đề thi thử đại học môn toán năm 2015 đề số 157

TRƯỜNG THPT HAI BÀ TR
ƯNG
Đề
chính th
ứ
c
(
Đề thi gồ
m 01 trang)


K
Ỳ
THI TH
Ử
THPT QU
Ố
C GIA L
Ầ
N 3 N
Ă
M 2015
Môn : TOÁN
Th
ờ
i gian làm bài:180 phút, không k
ể
th
ờ
i gian phát
đề

Câu 1

(2,0
đ
i
ể
m
)
Cho hàm số
(1)
2 1
2
x m
y
x
− −
=
−
.
a.
Khảo sát sự biến thiên và v
ẽ đồ thị
(
)
C
c
ủ
a hàm s
ố

(1) khi
1
m
=
.
b.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị

( )
C
bi
ế
t ti
ế
p
đ
i

ể
m có tung
độ

3
y
=
.
c.
Tìm các giá tr
ị

3
m
≠

để
hàm s
ố
(1)
đồ
ng bi
ế
n trên các kho
ả
ng xác
đị
nh c
ủ
a nó.

Câu 2

(1,0
đ
i
ể
m
)
a.
Cho
( )
1
sin
3
π α
+ =−
v
ớ
i
2
π
α π
< <
. Tính
7
tan
2
π
α
 

−
 
 
.

b.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
( )
1
9 1
8.3 .
x x x x
x
− −+
+ ≥
∈
»

Câu 3

(1,0
đ
i
ể

m
)
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
đồ
th
ị
hàm s
ố

1
x
y e
= +
, tr
ụ
c hoành và
hai
đườ
ng th
ẳ

ng
ln3, ln8
x x
= =
.

Câu 4 (1,0
đ
i
ể
m)
Cho hình l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng
ABCD.A’B’C’D’
có
đ
áy là hình thoi c
ạ
nh
a
,

0
60
BAD

=

và ' 2
AC a
=
. G
ọ
i
O
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
AC
và
BD
,
E
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
A’C
và

OC’
. Tính th
ể
tích kh
ố
i
l
ă
ng tr
ụ

ABCD.A’B’C’D’
và kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m
A
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (
EBD
).

Câu 5

(1,0
đ
i
ể
m
)
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ

Oxy
, cho tam giác nh
ọ
n
ABC
, g
ọ
i
E
,
F

l
ầ
n l
ượ
t là hình
chi
ế
u c
ủ
a các
đỉ
nh
B
,
C
lên các c
ạ
nh
AC
,
AB
. Các
đườ
ng th
ẳ
ng
BC
và
EF
l

ầ
n l
ượ
t có ph
ươ
ng trình
là
: 4 12 0BCx y
− − =
,
:8 49 6 0EF x y
+ − =
, trung
đ
i
ể
m
I
c
ủ
a
EF
n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng
: 12 0x y

∆ − =
. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a tam giác
ABC
bi
ế
t
217BC
=
và
đỉ
nh
B
có hoành
độ
âm.


Câu 6

(1,0
đ
i

ể
m
)
Trong không gian
Oxyz
,

cho ba
đ
i
ể
m
(1; 2;0), (5; 3;1)
A B
− − − −
,
( )
2;3;4
C
− −

và
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
:
1 1 1
x y z

+ −
∆ = =
−
.
a
. Ch
ứ
ng minh tam giác
ABC

đề
u. Tính di
ệ
n tích tam giác
ABC
.
b.
Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m
D
thu
ộ
c

đườ
ng th
ẳ
ng
∆
sao cho th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n
D.ABC
b
ằ
ng 3.

Câu 7

(1,0
đ
i
ể
m
)

a.
Gi
ả
i ph

ươ
ng trình
( )
3 2 2 1 1
x x x
x
+ + + = +
∈
»
.
b.
T
ừ
t
ậ
p
{
}
1;2;3;4;5
E
=
, l
ậ
p các s
ố
t
ự
nhiên có ba ch
ữ
s

ố
. L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên hai s
ố
trong các s
ố

v
ừ
a l
ậ
p. Tính xác su
ấ
t
để
trong hai s
ố

đượ
c l
ấ
y ra có ít nh
ấ
t m
ộ
t s
ố

có
đ
úng hai ch
ữ
s
ố
phân bi
ệ
t.

Câu 8

(1,0
đ
i
ể
m)
Tìm s
ố
ph
ứ
c
z
bi
ế
t
( ) ( )
2
3 6 3 13 0
z i z i

+ − − + − + =
.
Câu 9

(1,0
đ
i
ể
m)
Cho
,, 1
abc
≥
là các s
ố
th
ự
c th
ỏ
a mãn
6
a b c
+ + =
. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c

ủ
a
( )( )(
)
2 2 2
2 2 2
P a b c
= + + +
.

