PHÒNG GD VÀ ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT - TOÁN 9

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT -
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút không kể giao đề
Chú ý: đề thi có 06 trang (kể cả tờ phách)
Số phách (do chủ tịch HĐCT ghi):
Qui định chung:
1. Thí sinh được dùng một trong các loại máy tính: Casio fx-500A, fx-500MS, fx-
500ES, fx-570MS, fx-570ES; VINACAL Vn-500MS, Vn-570MS.
2. Nếu có yêu cầu trình bày cách giải, thí sinh chỉ cần nêu vắn tắt, công thức áp
dụng, kết quả tính vào ô qui định.
3. Đối với các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được lấy
đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy.
1. Phần ghi của thí sinh:
Họ và tên: SBD
Ngày sinh , Lớp , Trường
2. Phần ghi của giám thị (họ tên, chữ kí):
Giám thị
1:
Giám thị
2:
1
Điểm bài thi Họ tên, chữ kí giám khảo Số phách
Bằng số Bằng chữ
Giám khảo
1
Giám khảo
2

ĐỀ THI VÀ BÀI LÀM
Bài 1. (5 điểm) Gọi x
0
là nghiệm của phương trình:
2 3 1- 6 3- 7 15- 11
- -
3- 5 3 2 4 - 3 2 3 - 5
x x
 
+
=
 ÷
 ÷
+
 
.
Tính giá trị sau:
x
0
≈
Bài 2: (5 điểm)
a) Tính
( )
2 4 5 3
10
5
2 7 4 2
7
sin . os (3 ) 21.tan ( ).cot (4 )
5

3
sin . os (2 ) 3.tan (3 ). 1 sin (5 )
4
c
D
c
α
α α α
α α α α
−
=
 
− + −
 ÷
 
biết
0 '
53 26
α
=

D
≈
b) Tìm ƯCLN và BCNN của (20111982; 20112012)
ƯCLN (20111982; 20112012) =
BCNN (20111982; 20112012) =
Bài 3. (5 điểm) Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức:
( ) ( )
n n
n

U
13 3 13 3
2 3
+ − −
=
với n là số tự nhiên khác 0.
a) Tính U
1
; U
2
; U
3
; U
4
.
b) Chứng minh rằng U
n+1
= 26 U
n
- 166 U
n-1
c) Viết quy trình bấm phím tính U
n+1
. Tính U
9
– U
6
a) U
1
= ; U

2
= ; U
3
= ; U
4
=
b) Chứng minh:
2
c) Quy trình bấm phím tính U
n+1

Kết quả: U
9
– U
6
=
Bài 4. (5 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích bằng
2012
2013
2013
(dm
2
). Trên các cạnh
AB, BC, CD, DA lấy các điểm tương ứng K, L, M, N sao cho AK : KB = 2,
BL:LC=1:3, CM : MD = 3:1, DN : NA = 1: 2. Tính diện tích đa giác AKLCMN theo
đơn vị cm
2
(Lấy 4 chữ số phần thập phân).
Tóm tắt cách giải:
Đáp số:

Bài 5. (5 điểm)
a) Mét ®a gi¸c cã 2013020 ®êng chÐo. Hái ®a gi¸c ®ã cã bao nhiªu c¹nh?
b) Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao
cho ∠ ABD = ∠ CBE = 20
0
. Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC
sao BN = BM. Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BEN.
a) Tóm tắt lời giải
3
Kết quả:
b) Tóm tắt lời giải
Kết quả:
Bài 6. (5 điểm) Cho x
1000
+ y
1000
= 6,912 và x
2000
+ y
2000
= 33,76244
Tính A = x
3000
+ y
3000
Tóm tắt lời giải:

Kết quả A
≈

Bài 7. (5 điểm) Cho hình thang ABCD vuông tại B và C, có AB<CD, AB=12,35cm,
BC=10,55cm và
·
0
ADC 57
=
.
a) Tính diện tích hình thang ABCD.
b) Tính tỉ số giữa diện tích tam giác ADC và diện tích tam giác ABC.
a) S
ABCD
≈
b)
ADC
ABC
S
S
≈
4
Bài 8. (5 điểm)
a) Cho đa thức
11 10
10 1
( ) P x x a x a x m
= + + + +
. Biết rằng:
( ) , 1,2,3,4, ,11; Z
i
P i i i a= ∀ = ∈
.

