Đề kiểm tra học kỳ 1 toán 10 (7)

Đề số 8
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2014 – 2015
Môn TOÁN Lớp 10
Thời gian làm bài 90 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7,0 Điểm)
Câu 1. (2 điểm)
1) Tìm tập xác định của hàm số sau:
2
3
1
+
= + −
−
x
y x
x
2) Giải phương trình
4 9 2 3x x− − = −
Câu 2. (2.5 điểm) Cho hàm số
2
2 5 3y x x= + −
có đồ thị là (P).
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D):
8 2y x= −
.
Câu 3. (2.5 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho 3 điểm

( 1;4), ( 2; 3), (2,3)A B C− − −
.
a) Chứng minh
, ,A B C
là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ trực tâm
H
của tam giác
ABC
.
2) Cho tam giác
,ABC
G
là trọng tâm tam giác,
D
là điểm đối xứng của
B
qua
G
. Chứng
minh rằng:
1
( )
3
CD BA CA
= +
uuur uuur uuur
.
II. PHẦN RIÊNG: ( 3,0 Điểm).
A – Theo chương trình chuẩn.

Câu 4A. (1 điểm) Giải phương trình
2 3 2x x+ − =
.
Câu 5A. (1 điểm) Giải hệ phương trình:
3 4
11
1 1
5 6
7
1 1
x y
x y

+ =

+ −



− = −

+ −

Câu 6A. (1 điểm) Tam giác
ABC
đều cạnh
a
có trọng tâm
G
. Tính

.GB GC
uuur uuur
.
B – Theo chương trình nâng cao.
Câu 4B. (1 điểm) Giải hệ phương trình
2 2
3
1
x y xy
x y xy
− − =


+ + =

Câu 5B. (1 điểm) Xác định a để phương trình
2
2 4 1x x a x− + = −
có nghiệm:
Câu 6B. (1 điểm) Cho tam giác
ABC
có
, ,a BC b CA c AB= = =
. Chứng minh rằng:
2 2
( cos cos )b c a b C c B− = −
.
C – Theo chương trình chuyên.
Câu 4C. (1 điểm) Giải hệ phương trình
3 3

5
( 1) ( 1) 35
xy x y
x y
+ + =


+ + + =

Câu 5C. (1 điểm) Cho phương trình
x
+
x9 −
=
x x m
2
9− + +
.
a) Giải phương trình khi m = 9 .
b) Xác định m để phương trình có nghiệm .
Câu 6C. (1 điểm ) Cho tam giác đều ABC cạnh 3a. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy các điểm M, N,
P sao cho MB = a, NC = 2a, AP = x (0 < x < 3a). Tìm x để AM
⊥
PN .
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1

Đề số 8
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2014 – 2015

Môn TOÁN Lớp 10
Thời gian làm bài 90 phút
Câu Đáp án Điểm
1.1
Điều kiện
2 0
3 0
1 0
x
x
x
+ ≥


− ≥


− ≠

Tập xác định D =[–2;1)
∪
(1;3]
0.5
0.5
1.2
|4x – 9| = 2x –3 đk:
3
2
x ≥
4 9 3 2

4 9 2 3
x x
x x
− = −

⇔

− = −

2, 3x x⇔ = =
(thỏa điều kiện)
Kết luận nghiệm của phương trình là x = 2, x = 3
0.25
0.25
0.25
0.25
2.1

2
2 5 3y x x= + −
Đỉnh
5 49
;
4 8
I
 
− −
 ÷
 
Trục đối xứng

5
4
x = −
Hệ số
2a
=
> 0 nên bề lõm hướng lên trên
Bảng biến thiên
x
−∞

5
4
−

+∞

y
+∞

+∞

49
8
−
Bảng giá trị
x –3 0 1
y 0 –3 4
Đồ thị

0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
2.2
Phương trình hoành độ giao điểm
2
2 5 3 8 2x x x+ − = −

2
2 3 1 0x x⇔ − − =

3 17 3 17
,
4 4
x x
− +
⇔ = =
Suy ra tọa độ giao điểm
( ) ( )
3 17 3 17
;4 2 17 , ;4 2 17
4 4
− +
− +

0.25
0.25
0.25

3.1 a
Ta có:
( 1; 7), (3; 1)AB AC= − − = −
uuur uuur
Vì
1 7
3 1
− −
≠
−
suy ra hai vec tơ
,AB AC
uuur uuur
không cùng phương.
Vậy
, ,A B C
không thẳng hàng, Suy ra điều phải chứng minh
0.25
0.25
0.25
2
3.1b
Gọi
( ; )H x y
( 1; 4), ( 2; 3)AH x y BH x y⇒ = + − = + +
uuur uuur
(4;6), (3; 1)BC AC= = −
uuur uuur
H là trực tâm
. 0

. 0
AH BC AH BC
BH AC BH AC
 
⊥ =
 
⇔ ⇔
 
⊥ =
 
 
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
( ) ( )
( ) ( )
4 1 6 4 0
3 2 3 0
x y
x y
+ + − =

