ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN - TOÁN 9

THI HC SINH GII HUYN NM HC : 2008 2009
MễN : TON 9
Thi gian : 150 phỳt (khụng k thi gian giao )

Cõu 1.(4 ) Vit cụng thc nghim ca phng trỡnh bc hai : ax
2
+ bx + c = 0.
Vn dng gii phng trỡnh : x
2
+ 3x + 2 = 0.
Cõu 2.(3 ) Cho ba s thc x ,y , z sao cho : xyz = 1 v
1 1 1
x y z
x y z
+ + = + +
.
Tớnh
2009 2009 2009
( 1)( 1)( 1)B x y z=
Cõu 3.(3 ) Cho hm s y = (2m + 1)x + 2m (d) .Tỡm m
a) ng thng (d) i qua im A( 1 ; -3 )
b) ng thng (d) vuụng gúc vi ng thng y = - ẵ x + 5
c) ng thng (d) ng quy vi hai ng thng y = 2 v y = x + 1
Cõu 4.(3)Mt ỏm tr ang chn trõu trờn cỏnh ng ,mt em hụ to : Lờn nga ,mi ngi mt con ! thỡ
tha ra mt em bộ khụng cú trõu ci .Sau ú em li hụ to : Lờn nga ,hai ngi mt con ! thỡ tha mt con
trõu khụng cú ngi ci. Hi trờn cỏnh ng cú bao nhiờu trõu ?bao nhiờu a tr?
Cõu 5.(3 )Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đờng cao AD. Chứng minh rằng tgB.tgC = 2
Cõu 6.(4 ) Cho na ng trũn ( O ; R ) ng kớnh AB ,trờn cựng mt na mt phng b AB cha na ng
trũn (O) v hai tia Ax v By vuụng gúc vi AB .Gi M l im thuc na ng trũn (O) ,tia AM ct By tai C ,tia
BM ct Ax ti D , tip tuyn ti M ct Ax v By ln lt ti E v F .
a) Chng minh rng

ã
0
EOF 90=
b) Chng minh E l trung im ca AD ; F l trung im ca BC
c) Tớnh : MB.MD + MA.MC theo R .
d) Xỏc nh v trớ ca M EF cú di ngn nht
Ht
H tờn thớ sinh : s bỏo danh ..
Giỏm th 1 Giỏm th 2
Lu ý : Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm
ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
Pt : ax
2
+ bx + c = 0
có ∆ = b
2
– 4ac
• Nếu ∆ > 0 pt có hai nghiệm phân biệt :
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
• Nếu ∆ = 0 pt có nghiệm kép :
1 2

2
b
x x
a
−
= =
• Nếu ∆ < 0 pt vô nghiệm
Vận dụng : xét pt : x
2
+ 3x + 2 = 0 có ∆ = 3
3
– 4.1.2 = 1
∆ > 0 pt có hai nghiệm phân biệt :
1
2
3 1
1
2.1
3 1
2
2.1
x
x
− +
= = −
− −
= = −
Vậy nghiệm của pt là : x
1
= -1 ; x

2
= -2
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
2 đ
Câu 2
Ta có
1 1 1
1
x y z
+ + =
 x + y + z = xy + yz + xz
 (x – 1)(y - 1)(1- z ) = 0

1 0 1
1 0 1
1 0 1
x x
y y
z z
− = =
 
 
− = <=> =
 
 
− = =
 

2009 2009 2009
( 1)( 1)( 1)B x y z= − − −
= 0
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
1 đ
Câu 3
a)
Thay x = 1 ; y = - 3 vào đường thẳng (d) ta được :
- 3 = (2m + 1).1 + 2m
 m = - 1
0,5 đ
0,5 đ
b)
Ta có : (2m + 1).(- ½ ) = - 1
 m = ½
0,5 đ
0,5 đ
c)
Giao điểm của hai đường thẳng y = 2 và y = x + 1 là :
 2 = x + 1
 x = 1 .Vậy giao điểm là ( 1 ; 2 )
Thay x = 1 và y = 2 vào (d) ta được
2 = (2m +1).1 + 2m

1
4
m =
0,5 đ

0,5 đ
Câu 4
H
D
A
C
B
F
Ta có :
AD
tgB
BD
=
;
AD
tgC
CD
=
; AD = 2DH
Xét
⊥V
CDH và
⊥V
ADB có
µ
µ
A C=
(góc có cạnh tương ứng vuông góc )
Suy ra
⊥V

CDH 
⊥V
ADB (g-g)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
=>
CD AD
DH DB
=
 CD.DB = DH.AD
Khi đó :
.
.
.
AD AD
tgB tgC
CD DB
=

.
.
.
. 2
AD AD
tgB tgC
AD DH
AD
tgB tgC
DH

=
= =
0,5 đ
1 đ
Câu 5
Gọi x là số đứa trẻ
Goi y là số trâu
Đk : x;y : nguyên dương
Ta có hệ phương trình
1
1
2
x y
x
y
− =



− + =


Giải ra :
4
3
x
y
=



=

( chọn )
Trả lời : Vậy số đứa trẻ là : 4 đứa
Số trâu là : 3 con
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 6
H
0,5 đ
a)
Ta có : OE là phân giác của góc AOM
OF là phân giác của góc BOM
Mà góc AOM và BOM là hai góc kề bù
Suy ra :
·
0
EOF 90=
( đpcm )
0,5 đ
b)
Xét ∆ABM có
2
AB
MO =
,do đó ∆ABM vuông tại M
Xét

AMD⊥V
ta có
ME = AE ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) (*)
=>
·
·
MAE AME=
Mà :

·
·
·
·
0
0
90
90
MAE MDE
AME EMD
+ =
+ =
Suy ra :
·
·
MDE EMD=
=> ME = ED (**)
Từ (*) ; (**) suy ra AE = ED.Vậy E là trung điểm của AD
Chứng minh tương tự ta được : BF = FC
Vậy F là trung điểm của BC
0,5 đ

0,5 đ
c)
Xét
ABC⊥V
có : MA.MC = MB
2
Xét
ABD⊥V
có :MB.MD = MA
2
Mà MA
2
+ MB
2
= AB
2
Suy ra : MA.MC + MB.MD = AB
2
hay MA.MC + MB.MD = 4R
2
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
d)
Từ F kẻ FH vuông góc với Ax
Xét tam giác vuông HEF ta có EF ≥ HF
Mà HF = AB ( tứ giác ABFH là hình chữ nhật )
=> EF ≥ AB .Vậy EF ngắn nhất khi EF = AB ,khi đó M là điểm chính giữa của nửa
đường tròn (O)
0,5 đ

0,5 đ
Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng cũng cho điểm tối đa.