Nêu tóm tắt cách tính và tính chính xác giá trị P(12).
b) Xét dãy các số nguyên
1 2 3
34, 334, 3334, , 33 34
n
x x x x
= = = =
, trong đó x
n
có n chữ số
3 và chữ số hàng đơn vị là 4. Gọi S(n) là số chữ số 3 có mặt trong số 9(x
n
)
3
. Nêu cách
tính S(n) và tính S(2010)
a) Tóm tắt cách tính:
P(12)=
b) Nêu cách tính S(n):
S(2010) =
Bài 9. (5 điểm) Cho
( )
2
3 2
35 37 60080
10 2007 20070
− +
=
− + −
x x

P x
x x x
và
( )
2
10 2007
+
= +
− +
a bx c
Q x
x x
a) Với giá trị nào của a, b, c thì P(x) = Q(x)
b) Tính n nếu
( ) ( )
( )
( )
2 2
10 2007T x x x P x n
= − + −

chia hết cho x + 3 .
5
Tóm tắt lời giải và kết quả:
Bài 10. (5 điểm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã AB = c = 23,82001 cm; AC = b
=29,1945 cm. Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c. Gäi A’, B’, C’ lµ h×nh chiÕu cña G trªn
c¸c c¹nh BC, CA, AB. Gäi S vµ S’ lÇn lît lµ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c ABC và A’B’C’.
a) Tính tØ sè
S
S'

b) Tính S’.
Tóm tắt lời giải:
a)
b) Kết quả S'
HẾT
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
6
HƯỚNG DẪN CHẤM MTCT
———————————
Qui định chung:
- Trong khi chấm nếu có yêu cầu trình bày lời giải tóm tắt mà không trình bày
hoặc trình bày sai thì không cho điểm phần đáp số liên quan.
- Các kết quả lấy thừa chữ số thập phân hoặc không làm tròn theo quy định trừ
một nửa số điểm của kết quả đó
- Kết quả thiếu đơn vị đo (nếu có) trừ 0,5 điểm.
- Học sinh có thể có cách giải khác, khi đó giám khảo dùng máy kiểm tra. Nếu
cách làm đúng thì vẫn cho điểm tối đa như hướng dẫn chấm.
Bài 1: 5,0 điểm.
x
0
≈ 1,83463 5đ
Bài 2: (5 điểm)
a, Tính
( )
2 4 5 3
10
5
2 7 4 2
7
sin . os (3 ) 21.tan ( ).cot (4 )

5
3
sin . os (2 ) 3.tan (3 ). 1 sin (5 )
4
c
D
c
α
α α α
α α α α
−
=
 
− + −
 ÷
 
biết
0 '
53 26
α
=

D
≈
2,12905 2đ

b, Tìm ƯCLN và BCNN của ( 20111982; 20112012)
ƯCLN (20111982; 20112012) = 6 1,5đ
BCNN (20111982; 20112012) = 67415403887964 1,5đ
Bài 3: 5,0 điểm.

a/ U
1
= 1 ; U
2
= 26 ; U
3
= 510 ; U
4
= 8944 1đ
b/ Chứng minh: 2đ
Đặt 13+
3
=a
13 -
3
=b suy ra a+b= 26 và ab=166
Ta có: U
n+1
=
1 1 1 1
(13 3) (13 3)
2 3 2 3
n n n n
a b
+ + + +
+ − − −
=

1 1
( )( ) ( )

2 3
n n n n
a b a b a b ab
− −
− + − −
=
=
1 1
26( ) 166( )
2 3 2 3
n n n n
a b a b
− −
− −
−

1
26 166
n n
U U
−
= −
(đpcm)
c/ Quy trình bấm phím tính U
n+1
1đ
Dựa vào công thức truy hồi ở phần b HS viết quy trình bấm phím
Kết quả: U
9
– U

6
= 8588124600 1đ
7
Bi 4: 5,0 im.
Túm tt cỏch gii: 2,5.
Kớ hiu s(X) l din tớch hỡnh X. Ni A vi L, C v M; ni L vi K; M vi N.
Kớ hiu: s(BLK)=S
1
, s(DMN)=S
2
.
Ta thy: S = 12.S
1
+ 12.S
2

suy ra:
1 2
11
( ) -
12 12 12
S S S
S S s AKLCMN S
+ = = =
ỏp s:
2
2012
11 2013
( ) . .100( )
12

2013
s AKLCMN cm=
183.828,6274 (cm
2
). 2,5.
Bi 5: 5,0 im, mi ý ỳng 2,5 im.
a) Gọi số cạnh của đa giác là n. Khi đó số đờng chéo là:
n(n 3)
2

Theo bài ra ta có:
n(n 3)
2

=2 013 020 n
2
3n 4 026 040 = 0
Giải trên máy tính đợc: n=2008; n=-2005
Vậy số cạnh của đa giác là 2008. 2,5.
b) K BI AC I l trung im AC.
Ta cú: ABD = CBE = 20
0

DBE = 20
0
(1)
Mà ADB = CEB (gcg)
BD = BE BDE cõn ti B
I l trung im DE.
m BM = BN v MBN = 20

0

BMN v BDE ng dng.