H
ế
t

Thí sinh không
đượ
c s
ử
d
ụ
ng tài li
ệ
u. Cán b
ộ
coi thi không gi
ả
i thích gì thêm.
H
ọ
tên thí sinh………………………………………….; S

ố
báo danh………….


TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG
TỔ TOÁN


ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn : TOÁN; Lần 3
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

a. (1,0 điểm)

2 2
2
x
y
x
−
=
−


* T
ậ
p xác

đị
nh:
{
}
\ 2
D
=
»
.
* S
ự
bi
ế
n thiên:
Đạ
o hàm
( )
2
2
' 0,
2
y x D
x
−
= < ∀ ∈
−
. Hàm s
ố
ngh
ị

ch bi
ế
n trên m
ỗ
i kho
ả
ng
(
)
(
)
;2 ; 2;
−∞ +∞
.
0.25
Gi
ớ
i h
ạ
n:
lim lim 2
x x
y y
→+∞ →−∞
= =
, nên
đườ
ng th
ẳ
ng

2
y
=
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang c
ủ
a
đồ
th
ị

(
)
1
C
.
2 2
lim ; lim
x x
y y
+ −
→ →
= +∞ = −∞
, nên
đườ
ng th
ẳ

ng
2
x
=
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị

(
)
1
C
.
0.25
B
ả
ng bi
ế
n thiên:

0.25

*
Đồ
th
ị
:
Đồ
th
ị
hàm s
ố
nh
ậ
n giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n làm tâm
đố
i x
ứ
ng.
Đ

i
ể
m
đặ
c bi
ệ
t






















0.25

b. (0,5 điểm)
Ta có
( )
1
3 4; ' 4
2
y x y
=
⇒
= = −

0.25

1
(2,0
điểm)
Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i
đ
i
ể

m
(
)
4;3
M
:
0.25

( )
1 1
4 3 5
2 2
y x y x
= − − + ⇔ = − +

c. (0,5 điểm)


Ta có
( )
2
3
'
2
m
y
x
− +
=
−

, t
ậ
p xác
đị
nh
{
}
\ 2
D
=
»
.
0.25
V
ớ
i
3
m
≠
, hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên các kho
ả
ng
( ;2)
−∞

và
(
)
2;
+∞
khi và ch
ỉ
khi
' 0, 2 3
y x m
> ∀ ≠ ⇔ >
.

0.25
a. (0,5 điểm
)

Ta có
( )
1 1
sin sin
3 3
a
π α
+ = −
⇒
=
.
Do
2

π
α π
< <
nên
1 2 2
cos 0 cos 1
9 3
α α
<
⇒
= − − = −
.
0.25
7
tan tan 3 tan cot
2 2 2
π π π
α π α α α
     
− = + − = − =
     
     
cos
2 2
sin
α
α
= = −
.
0.25

b. (0,5 điểm
)

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
0
x
≥

B
ấ
t ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
(
)
2
8.3 9. 3 1 0
x x x x− −
+ − ≥

.
Đặ
t
3 , 0
x x
t t
−
= >
, ta có
2
9 8 1 0
t t
+ − ≥ ⇔
1
t
≤ −
(lo
ạ
i) ho
ặ
c
1
9
t
≥
.
0.25
2
(1,0
điểm)

Do v
ậ
y
1
3 2 2 0 0 2 0 4
9
x x
x x x x x x
−
≥ ⇔ − ≥ − ⇔ − + + ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
.
V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là
[
]
0;4
T
=

.
0.25
Di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng c
ầ
n tìm là:
ln8 ln8
ln3 ln3
1 1
x x
S e dx e dx
= + = +
∫ ∫
.

0.25
Đặ
t
2
2
2
1 1 2
1
x x x
t
t e e t e dx tdt dx dt
t

= +
⇒
= −
⇒
=
⇒
=
−

Đổ
i c
ậ
n :
ln3 2, ln8 3
x t x t
=
⇒
= =
⇒
=

0.25
Khi
đ
ó
2
3 3
2
2 2
2 1 1

2
1 1 1
t
S dt dt
t t t
 
= = + −
 
− − +
 
∫ ∫

0.25
3
(1,0
điểm)


3
3
2
2
1 3
2 ln 2 ln
1 2
t
t
t
−
= + = +

+

0.25
4
(1,0
điểm)

ABD
∆
có

0
, 60
AB AD a BAD
= = =
nên
ABD
∆

đề
u,
suy ra
3
3
2
a
AO AC a
=
⇒
= ;

