Đề thi thử đại học môn Toán lời giải số 35

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN SỐ 35
Ngày 19 tháng 02 năm 2013
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số
2 4

1
x
y
x
−
=
+
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1).
Câu II (2,0 điểm):
1. Giải phương trình:
2
2
1 3 2
1 3
x x
x x
= + + −
+ + −

2. Giải phương trình:
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +

Câu III (1,0 điểm): Tính tích phân:
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
 
= +
 ÷
+
 
∫
Câu IV (1,0 điểm):Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD
cạnh a. Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông
góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của
hai hình chóp, biết rằng SH = S’K =h.
Câu V(1,0 điểm): Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
9 9 9 9 9 9
6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6
x y y z z x
P
x x y y y y z z z z x x
+ + +
= + +
+ + + + + +

PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:
2 2
4 3 4 0x y x+ + − =
. Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và
tiếp xúc ngoài với (C) tại A.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có
phương trình
2 3
2 (t R)
4 2
x t
y t
z t
= +


= − ∈


= +

. Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và
B là nhỏ nhất.
Câu VII.a (1,0 điểm): Giải phương trình trong tập số phức:
2
0z z+ =
B. Theo chương trình nâng cao.

Câu VI.b (2,0 điểm):
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường
chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ
nhật.
2. Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng:

2 1 0 3 3 0
( ) ; ( ')
1 0 2 1 0
x y x y z
x y z x y
+ + = + − + =
 
∆ ∆
 
− + − = − + =
 
.Chứng minh rằng hai đường thẳng (
∆
) và (
'∆
) cắt
nhau. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của các góc tạo bởi (
∆
) và (
'∆
).
Câu VII.b (1,0 điểm): Giải hệ phương trình:
2 2 2
3 3 3

log 3 log log
log 12 log log
x y y x
x x y y
+ = +


+ = +

.
Hết
Họ và tên thí sinh: ……………………… ……………………………………Số báo danh:
…………… ……
Luyện thi Đại Học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 35
Câu 1. TXĐ: D = R\{-1}
Chiều biến thiên:
2
6
' 0 x D
( 1)
y
x
= > ∀ ∈
+

=> hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( ; 1)−∞ −
và

( 1; )− +∞
, hàm số không có cực trị
Giới hạn:
1 1
lim 2, lim , lim
x
x x
y y y
− +
→±∞
→− →−
= = +∞ = −∞

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x= -1, tiệm cận ngang y = 2
BBT
x -
∞
-1 +
∞
y’ + +
y

+
∞
2
2 -
∞
+ Đồ thị (C):
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm
( )

2;0
, trục tung tại điểm (0;-4)
f(x)=(2x-4 )/(x+1)
f(x)=2
x(t)=-1 , y(t)=t
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng
Câu I : 2. Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có
6 6
;2 ; ;2 ; , 1
1 1
A a B b a b
a b
   

− − ≠ −
 ÷  ÷
+ +
   
Trung điểm I của AB: I
2 2
;
2 1 1
a b a b
a b
+ − −
 
+
 ÷
+ +
 
Phương trình đường thẳng MN: x + 2y +3= 0
Có :
. 0AB MN
I MN

=


∈


uuur uuuur
=>
0 (0; 4)

2 (2;0)
a A
b B
= −
 
=>
 
=
 
Câu II : 1. TXĐ: x
[ ]
1;3∈ −
Đặt t=
1 3 , t > 0x x+ + −
=>
2
2
4
3 2
2
t
x x
−
+ − =
Được pt: t
3
- 2t - 4 = 0  t=2
Với t = 2 
1
1 3 =2 ( / )

3
x
x x t m
x
= −

+ + − ⇔

=

Câu II: 2.
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
TXĐ: D =R
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
[ ]
sin 0
(sin ). 2 2(sin ) sin . 0
2 2(sin ) sin . 0
x cosx
x cosx x cosx x cosx
x cosx x cosx
− =

⇔ − + + + = ⇔

+ + + =

Luyện thi Đại Học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
+ Với
sin 0 ( )
4
x cosx x k k Z
π
π
− = ⇔ = + ∈
+ Với
2 2(sin ) sin . 0x cosx x cosx+ + + =
, đặt t =
sin (t 2; 2 )x cosx
 
+ ∈ −
 
được pt : t
2
+ 4t +3 = 0
1
3( )
t
t loai
= −

⇔

= −

t = -1
2

( )
2
2
x m
m Z
x m
π π
π
π
= +


⇒ ∈

= − +

Vậy :
, 2 , 2 ( , )
4 2
x k x m x m m Z k Z
π π
π π π π
= + = + = − + ∈ ∈
Câu III:
2
1
ln
ln
1 ln
e

x
I x dx
x x
 
= +
 ÷
+
 
∫
I
1
=
1
ln
1 ln
e
x
dx
x x
+
∫
, Đặt t =
1 ln x+
,… Tính được I
1
=
4 2 2
3 3
−
( )

