Đề thi thử THPT quốc gia môn Toán chọn lọc số 24

KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: Toán (đề 24)
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)


Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất 2015!(Kèm đáp án chi tiết tại)!

Câu I (2 điểm) Cho hàm số
1
( )
1
x
y C
x



.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Tìm trên (C) những điểm
M
, sao cho tiếp tuyến tại
M
lập với hai tiệm cận một tam giác có chu
vi nhỏ nhất.
Câu II (1 điểm)
Giải phương trình:
1 17 sin2
tan 2cos
2 sin cos
2

x
x x
x x

 
  
 

 

Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I =


4
0
66
cossin
4sin

dx
xx
x

Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có

0
, 2 , 120
AC a BC a ACB   và đường thẳng
'
A C

tạo với mặt phẳng


' '
ABB A
góc
0
30
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng
' , '
A B CC
theo a.
Câu V (1 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

2 2 2
1
( 2)(2 1) ( 2)(2 1) ( 2)(2 1) 3
a b c
ab ab bc bc ac ac
  
     


Câu VI (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, các đỉnh A, B thuộc đường thẳng y = 2,
phương trình cạnh BC: 023  yx . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
ABC bằng 3 .
Câu VII (1 điểm) . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d

1
:
x y z
1 1
2 1 2
 
 
và d
2
:
x y z
2 1
1 1 2
 
 

.
Lập phương trình đường thẳng d cắt d
1
và d
2
và vuông góc với mặt phẳng (P):
x y z
2 5 3 0
   
.
Câu VIII (1 điểm) Giải phương trình
2 2 2
4 4 2
8log 9 3 2log ( 3) 10 log ( 3)

x x x
     

Câu IX (1 điểm) Giải bất phương trình:




2
3 1 3 2 3 4
x x x x x
       
( ,x y

R
).

CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì!
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!



Hướng dẫn

Câu I:
1
a) Txđ



/ 1
D

 .
b) Sự biến thiên:
 Chiều biến thiên:
'
2
2
0
( 1)
y x D
x

   

, suy ra hàm số nghịch biến trên
( ;1) và (1;+ )
 
.
 Cực trị: hàm số không có cực trị.
 Giới hạn và tiệm cận:
1 1
lim , lim
x x
y y
 
 
   

nên đt
1
x

là tiệm cận đứng ;
lim 1
x
y


nên
đt
1
y

là tiệm cận ngang.
 Bảng biến thiên:
x

1


y' - -
y
1






1


c) Đồ thị
2
0
0
0
1
Gs ; ( )
1
x
M x C
x
 


 

 
. Pt tiếp tuyến tại M:
0
0
2
0 0
1
2

( )
( 1) 1
x
y x x
x x


  
 
.
Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng. B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận
ngang. Khi đó:
 
0
0
0
3
1; , 2 1;1
1
x
A B x
x
 


 

 
.
Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận,

(1;1)
I . Ta có:
0
0
4
, 2 1
1
IA IB x
x
  

,
2 2
0 0
2 2
0 0
16 4
(2 2) 2 ( 1)
( 1) ( 1)
AB x x
x x
     
 
.
Khi đó chu vi của
AIB

là
 
 

2
0 0
2
0
0
4 4
2 1 2 1
1
1
c x x
x
x
     


.
Áp dụng Bđt AM – GM, ta có
2.2 2 2 4 4 2 4
c
   
.
Vậy,
c
nhỏ nhất bằng
4 2 4

, khi
 
 
 

 
0
1
0
2
0 0
2
2
0
2
0
4
2 1
1 2; 2 1
1
1 2 1 2
4
1 2;1 2
1
1
x
M M
x
x x
M M
x
x

 



  



      


  

 






Câu
II
(1đ)
Đk
cos 0
sin cos 0
x
x x



 


. Ta có
17
cos cos sin
2 2
x x x
 
   
    
   
   
.
Pt
sin 0 (1)
sin 2sin cos
2sin
1 2cos
2 0 (2)
sin cos
2 cos
sin cos
2 cos
x
x x x
x
x
x x
x
x x
x




   

  





