Đề kiểm tra học kỳ 1 toán 10 (19)

Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN – KHỐI 10
Thời gian làm bài: 90 phút.
*****
Mỗi học sinh phải ghi đầy đủ tên lớp cùng họ và tên vào phần phách và ghi 1 trong 2 câu
sau đây vào phần đầu bài làm tùy theo loại lớp của mình.
Ban A, B : Làm các câu 1, 2, 3, 4, 5, 6. Điểm các câu lần lượt là: 3; 1; 1; 1; 2; 2.
Ban D, SN: Làm các câu 1, 2, 3, 4, 5, 6a. Điểm các câu lần lượt là: 3,5; 1; 1; 1; 2; 1,5.
Câu 1 : Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a)
2 2
3 9x x x x+ − + = +
b)
2
2
4 2 3( 5 ) 8
3 2 4( 5 ) 19
x y y
x y y

− + − = −


− − − =


. c)
2
2
3 2

3 2
x x y
y y x

= +


= +


.
Câu 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

3 1 2 2 3
1
1 1
− − + −
+ − =
− −
x m x m
x
x x
.
Câu 3: Tìm m để bất phương trình sau có tập nghiệm là R:
( )
2
2 1m m x m x− + < +
.
Câu 4: Cho a, b, c
≥

0. Chứng minh bất đẳng thức sau:
(1 ) (1 4 ) (1 9 ) 12+ + + + + ≥a b b c c a abc
.
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AB = 3a; AD = 5a; góc BAD =
0
120
.
a) Tính các tích vô hướng sau:
.AB AD
uuur uuur
;
.AC BD
uuur uuur
b) Tính độ dài đoạn BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(– 5; 6 ); B(– 4; – 1); C(4; 3).
a) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho T =
3 2 MA 3MB 4 4MA 3MB 2MC+ + − +
uuuur uuur uuuur uuur uuur
ngắn nhất.
2
*****
ĐÁP ÁN TOÁN KHỐI 10 HỌC KỲ I – NĂM HỌC: 2010 - 2011
Câ
u
Nội dung Ban
A, B
Ban
D,SN
1 a

AB
(1đ)
D,SN
(1,25đ)
2 2
3 9x x x x+ − + = +
(1).Đặt
2
3t x x= − +
. Điều kiện:
0t ≥
.
(Nếu thiếu điều kiện không trừ, vẫn cho 0.25 đ)
Phương trình (1) trở thành:
2
12 0t t+ − =
4 ( )
3 ( )
t loaïi
t nhaän

= −
⇔

=


3t⇔ =
2
3 3x x⇔ − + =

2
6 0x x⇔ − − =

3 ( )
2 ( )
x nhaän
x loaïi

=
⇔

= −

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b
1đ
a/
2
2
4 2 3( 5 ) 8
( )

3 2 4( 5 ) 19
x y y
I
x y y

− + − = −


− − − =


.Đặt
2
2
5
a x
b y y

= −


= −


. Điềukiện:
0a
≥

(Nếu thiếu điều kiện không trừ, vẫn cho 0.25 đ)
Hệ (I) trở thành:

4 3 8
3 4 19
a b
a b
+ = −


− =


=
⇔

= −

1 ( )
4
a nhaän
b

2
2 1
5 4

− =

⇔

− = −



x
y y
3
1
1
4
 =



=

⇔

=




=


x
x
y
y

1
1

=

⇔

=

x
y
;
1
4
=


=

x
y
;
3
1
=


=

x
y
;
3

4
=


=

x
y
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
c
AB
(1đ)
D,SN
(1,25đ)
2
2
3 2
3 2
x x y
y y x

= +



= +


2 2
2
3 2 3 2
3 2

− = + − −

⇔

= +


x y x y y x
x x y
2
( )( 1) 0
3 2
− + − =

⇔

= +

x y x y
x x y
2

2
0
3 2
1 0
3 2
 − =



= +


⇔

+ − =




= +


x y
x x y
x y
x x y
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0,25
0.25
2
3

2
2
5 0
1
2 0
 =



− =


⇔

= −




− − =



x y
x x
y x
x x
0 5 1 2
; ; ;
0 5 2 1
= = = − =
   
⇔
   
= = = = −
   
x x x x
y y y y
2
1đ
3 1 2 2 3
1
1 1
− − + −
+ − =
− −
x m x m
x
x x
(1). Điều kiện x >1
(1)
3 1 1 2 2 3⇔ − − + − = + −x m x x m
(1) có nghiệm

3 1
1 1
2
−
⇔ > ⇔ >
m
m
.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
3
1
( )
2
2 1m m x m x− + < +