2
2
1
ln
e
I x dx
=
∫
, lấy tích phân từng phần 2 lần được I
2
= e – 2 Vậy: I = I
1
+ I
2
=
2 2 2
3 3
e − −
Câu IV
M
N
A
B
D
C
S
S'
H
K
SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D :

. .S ABCD S AMND
V V V= −

. . .S AMND S AMD S MND
V V V= +
;
. .
. .
1 1
; . ;
2 4
S AMD S MND
S ABD S BCD
V V
SM SM SN
V SB V SB SC
= = = =
. . .
1
2
S ABD S ACD S ABCD
V V V= =
;
. . .
3 5
8 8
S AMND S ABCD S ABCD
V V V V= ⇒ =
2
5

24
V a h⇒ =
CâuV : Có x, y, z >0, Đặt : a = x
3
, b = y
3
, c = z
3
(a, b, c >0 ; abc=1)đc :
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
P
a ab b b bc c c ca a
+ + +
= + +
+ + + + + +
3 3 2 2
2 2 2 2
( )
a b a ab b
a b
a ab b a ab b
+ − +
= +
+ + + +
mà
2 2
2 2
1

3
a ab b
a ab b
− +
≥
+ +
(Biến đổi tương đương)
2 2
2 2
1
( ) ( )
3
a ab b
a b a b
a ab b
− +
=> + ≥ +
+ +
Tương tự:
3 3 3 3
2 2 2 2
1 1
( ); ( )
3 3
b c c a
b c c a
b bc c c ca a
+ +
≥ + ≥ +
+ + + +

=>
3
2
( ) 2. 2
3
P a b c abc≥ + + ≥ =
(BĐT Côsi) => P
2, 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1P≥ = ⇔
Vậy: minP = 2 khi x = y =z=1
CâuVI.a
1. A(0;2), I(-2
3
;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’
Phương trình đường thẳng IA :
2 3
2 2
x t
y t

=


= +


,
'I IA∈
=> I’(
2 3 ;2 2t t +
),

Luyện thi Đại Học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727

1
2 ' '( 3;3)
2
AI I A t I= ⇔ = =>
uur uuur
(C’):
( )
( )
2
2
3 3 4x y− + − =
CâuVI.a : 2. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t)
d∈
, AB//d.
Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB
≥
A’B
(MA+ MB)
min
= A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB, MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4)
CâuVII.a z = x + iy (
,x y R∈
), z
2
+
2 2 2 2
0 2 0z x y x y xyi= ⇔ − + + + =

2 2 2 2
2 0
0
xy
x y x y
=


⇔

− + + =


Giải rat a được (x;y)=(0;0); (0;1) ; (0;-1). Vậy: z = 0, z = i, z = - i
Câu VI.b : 1.
(7;3)BD AB B∩ =
, phương trình đường thẳng BC: 2x + y – 17 = 0
(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c∈ ⇒ + ∈ ⇒ − ≠ ≠
,
I =
2 1 2 17
;
2 2
a c a c+ + − +
 
 ÷
 
là trung điểm của AC, BD.
I
3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c∈ ⇔ − − = ⇔ = − ⇒ − −

M, A, C thẳng hàng 
,MA MC
uuur uuuur
cùng phương => c
2
– 13c +42 =0 
7( )
6
c loai
c
=


=

c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)
Câu VI.b : 2.
Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất, (
∆
)
∩
(
'∆
) = A
1 3
;0;
2 2
 
−
 ÷

 
(0; 1;0) ( )M − ∈ ∆
, Lấy N
( ')∈ ∆
, sao cho: AM = AN => N
AMN
∆
cân tại A, lấy I là trung điểm MN => đường phân giác của các góc tạo bởi (
∆
) và (
'∆
)
chính là đường thẳng AI
Đáp số:
1 2
1 3 1 3
2 2 2 2
( ) : ;( ):
1 1 2 2 3 5 1 1 2 2 3 5
14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30
x z x z
y y
d d
+ − + −
= = = =
− − − −
+ + + − − −
Câu VII.b :TXĐ:
0
0

x
y
>


>

2 2 2
3 3 3
log 3 log log
3 . 2 .
log 12 log log
12 . 3 .
x y
x y
x y y x
y x
x x y y
x y

+ = +
=


⇔
 
+ = +
=





2
3 . 2 .
x y
y x
y x
=

⇔

=


4
3
4
3
log 2
2log 2
x
y
=


⇔

=



(t/m TXĐ)
Luyện thi Đại Học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa