⇔
a = 0 hoặc a = 2.
TH1: Với a = 0 thì I(0;1). Do I là trung điểm của AC và BD nên áp dụng công thức tọa độ trung điểm,
ta có:



=−=
=−=
22
02
AIC
AIC
yyy
xxx
và



=−=
−=−=
12
22
BID

BID
yyy
xxx
; C(0;2) và D(-2;1).
TH2: Với a = 2 thì I(2;-1). Tương tự ta được: C(4;-1) và D(2;-3).
Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) và D(-2;1) hoặc C(4;-1) và D(2;-3).
2. Dễ dàng chứng minh được OA là đoạn đường vuông góc chung của hai đường thẳng
∆
và Ox
(là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau). Từ đó MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA
khi và chỉ khi OM + AN = MN. Vậy khi OM + AN = MN thì MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA
cố định. (Phương trình mặt cầu là: x
2
+ y
2
+ ( z – 1)
2
= 1).
Câu VIIa: 3
x
+ (a – 1).2
x
+ (a – 1) > 0
⇔
3
x
> (1 –a).( 2
x
+1)
⇔

12
3
+
x
x
> 1 – a (*).
Xét hàm số: f(x) =
12
3
+
x
x
với x
∈
R. Ta có: f ‘ (x) =
2
)12(
2ln.3.23ln).12.(3
+
−+
x
xxxx
> 0 với mọi x.
Hàm số luôn đồng biến., mà:
−∞→x
lim
f(x) = 0. Bất đẳng thức (*) đúng với mọi x
⇔
1 – a
≤

0
⇔
a
≥
1.
Vậy đáp số: a
≥
1.
Luyện thi Đại Học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thành Hóa