( )
2
2 1 0⇔ − − + − <m m x m
Bất phương trình có tập nghiệm là R
2
2 0
1 0


− − =
⇔

− <

m m
m

1
2
1
 = −



⇔
=



<

m
m
m
1⇔ = −m
.
0.25
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
4
1
Chứng minh:
(1 ) (1 4 ) (1 9 ) 12+ + + + + ≥a b b c c a abc
(1)
Cách 1: (1)
4 9 12⇔ + + + + + ≥a ab b bc c ca abc
( ) ( ) ( )
4 4 9 6 2 0⇔ + − + + − + + − ≥a bc abc b ac abc c ab abc
(vì a, b, c
≥
0 nên ab, 4bc, 9ac
≥
0.)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 0⇔ − + − + − ≥a bc b ac c ab
(luôn đúng với a,b,c
≥
0)
Lưu ý: HS có thể trình bày dưới dạng bất đẳng thức Cauchy,
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
Cách 2: Vì a, b, c
≥
0 nên ab, 4bc, 9ac
≥
0.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta được:
4 2 4+ ≥a bc a bc
;
9 2 9+ ≥b ac b ac
;
2+ ≥c ab abc
Cộng theo vế, ta được:
4 9 12⇔ + + + + + ≥a ab b bc c ca abc

(1 ) (1 4 ) (1 9 ) 12⇔ + + + + + ≥a b b c c a abc
(đpcm)
0.25
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
Lưu ý: Cả hai cách làm, nếu thiếu lý luận Vì a, b, c
≥
0 nên ab, 4bc, 9ac
≥

0 thì trừ 0,25 đ
5 a
1đ
2
0
15
. . .cos 3 .5 .cos120
2
= = = −
uuur uuur
a
AB AD AB AD DAB a a
2 2 2
. ( )( ) 16= + − = − =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AC BD AD AB AD AB AD AB a
0.5
0.5
0.5
0.5
3
3 1
2
−
⇔ =
m
x
4
b

1đ
( )
2
2
2 2 2
2 . 49= − = + − =
uuur uuur uuur uuur uuur
BD AD AB AD AB AD AB a
7⇒ =BD a
Lưu ý: Học sinh có thể giải câu này theo định lý hàm số cos.
ABCD là hình bình hành nên: BC = AD = 3a;
góc BAD + góc ABC =
0
120
0
60⇒ =ABC
Áp dụng định lý hàm số cos trong tam giác ABC, ta được:
2 2 2 2
2 . .cos 19= + − =AC BC AB BC AB ABC a
19⇒ =AC a
Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác ABC, ta được:
0
19 57
2sin 2sin 60 3
= = =
AC a
R a
ABC
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
6 a
AB
(1đ)
D,SN
(1,5đ)
a) Gọi H(x; y). Ta có:
( 5; 6)
( 4; 3)
= + −
= − −
uuur
uuur
AH x y
CH x y
và
(8; 4)
(1; 7)
=
= −
uuur
uuur
BC
AB
H là trực tâm giác ABC

. 0
. 0

=

⇔

=


uuur uuur
uuur uuur
AH BC
CH AB
8( 5) 4( 6) 0
( 4) 7( 3) 0
+ + − =

⇔

− − − =

x y
x y
3
2
= −

⇔


=

x
y

Vậy H(–3; 2)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b
0.5
Vì M thuộc trục Oy nên M(0; y). Ta có:
( 5; 6 )
( 4; 1 )
(4;3 )

= − −


= − − −


= −



uuur
uuur
uuuur
MA y
MB y
MC y
3 ( 17; 3 4 );4 3 2⇒ + = − − − +
uuur uuur uuur uuur uuuur
MA MB y MA MB MC
= (0; 33 – 3y)
Do đó
T =
3 2 MA 3MB 4 4MA 3MB 2MC+ + − +
uuuur uuur uuuur uuur uuur
=
2 2 2 2
3 1 1 . 17 (3 4y) 4 33 3y+ + − + −
≥
3 17 (4y 3) 4 33 3y+ − + −
≥
(42 12y) (132 12y)+ + −

≥ 174.
Dấu “=” xảy ra
17 4 3
(42 12 )(132 12 ) 0
= −



+ − ≥

y
y y
⇔ y = 5.
Vậy T =
3 2 MA 3MB 4 4MA 3MB 2MC+ + − +
uuuur uuur uuuur uuur uuur
ngắn nhất bằng 174
⇔ M(0; 5)
0.25
0.25
0.25
0.25
4
5
5