đề thi thử đại học môn toán năm 2015 đề số 158

Trường THPT Trần Quốc Tuấn
Tổ Toán
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015
Môn Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm).
Cho hàm số
4 2 2
2 2
y x x m m
   
(1) , với
m
là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
m
= 1
b) Tìm
m
để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài
bằng nhau.
Câu 2 (1,0 điểm).
Giải phương trình
a)
   
2
3 1sin cos 3 1cos sin cos 1
x x x x x
     
.

b)
2
2 1
2
2
log log( 2) log (2 3)
x x x   
.
Câu 3 (1 điểm).
Tính tích phân
2
sin
1
x
I dx
x x





.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm
z 

thỏa mãn điều kiện
2 2 2
2 1 2 5
iz z i

i i
 
 
 
.
b) Cho tập A gồm các số có 4 chữ số đôi một phân biệt được thành lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5.
Lấy ngẫu nhiên 2 số từ tập A. Tính xác suất để 2 số được lấy có ít nhất một số chẵn.
Câu 5 (1,0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho 2 điểm
(1;2;3), (3;2;1)
A B  
và mặt
phẳng
(): 2 0P x y z   
. Tìm điểm
()M P
sao cho
2 2
MA MB

bé nhất.
Câu 6 (1,0 điểm).
Cho hình chóp A.BCD có hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD)
trùng với trung điểm H của đoạn BC. Tam giác BCD vuông tại D và có
2,BC aBD a 
. Góc giữa
hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là 60
0

. Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách giữa hai đường
thẳng BD và AC.
Câu 7 (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng
Oxy
, cho tam giác
ABC
có
(4;5), (3;3), (0;0)A H O 
lần lượt là
đỉnh, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
. Tìm tọa độ hai đỉnh
B
và
C
.
Câu 8 (1 điểm).
Giải bất phương trình
2 2 2
1 2 2 3 3 4 5x x x x x
     
.
Câu 9 (1 điểm).
Cho
,, 0: 1xyz x y z   
. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức
( 2 )P xyz xy yz zx   
.
HẾT

Đáp án (Có chỉnh sửa) Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2015
Câu Đáp án
Điểm
1
Cho hàm số
4 2 2
2 2
y x x m m   
(1) , với m là tham số thực.

1.a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
1
Khi
1
m

thì
4 2
2 1
y x x
  
, MXĐ:
D  
,
lim
x
y


 

0.25
3
' 4 4 , ' 0 0, 1
y x x y x x
      
suy ra các khoảng đơn điệu và cực trị
0.5
Đồ thị 0.25
1.b
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, tạo thành 3 đoạn thẳng
có độ dài bằng nhau.
1
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
2 2
2 2 0
t t m m
    

2
t m
t m





 


có hai nghiệm phân biệt dương
(0;2)
1
m
m











0.25
Nếu
1 2
m m m   
thì 4 điểm đó là
1 2 3 4
, 2 , 2 ,
x m x m x m x m     
. 4 điểm tạo thành 3 đoạn thẳng bằng
nhau khi
4 3 3 2 2 1
9
3 2
5

x x x x x x m m m
         

0.25
Tương tự cho trường hợp
0 1
m
 
ta có
1
5
m


0.25
ĐS:
1 9
;
5 5
m
 
 
 

 
 
 
 

0.25

2a
Giải:
   
2
3 1 sin cos 3 1 cos sin cos 1x x x x x     

0.5
PT
 
(sin cos ) sin 3cos 1 0
x x x x
    

0.25
Giải được từng phương trình
sin cos 0
x x
 
và
sin 3 cos 1
x x
 

0.25
2.b
Giải
2
2 1
2
2

log log ( 2) log (2 3)
x x x
   

0.5
Điều kiện
3
, 0
2
x x

 
,
2
2
2 2
PT log log (2 3)
2
x
x
x
  


0.25
2
2
(2 3) 1
2
x

x x
x
    


0.25
3
Tính tích phân
2
sin
1
x
I dx
x x



 

.
1
2
2
sin
1sin sin
1
x
I dx x xdx x xdx
x x
  

    
   
 
  

0.25
Thấy được
2
1sin 0
x xdx


 

do
 
2
( ) 1sin , ;
f x x x x
 
   
là hàm số lẻ
0.25

Tính được
sin 2
x xdx







và kết luận
0.5
4.a
Tìm
z 
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
2 1 2 5
iz z i
i i
 
 
 

0.5

PT
(2 )(2 ) ( 2 )(1 2 ) 2
iz i z i i
      

0.25

Gọi
( , )
z a bi a b z a bi     
. Thay vào giải được

3
( )
2
a
z a i a

  


0.25
4.b
Cho tập A gồm các số có 4 chữ số đôi một phân biệt được thành lập từ các chữ số
0,1,2,3,4,5. Lấy ngẫu nhiên 2 số từ tập A. Tính xác suất để 2 số được lấy có ít nhất một
số chẵn.
0.5