'
CC a
=



0.25
I
O
B
C
A
B'
D'
C'
A'
D
H
2
1 3
.
2 2
ABCD
a
S AC BD
= = . Do v
ậ
y
3
. ' ' ' '

3
'.
2
ABCD A B C D ABCD
a
V CC S
= = .
0.25
V
ẽ

'( ')
CH OC H OC
⊥ ∈
(1)
Ta có
( ') (2)
'
BD OC
BD OCC BD CH
BD CC
⊥

⇒
⊥
⇒
⊥

⊥


T
ừ
(1) và (2) ta có
( )
CH IBD
⊥
nên
(
)
(
)
,
d C IBD CH
= .
0.25
AC c
ắ
t (IBD) t
ạ
i O và O là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC.
Do v
ậ
y

(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
d A IBD d C IBD CH
= =

2 2 2
2
3
.
'. 21
2
7
' 3
4
a
a
CC OC a
CC OC a
a
= = =
+
+
.

0.25

Vì I thu
ộ
c
∆
nên
(
)
12 ;
I m m
, mà I thu
ộ
c
EF nên ta có
6
145
m
= , suy ra
72 6
;
145 145
I
 
 
 

G
ọ
i d là

đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua I và vuông
góc v
ớ
i EF, ta có
:49 8 24 0
d x y
− − =

Đườ
ng th
ẳ
ng d c
ắ
t BC t
ạ
i trung
đ
i
ể
m M
c
ủ
a BC, do v
ậ
y

(
)
0; 3
M
−
.
0.25
Ta có
(
)
17, 4 12;
BM B b b
= + ,
( ) ( )
2 2
4 12 3
BM b b= + + +
nên ta có ph
ươ
ng
trình

( ) ( )
(
)
( )
2 2
2
2 4; 2
4 12 3 17 17 102 136 0

4 4; 4
b B
b b b b
b B
= − ⇒ −
+ + + = ⇔ + + = ⇔

= − ⇒ − −



Ch
ọ
n
(
)
(
)
4; 4 4; 2
B C
− −
⇒
−
.


0.25
L
ấ
y

6 8
;
49
e
E e
−
 
 
 
, ta có
. 0
BE EC
=
 
, do v
ậ
y
16 2
;
5 5
E
 
−
 
 
và
64 14
;
29 29
F

 
−
 
 
ho
ặ
c
16 2
;
5 5
F
 
−
 
 
và
64 14
;
29 29
E
 
−
 
 
.

+ V
ớ
i
16 2

;
5 5
E
 
−
 
 
và
64 14
;
29 29
F
 
−
 
 
. Ta có
: 2 4 0, : 2 5 2 0
BE x y CF x y
− − = + + =
,
suy ra
16 10
;
9 9
A
 
−
 
 

(lo
ạ
i vì
(
)

. 0 cos , 0 90
o
AB AC AB AC A<
⇒
<
⇒
>
   
).




0.25
5
(1,0
điểm)
+ V
ớ
i
64 14
;
29 29
E

 
−
 
 
và
16 2
;
5 5
F
 
−
 
 
. Ta có
:5 2 12 0, :2 6 0
BE x y CF x y
− + = + − =
,
suy ra
(
)
0;6
A
(th
ỏ
a mãn).
V
ậ
y
(

)
(
)
(
)
0;6 , 4; 4 , 4; 2
A B C
− − −
.

0.25
a. (0,5 điểm
)

Ta có
3 2
AB BC AC
= = =
nên tam giác ABC
đề
u.
0.25
Di
ệ
n tích tam giác ABC là:
(
)
2
3 2 3
9 3

4 2
S = =
.
0.25
b. (0,5 điểm
) .

Ta có
( )
( )
( )
( )
.
1 3 2
, . 3 ,
3
3
D ABC ABC
V
V d D ABC S d D ABC
S
= =
⇒
= =
.
( ) ( ) ( )
4; 1;1 , 1; 1;4 , 3;15;3
AB AC AB AC
 
= − − = − −

⇒
= −
 
   
.
Ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) là :
5 9 0
x y z
− − − =
.
0.25
6
(1,0
điểm)



Vì
D
∈ ∆
nên
(
)
1 ; ;2

D t t t
− + −
.
( )
( )
2
1 5 2 9
2 2
, 3 12 6
6
3 3 3 3
t
t t t
d D ABC t
t
= −
− + − − + −

= ⇔ = ⇔ + = ⇔

= −


V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m D th

ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n bài toán :
(
)
3; 2;4
D
− −
ho
ặ
c
(
)
6; 7;8
D
− −
.
0.25
a. (0,5 điểm
)

Đ
i
ề
u ki

ệ
n
1
2
x
≥ −
.
V
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đ
ó, ta có
3 2 2 1 1
x x x
+ + + = +


(
)
(
)
3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1
x x x x x x
⇔ + + + = + + + + − +

(
)
(
)
3 2 2 1 3 2 2 1 1 0
3 2 2 1 1(do 3 2 2 1 0)
x x x x
x x x x
⇔ + + + + − + − =
⇔ + − + = + + + >