⇔

+ − + =



4 6 20
3 3
x y

x y
+ =

⇔

− = −

Giải ra x = , y = KL H
1 36
;
11 11
 
 ÷
 
0.25
0.25
0.25
0.25
3.2
Gọi
M
là trung điểm của
BC
, ta có
2CD GM
= −
uuur uuuur

1
2

3
AM
= −
uuuur
2 1
. ( )
3 2
AB AC
= − +
uuur uuur

1 1
( ) ( )
3 3
AB AC BA CA
= − + = +
uuur uuur uuur uuur

0.25
0.25
0.25
4A
2 3 2x x+ − =

2 3 2x x⇔ − = −
đk:
2 3 0
3
2
2 0

2
x
x
x
− ≥

⇔ ≤ ≤

− ≥

2
2 3 4 4x x x⇔ − = − +
2
6 7 0x x⇔ − + =
3 2x⇔ = ±
So điều kiện, chọn nghiệm
3 2x = −
0.25
0.25
0.25
0.25
5A
Điều kiện:
1, 1x y≠ − ≠
đặt được
1 1
,
1 1
X Y
x y

= =
+ −
Đưa về hệ phương trình
3 4 11
5 6 7
X Y
X Y
+ =


− = −

Tìm được
1, 2X Y= =
1
1
0
1
3
1
2
2
1
x
x
y
y

=
=



+
 
⇔
 
=
 
=

−


0.25
0.25
0.25
0.25
6A
Xác định được góc giữa 2 vec tơ
GB
uuur
và
GC
uuur
bằng
120
o
Tính được
3
3

a
GB GC= =
Viết được công thức tính vô hướng
Thay vào và ra đáp số
2
6
a
−
0.25
0.25
0.25
0.25
4B

2 2
3
1
x y xy
x y xy
− − =


+ + =


⇔
2
3
( ) 3 1
x y xy

x y xy
− − =


− + =

Đặt S = x – y; P = xy, ta có:
2
3
3 1
S P
S P
− =


+ =

Giải hệ tìm được : S = 2 ; P = –1 và S = –5; P = –8
Giải tìm x, y.
0.25
0.25
3
S = 2; P = –1: ta có hệ:
2
1
x y
xy
−
=



= −

. Giải tìm được
1
1
x
y
=


= −

Với S = –5; P = –8 ta có hệ vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: S =
{ }
(1; 1)−
.
0.25
0.25
5B
2
2 4 1x x a x− + = −

2 2
1 0
2 4 ( 1) (1)
x
x x a x
− ≥


⇔

− + = −

(1)
⇔

2
2 1x x a− + + =
Vẽ đồ thị hàm số y =
2
2 1x x− + +
(P), rồi tìm giao điểm của (P) và y = a.
Ta tìm được a
≤
2 thì phương trình có nghiệm thỏa điều kiện x
1≥
.
0.25
0.25
0.25
0.25
6B
Theo định lý cosin, ta có
2 2 2
2 2 2
2 cos ;
2 cos ;
b a c ac B

c a b ab C
= + −
= + −
Trừ vế theo vế ta được
2 2
b c− =
Suy ra
2 2
( cos cos )b c a b C c B− = −
0.25
0.25
0.25
0.25
4C
Biến đổi
3
( 1)( 1) 6
[(x+1)+(y+1)] 3[( 1) ( 1)]( 1)( 1) 35
x y
x y x y
+ + =


− + + + + + =

Đặt
( 1) ( 1); ( 1)( 1)S x y P x y= + + + = + +
Hệ trở thành
2
6

5 2 1
6 1 2
( 3 ) 35
P
S x x
P y y
S S P
=
= = =

  
⇒ ⇒ ∨
   
= = =
− =
  

0.25
0.25
0.25
0.25
5C
a. Với m = 9 phương trình trở thành
x
+
x9−
=
x x
2
9 9− + +

(1)
Điều kiện : 0 ≤ x ≤ 9 . Bình phương hai vế của (1) ta được
(1) ⇔ 2
x x(9 )−
= x(9 – x)
⇔
x x(9 )−
= 0 hay
x x(9 )−
= 2
⇔ x = 0; x = 9 hay x
2
– 9x + 4 = 0
⇔ x = 0; x = 9 hay x =
9 65
2
±
.
Đối chiếu với điều kiện , cả bốn nghiệm trên đều thích hợp .
0.25đ
0.25đ
b. Điều kiện
x
x x m
2
0 9
9 0

≤ ≤



− − ≤


. Lúc đó phương trình đề bài tương
đương với x(9 – x) – 2
x x(9 )−
+ m – 9 = 0 (2)
Đặt t =
x x(9 )−
, thế thì 0 ≤ t =
x x(9 )−
=
x
2
81 9
4 2
 
− −
 ÷
 
≤
9
2
.
(2) ⇔ t
2
– 2t + m – 9 = 0 (3)
0.25đ
4

phương trình đề bài có nghiệm khi (3) có nghiệm t sao cho 0 ≤ t ≤
9
2
.
(3) ⇔ – t
2
+ 2t + 9 = m
Lập bảng biến thiên của hàm số y = – t
2
+ 2t + 9 với 0 ≤ t ≤
9
2

Căn cứ bảng biến thiên : phương trình có nghiệm khi –
9
4
≤ m ≤ 10 .
0.25đ
6C
Biểu diễn
2 1
3 3
AM AB AC= +
uuuur uuur uuur
Biểu diễn
1
( )
3
x
PN AC AB

a
= −
uuur uuur uuur
Điều kiện AM
⊥
PN
. 0AM PN⇔ =
uuuur uuur
. Tính được
4
5
x a=
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
……HẾT……
5