Đề thi thử THPT quốc gia môn Toán chọn lọc số 12

KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: Toán (đề 12)
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)


Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất 2015!(Kèm đáp án chi tiết tại)!

Câu I (2 điểm Cho hàm số




3 2 2
3 3 2 1
y x m m x m m      
, trong đó
m
là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
2
m


2. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng
2
y

tại ba điểm
phân biệt có hoành độ lần lượt là
1 2 3
, ,

x x x
và đồng thời thỏa mãn đẳng thức
2 2 2
1 2 3
18
x x x
  

Câu II (1 điểm)
Giải phương trình:
 
2
2 3 sin . 1 cos 4 cos .sin 3
2
x
x x x
  

Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
2
6
4
4sin cos 1
6
x
I dx
x x





 
 
 
 

.
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thỏa mãn
2 , 2, 6
AB a BC a BD a
   . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng
tâm của tam giác BCD. Tính theo
a
thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai
đường thẳng AC và SB bằng
a
.


Câu V (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình mxxxx  99
2
có
nghiệm.
Câu VI (1 điểm)

Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 2012 = 0 và đường tròn (C): 3)1()3(
22
 yx .
Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d và cắt đường tròn (C) theo
một dây cung có độ dài bằng 2 5 .

Câu VII (1 điểm) Cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và mặt phẳng (): x + 2y + 2 = 0.
Tìm tọa độ của điểm M, biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng ().
Câu VIII (1 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
iziz  351
.Tìm số phức z có
môđun nhỏ nhất.

Câu IX (1 điểm) Giải hệ phương trình:







637
422
yx
yx

CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì!
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Hướng dẫn

Câu I:
Câu1: 1. (1,0 điểm)Khi
2

m

hàm số (1) có dạng
3
3
y x x
 

a) Tập xác định
D



b) Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên:
2
' 3 3
y x
 
,
' 0 1
y x
   
. Khi đó xét dấu của
'
y
:
+
+
-

0
0
1-1 +

-

y
x

hàm số đồng biến trên khoảng




; 1 , 1;
   
và nghịch biến trên khoảng


1;1
 .
+) Cực trị: hàm số đạt cực đại tại
1, 2
CD
x y
  
.Hàm số đạt cực tiểu tại
1, 2
CT
x y

  

+) Giới hạn:
3 3
2 2
3 3
lim lim 1 ; lim lim 1
x x x x
y x y x
x x
   
   
       
   
   

+) Bảng biến thiên:
-2
2
+

-

-
+
+
00
1
-1 +


-

y'
y
x

c) Đồ thị:
3
0 3 0 0, 3
y x x x x
       
, suy ra đồ thị hàm số cắt trục Ox tại Ox tại các điểm
 




0;0 , 3;0 , 3;0


'' 0 6 0 0
y x x
     
đồ thị hàm số nhận điểm


0;0
làm điểm uốn.
4
2

- 2
- 4
-10
-5
5
10
1
-1
2
1
-2
-1
0

2. (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng
2
y

:




3 2 2 3 2 2
3 3 2 2 3 3 0
x m m x m m x m m x m m
             

 

 
 
2
2
3 0
3 0 2
x m
x m x mx m
x mx m


      

   


Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng
2
y

tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm
phân biệt khác
m
 
2 2
2
3 0
2
6
4 3 0

m m m
m
m
m m

   



 


 
     




Giả sử
1 2 3
; ,
x m x x
 là 2 nghiệm của (2). Khi đó theo định lí Viet ta được:
2 3
2 3
. 3
x x m
x x m
  



  


Do đó
 
2
2 2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
18 2 18
x x x m x x x x
       

 
2 2 2
3
2 3 18 12 0
4
m
m m m m m
m


          

 

. So sánh với điều kiện của
m
ta được

3
m


thỏa mãn.
Câu II: 1. Ta có
 
2
2 3 sin . 1 cos 4 cos .sin 3
2
x
x x x
  



2 3 sin 2 3 sin .cos 2 cos 1 cos 3
x x x x x
    





2 2
2 3 sin cos 3sin 2 3 sin .cos cos 0
x x x x x x
     

  

3 sin cos 0
3 sin cos 3 sin cos 2 0
3 sin cos 2
x x
x x x x
x x

 
     

 



+)
3 sin cos 0 2 sin cos cos sin 0 sin 0
6 6 6
x x x x x
  
   
       
   
   

,
6 6
x k x k k
 
 
      



+)
3 sin cos 2 2 sin cos cos sin 2 sin 1
6 6 6
x x x x x
  
   
       
   
   

2
2 2 ,
6 2 3
x k x k k
  
 
       


Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm
2
, 2 ,
6 3
x k x k k
 
 
    