Xét pt (1) t/m đk nên nghiệm ,x k k
  

, của (1) cũng là nghiệm pt đã cho.
(2)
2
sin cos 2 2 cos (sin cos ) 2 2 cos 0
x x x x x x
     

sin cos 2 sin 2
x x x
   (3)
Nếu
sin 0
x

, (3)

cos 0

x

, vô lý.
Nếu
sin cos 0
x x
 
là nghiệm


2 sin 2 0
x

, vô lý.
Vậy nghiệm của pt (3) cũng là nghiệm của pt đã cho.
Mặt khác (3)
sin sin 2
4
x x

 
  
 
 

2
2 2
44
5 2
5

2 2
12 3
4
x k
x x k
k
xx x k


  
   



 


    

 

Vậy, pt đã cho có các nghiệm
5 2
, 2 ,
4 12 3
k
x k x k x
  
       , với
k



.
Câu III :





Câu IV :

Trong (ABC), kẻ
CH AB




H AB
 , suy ra


' '
CH ABB A

nên A’H là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABB’A’). Do đó:

 

 



0
' , ' ' ' , ' ' 30
A C ABB A A C A H CA H   
 
.




2
0
1 3
. .sin120
2 2
ABC
a
S AC BC

 

2 2 2 0 2
2 . .cos120 7 7
AB AC BC AC BC a AB a
     

2.
21
7
ABC

S a
CH
AB

 
Suy ra:
0
2 21
'
sin30 7
CH a
A C   .
Xét tam giác vuông AA’C ta được:
2 2
35
' '
7
a
AA A C AC   .
Suy ra:
3
105
. '
14
ABC
a
V S AA

  .
Do



'/ / ' '/ / ' '
CC AA CC ABB A
 . Suy ra:
   
 
 
 
21
' , ' ', ' ' , ' '
7
a
d A B CC d CC ABB A d C ABB A CH    .
Câu V
Ta có VT =
2 2 2
( 2)(2 1) ( 2)(2 1) ( 2)(2 1)
a b c
ab ab bc bc ac ac
 
     

=
1 1 1
2 1 2 1 2 1
( )(2 ) ( )(2 ) ( )(2 )
b b c c a a
a a b b c c
 

     

Vì a, b, c dương và abc = 1 nên đặt
, ,
y z x
a b c
x y z
  
với x, y, z > 0
Khi đó VT =
1 1 1
( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )
y z z y z x x z x y y x
x x x x y y y y z z z z
 
     

=
2 2 2
( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )
x y z
y z z y z x x z x y y x
 
     

Ta có
2 2 2 2 2
9
( 2 )( 2 ) 2 2 4 2( ) 5 ( )
2

y z z y yz y z yz y z yz y z
          
Suy ra
2 2
2 2
2
( 2 )( 2 ) 9
x x
y z z y y z

  
(1)
Tương tự có
2 2
2 2
2
( 2 )( 2 ) 9
y y
z x x z x z

  
(2);
2 2
2 2
2
( 2 )( 2 ) 9
z z
x y y x y x

  

(3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được VT
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
( )
9
x y z
y z x z y x
  
  

Lại có
2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z
y z x z y x
 
  
=
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
( )( ) 3
x y z
y z x z y x
    
  

=

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
(( ) ( ) ( ))( ) 3 .9 3
2 2 2
x y y z z x
y z x z y x
          
  

(BĐT Netbit)
Suy ra VT
2 3 1
.
9 2 3
 
(đpcm)

Câu VI




Câu VII
Viết lại
x t
d y t
z t
1
1 1

1
1 2
: 1
2

 

  




,
x t
d y t
z t
2
2 2
2
2
:
1 2

 




 


. (P) có VTPT
n
(2;1;5)



Gọi A = d  d
1
, B = d  d
2
. Giả sử:
A t t t
1 1 1
(1 2 ; 1 ;2 )
   ,
B t t t
2 2 2
((2 2 ; ;1 2 )
 
 AB t t t t t t
2 1 2 1 2 1
( 2 1; 1; 2 2 1)
       

.
d  (P) 
AB n
,



cùng phương 
t t t t t t
2 1 2 1 2 1
2 1 1 2 2 1
2 1 5
      
  
t
t
1
2
1
1

 

 


 A(–1; –2; –2)  Phương trình đường thẳng d:
x y z
1 2 2
2 1 5
  
  .
Câu VIII

Câu IX