3 2 2 1 1
3 2 2 1 1 2 2 1
x x
x x x
⇔ + = + +
⇔ + = + + + +

0.25

2
0
8 4 0
x
x x
≥


⇔

− − =



4 2 5
x⇔ = +
(th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n)
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m là
4 2 5
x = +
.
0.25
b. (0,5 điểm
)

T
ừ
t
ậ
p h
ợ
p
{
}
1;2;3;4;5
E
=
ta có th
ể
l
ậ
p
đượ
c
3
5 125
=
s
ố
có 3 ch
ữ
s
ố
. Ch

ọ
n 2 s
ố

t
ừ
125 s
ố

ở
trên có
2
125
C
cách.
0.25
7
(1,0
điểm)

G
ọ
i A là bi
ế
n c
ố
: « Hai s
ố

đượ

c ch
ọ
n có ít nh
ấ
t m
ộ
t s
ố
có
đ
úng hai ch
ữ
s
ố
phân
bi
ệ
t ».
Trong 125 s
ố
trên có
2
5
.6 60
C
=
s
ố
có ba ch
ữ

s
ố
trong
đ
ó có
đ
úng hai ch
ữ
s
ố
phân
bi
ệ
t. Do v
ậ
y
(
)
2
60
60.65
A
n C
Ω = +
.
V
ậ
y xác su
ấ
t c

ầ
n tìm là :
2
60
2
125
60.65
567
0,73
775
C
P
C
+
= = ≈
.
0.25
Đặ
t
3
t z i
= + −
, ph
ươ
ng trình tr
ở
thành :
2
6 13 0
t t

− + =
.
0.25
Ta có
2
' 4 4
i
∆ = − =
,
'
∆
có hai c
ă
n b
ậ
c hai là
2
i
±

0.25
Ph
ươ
ng trình trên có hai nghi
ệ
m ph
ứ
c là
3 2
t i

= −
ho
ặ
c
3 2
t i
= +
.
0.25

8
(1,0
điểm)

Do v
ậ
y
3 3 2
z i i
+ − = −
ho
ặ
c
3 3 2
z i i
+ − = +

V
ậ
y

z i
= −
ho
ặ
c
3
z i
=
.
0.25


Ghi chú:
N
ế
u h
ọ
c sinh làm cách khác
đ
áp án và
đ
úng thì v
ẫ
n
đượ
c
đ
i
ể
m t

ố
i
đ
a
.


Hết



Không m
ấ
t t
ổ
ng quát có th
ể
gi
ả
s
ử

a b c≥ ≥
. Suy ra
6
a b c c c c= + + ≥ + +
suy ra
2; 4
c a b≤ + ≥

Ta ch
ứ
ng minh b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c
( )( )
2
2
2 2
2 2 2
2
a b
a b
 
+
 
+ + ≤ +
 
 
 
 
 

0.25
Th
ậ

t v
ậ
y, b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
4
2 2 4
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 16 16

16
16 4
16 4
a b
ab a b a b a b a b ab
a b a b aba b
a b a b a b ab
+
+ + ≤ + + ⇔ − ≤ + −
⇔ − ≤ − + −
 
⇔ − ≤ − + +
 

B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c cu
ố
i cùng
đ
úng b
ở
i vì
( )
2
2

4 16
a b
+ ≥ =
.
0.25
Đặ
t
2
a b
x
+
=
ta có
( )( )(
) ( )(
) ( )
( )
( )
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 6 2 2
a b c x c x x
+ + + ≤ + + = + − +

Vì 1
c
≥
nên ta có
5

2 6
2
x c x
+ =
⇒
≤
.
H
ơ
n n
ữ
a
2 4
x a b
= + ≥
nên ta có
5
2;
2
x
 
∈
 
 
.
Ta c
ầ
n tìm giá tr
ị
l

ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
()
( )
( )
2
2
2 6 5 4 3 2
2 6 2 2 4 24 54 96 168 96 152
f x x x x x x x x x
 
= + − + = − + − + − +
 

trên
5
2;
2
 
 
 
.
0.25
9
(1,0
đ

i
ể
m)

()
( )
(
)
( )
2 2
' 12 2 2 3 1
f x x x x x
= + − − +
, và
()
5
' 0, 2;
2
f x x
 
< ∀∈
 
 
.
Nh
ư
ng
()
2 216
f

=
nên
()
f x

đạ
t GTLN b
ằ
ng 216, d
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
2
x
=
.
V
ậ
y ta có
( )(
)(
)
2 2 2
2 2 2 216
a b c

+ + + ≤
, hay P
đạ
t GTLN b
ằ
ng 216, d
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y
ra khi và ch
ỉ
khi
2
a b c
= = =
.
0.25