Câu III:
Ta có
 
2 2 2
6 6 6
4 4 4
3 sin 2 cos 2 2
2 3 sin cos cos 1
4sin cos 1
6
x x x
I dx dx dx
x x
x x x
x x
  
  

  
 
 
 
 
 
 
  

2 2
2

6 6
2
cos 2 1 cos
3 6
x x
dx dx
x x
 
 
 
 
   
  
   
   
 
Đặt
2
tan
cos
6
6
u x
du dx
dx
dv
v x
x








 


 
 
 
 
 
 

 
 


 

nên
2 2
2 2
6 6
6 6
3 3
6
tan tan ln cos
6 6 2 2 6

cos
6
d x
x x x dx x
x
 
 
 
 

    

 

 
   
     
 
        
     
   
 
     
   

 
 
 
3
ln 3

2

 
K
O
M
H
D
C
B
S
A

Câu IV: (1,0 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD), M là trung
điểm CD và O là tâm của đáy ABCD. Do AO là trung tuyến của tam giác ABD nên

2 2 2 2
2
3 6 2 6
2 4 2 2 3 3
AB AD BD a a AO a
AO AO AH AO

        
2 2 2 2 2 2
2 2
6 2 4 2 3
3 3
2 4 2 4 3
BD BC CD a a a a

BM a BM a BH
 
        
Ta có
2 2 2 2
4
AH BH a AB AH BH
    
, kết hợp với AH vuông góc với SH ta được


AH SHB
 . Kẻ HK vuông góc với SB, theo chứng minh trên ta được


AH SHB
 suy ra
AH HK
 
HK là đoạn vuông góc chung của AC và SB suy ra
HK a

.
Trong tam giác vuông SHB ta có
2 2 2
1 1 1
2
SH a
HK SH HB
   

Ta có
3
.
1 1 4 1 4 2
. .4. . .
3 3 3 2 3
S ABCD ABCD OAB
a
V SH S SH S SH OA BH   
Câu V
mxxxx  99
2
(1). ĐK: 0  x  9
(1)


mxxxxmxxxx  )9()9(2999
2
2
(2)

Đặt t = )9( xx  thì t







2

9
;0
Khi đó (2) trở thành 9 - m = t
2
- 2t (3) với t







2
9
;0 .
Bài toán trở thành tìm các giá trị của m để phương trình (3) có ít nh
ất một
nghiệm t







2
9
;0
Xét hàm số f(t) = t
2

- 2t trên






2
9
;0 ta có f
max
=
4
45
và f
min
= -1
Khi đó 10
4
9
4
45
91  mm .
Vậy các giá trị của m để phương trình có nghiệm là 10
4
9
 m
Câu VI (1,0 điểm)

Do

d//

nên phương trình

có dạng 3x - 4y + c = 0 ( c

2012). Gọi AB là d
ây
cung mà  cắt (C) (AB = 52 ) và M là trung điểm AB.
(C) có tâm I(3;1) và bán kính R = 3. Ta có IM = 259
22
 MAR
d(I, ) = IM = 2 2
5
49



c







15
5
105
c

c
c
. Vậy : 3x - 4y + 5 = 0 hoặc 3x - 4y - 15 = 0.
Câu VII. (1,0 điểm)

Goi tọa độ điểm M(a;b;c). Ta có: MA
2
= MB
2

222222
)1()1( cbacba 
 a = b (1)
MB
2
= MC
2

222222
)2()3()1(  cbacba
 b = 3 - c (2)
d
2
(M, ()) = MA
2



222
2

)1(
5
22
cba
ba


 (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta được
6a
2
- 52a + 46 = 0







3
14
,
3
23
3
23
2,11
cba
cba

Vậy M(1;1;2) hoặc







3
14
;
3
23
;
3
23
M
Câu VIII
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y

R). Ta có
iyxiyx )1(3)5(1  (1)

2222
)1()3()5()1(  yxyx
43



yx . Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa m

ãn
(1) là đường th
ẳng x + 3y = 4. Mặt khác
162410)34(
22222
 yyyyyxz
Hay
5
22
5
8
5
6
52
2









 yz
Do đó
5
2
5
6

min
 xyz . Vậy iz
5
6
5
2

Câu IX. (1,0 điểm)
ĐK:
2
3
,
2
7







y
x

Ta có
















22327
102327
637
422
yyxx
yyxx
yx
yx

Đặt
27  xxu
và
23  yyv
(u > 0 và v > 0)
Ta được








2
55
10
vu
vu













5
5
25
10
v
u
uv
vu

Khi đó














6
2
523
527
y
x
yy
xx
Vậy nghiệm của hệ phương tr
ình là: (x;y) =
(2;6).