2
1
4
BMN
BED
S
BM
S BE

= =
ữ


S
BNE
= 2S
BMN
=
1
2
BDE
S
= S
BIE

Vy S

BCE
+ S
BNE
= S
BCE
+ S
BIE
= S
BIC
=
1 3
2 8
ABC
S
=
vdt. 2,5.
(Cú th ghi dng S
BCE
+ S
BNE
0,21651

vdt)
Bi 6: 5,0 im.
Túm tt li gii: 2,5 im.
t a = x
1000
, b = y
1000
.

Ta cú : a + b = 6,912 ; a
2
+ b
2
= 33,76244
Khi ú : a
3
+ b
3
= (a + b)
3
- 3ab(a + b) = (a + b)
3
- 3.
( )
( )
( )
2
2 2
2
a b a b
a b
+ +
+
K t qu : A

184,93601 2,5 im.
Bi 7: 5,0 im. Mi ý ỳng 2,5 im.
a) S
ABCD

166,43284

cm
2
b)
ADC
ABC
S
1,55476
S

8
Bài 8: 5,0 điểm.
a) Viết lại P(x)=(x-1)(x-2)…(x-11)+ax+b.
Thay x =1, 2 ta tính được a=1, b=0 (khi đó thoả mãn các điều kiện giả thiết).
Do đó P(x)=(x-1)(x-2)…(x-11)+x.
Từ đó P(12)=1.2.3….11+12=39916812. 2,5 đ
b) Nêu cách tính:
Có
1 1
3 1 3 3( 1) 2( 1) 1
10 1 10 2 1 1
1 33 3 9( ) (10 2) (10 1) 2.10 4.10 3
3 3 3 3
n n
n n n n
n n n
x x x
+ +
+ + + +

− +
− = = ⇒ = ⇒ = + = − + + +
Vì
3( 1)
1
(10 1)
3
n
+
−
có tất cả 3(n+1) chữ số 3, suy ra:
{ { {
3
9( ) 3 353 373 36
n
n n n
x
=
hay
3
9( )
n
x
có
đúng 3n chữ số 3.
Tính được: S(2010)=6030. 2,5 đ
Bài 9. (5 điểm)
Tóm tắt lời giải và kết quả :
a)P(x)=Q(x) 
2

3 2
35 37 60080
10 2007 20070
− +
− + −
x x
x x x
2
10
2007
+
= +
−
+
a bx c
x
x

2
3 2
35 37 60080
10 2007 20070
− +
− + −
x x
x x x
=
2
3 2
(a b)x (c 10b)x 2007a 10c

x 10x 2007x 20070
+ + − + −
− + −

a b 35
10b +c 37
2007a 10c 60080
+ =


− = −


− =

.
Tõ ®ã gi¶i ®îc a=30 ; b= 5 ; c= 13 3 đ
b)
Ta cã:
( ) ( )
( )
( )
= − + −
2 2
10 2007T x x x P x n

chia hÕt cho x + 3 khi
A(x) = 35x
2
-37x+60080 – n

2
cã nghiÖm x = -3 .
Tõ ®ã gi¶i ®îc n =
60506
±
2đ
Bài 10. (5 điểm)
Tóm tắt lời giải:
a) Ta có AH vuông góc BC ;
,
GA
=
1 h c b
AH = ; GB' = ; GC' =
3 3 3 3
( ) ( ) ( )
 
⋅ ⋅ ⋅
 
 
A'GB B'GC' C'GA'
1 h c c b h b
S' = S + S + S = sinC + + sinB
2 3 3 3 3 3 3
vì b.sinB + c.sinC = HB + HC = BC = a
Suy ra: S’=
1
18
( ah + bc) =
2

9
S

hay
' 2
9
S
S
=
3 đ
b ) S’ = 77,26814 (cm
2
) 2đ

9