Số các số có 4 chữ số đôi một phân biệt là 5.5.4.3=300 (Số)
Số phần từ không gian mẫu là
2
300
C

Số các số lẻ (trong 300 số đó) là 3.3.4.4=144(số), số chẵn: 300-144=156(số)
0.25

Xác suất để lấy được 1 số chẵn, 1 số lẻ là
1 1
144 156
1
2

300
288
575
C C
p
C
 
Xác suất để lấy được 2 số chẵn, là
2
156
2
2
300
31
115
C
p
C
 
Xác suất cần tìm là
1 2
443
575
p p p  

0.25
5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm
( 1;2; 3), ( 3;2;1)
A B

  
và mặt phẳng
( ): 2 0
P x y z
   
. Tìm điểm
( )M P
sao cho
2 2
MA MB
bé nhất.
1
Gọi I là trung điểm đoạn
( 2;2; 1)
AB I
  
. Theo định lý đường trung tuyến, ta có
2
2 2 2
2
2
AB
MA MB MI  
0.25
Suy ra
2 2
MA MB
bé nhất khi và chỉ khi
MI
bé nhất. Mà MI bé nhất khi M là hình

chiếu vuông góc của I lên (P).
0.25
Đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) có phương trình
2
2
1
x t
y t
z t
  


 


  


0.25
Tìm được giao điểm điểm
( )M d P 
là
( 3;1;0)
M


0.25


6

Cho hình chóp A.BCD có hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD) trùng
với trung điểm H của đoạn BC. Tam giác BCD vuông tại D và có
2 ,
BC a BD a 
.
Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là 60
0
. Tính thể tích của tứ diện ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC.
1.0

Gọi M là trung điểm CD. Chứng minh
được

 

0
( ),( ) 60
ACD BCD AMH 
.
0.25
Từ đó tính được
3
2
a
AH 
. Ta cũng dễ
tính được diện tích tam giác BCD là
2
3

2
a
S 
nên
3
4
ABCD
a
V  .
0.25
Dựng hình bình hành BDCE, K là hình
chiếu vuông góc của H trên CE, I là hình
chiếu vuông góc của H trên AK. Thế thì
( , ) ( ,( )) ( ,( ))d BD AC d BD ACE d B ACE 

0.25
6
2 ( ,( )) 2
2
a
d H ACE HI  

0.25
7
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có
( 4;5), ( 3;3), (0;0)
A H O
 
lần lượt là đỉnh,
trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ hai đỉnh B và C.

1.0
Gọi M là trung điểm BC thì ta có
1
2 ; 1
2
AH OM M
 


  




 
 
.
0.25
Đường thẳng BC qua M và nhận
(1; 2)
AH
 

làm VTPT nên có PT:
5
2 0
2
x y
  

0.25
Ngoài ra B, C nằm trên đường tròn tâm O, bán kính
41
R OA
 
nên tọa độ B, C là
nghiệm của hệ
2 2
41
5
2 0
2
x y
x y


 




  




0.25
1 795 1 795
2 5 2 5
795 795

1 1
10 10
x x
y y
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
    
 
 
 
Suy ra tọa độ B, C.
0.25
8
Giải bất phương trình
2 2 2
1 2 2 3 3 4 5
x x x x x
      
.
1.0

ĐK
x
 
. Đặt
2 2
2 2 2
0, 0
1; 2 3
4 5 2
a b
a x b x x
x x b a

 


     


   



0.25
BPT :
2 2 2
2 3 2 10 4 14 0 ( )(10 14 ) 0
a b b a a ab b a b a b a b            

0.25

Với
a b
, ta có
2 2
1 2 3 1
x x x x
      

0.25
Vậy tập nghiệm của BPT là


; 1
S
  

0.25
60
K
M
H
E
C
B
D
A
I
9
Cho
,, 0: 1

xyz x y z
   
. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức
( 2 )P xyz xy yz zx
   

1.0
( 2 ) ( 2) ( )
P xyz xy yz zx yzx xy z
       
2
2
(1 )( 2)
( 2) ( ) (1 ) ()
2 4
y z x x
x xy z x x fx
 
  


       




 
do 0 1
x
 

0.25
Xét hàm số
 
2
(1 )( 2)
() (1 ), 0;1
4
x x
fx x x x
 
    , khảo sát hàm số
 
(), 0;1y fx x 
, ta có
 

1
() 0 , 0;1
2
fx f x
  

0.25
Vậy
1
2
P

. Mặt khác, khi
1

0;
2
x y z
  
thì
1
2
P

. Vậy
1
min
2
P


0.25
Ta có
( 2 ) ( 2 ) ( ) 0P xyz xy yz zx yz xy yz zx xy yz zx
           

Khi
1, 0 0x y z P
    
. Vậy
max 0
P


0.25

HẾT