ĐỀ TÀI RÈN KĨ NĂNG VẼ HÌNH VÀ PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI HÌNH HỌC 9

ấ TAI:
REN KI NNG VE HINH VA PHN TICH TIM LI GIAI HINH HOC 9
2 :T VN ấ
2.1.TM QUAN TRONG CUA VN ấ :
Toan hoc co vai tro quan trong trong i sụng , trong khoa hoc va cụng nghờ hiờn
ai ,nhõt la trong nhng nm chuõn bi bc sang thờ ky XXI ky nguyờn cua cụng
nghờ hiờn ai va thụng tin, viờc nm vng cac kiờn thc toan hoc giup cho hoc sinh
co c s nghiờn cu cac bụ mụn khoa hoc khac ụng thi co thờ hoat ụng co hiờu
qua trong moi linh vc cua i sụng.
Trong nha trng THCS cú th núi mụn toan l mt trong nhng mụn hc gi
mụt vi tri hờt sc quan trong . Bi le Toỏn hc l mt b mụn khoa hc t nhiờn mang
tớnh tra tng cao, tớnh logớc ng thi mụn toỏn cũn l b mụn cụng c h tr cho
cỏc mụn hc khỏc ,co tinh thc tiờn phụ dung . Nhng tri thc va ky nng toan hoc
cung vi nhng phng phap lam viờc trong toan hoc tr thanh cụng cu ờ hoc tõp
nhng mụn khoa hoc khac v nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó
có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân.Mụn toan co kha
nng t duy lụgic , phat huy tinh linh hoat , sang tao trong hoc tõp v mụn toỏn l mt
trong nhng mụn hc khú nht . Trong chng trinh toan THCS ,mụn hinh hc la rõt
quan trong va rõt cõn thiờt cõu thanh nờn chng trinh toan hoc THCS cung vi
mụn sụ hoc va ai sụ.Hinh hoc la mụt bụ phõn c biờt cua toan hoc . Phõn mụn hinh
hoc nay co tinh tru tng cao ,hoc sinh luụn coi la mụn hoc kho . Vi mụn hỡnh hc
l mụn khoa hc rốn luyn cho hc sinh kh nng o c, tớnh toỏn, suy lun logớc,
phỏt trin t duy sỏng to cho hc sinh . c bit l rốn luyn ca hc sinh khỏ, gii
nõng cao c nng lc t duy, tớnh c lp, sỏng to linh hot trong cỏch tỡm li gii
bi tp toỏn . Vi võy muụn hoc tụt mụn hoc nay khụng nhng oi hoi hc sinh phi co
cac ki nng o c v tớnh toan nh cac mụn hoc khac , ma con phai co ki nng ve
hinh , kha nng t duy hinh khụi ,kha nng phõn tich tim li giai bai toan v kh
nng khai thỏc cỏc cỏch gii v phỏt trin bi toỏn. Lp 9 la lp hoc lõn ba lam quen
vi viờc võn dung cac kiờn thc ly thuyờt cn ban vao viờc giai mụt bai toan hinh hoc
cu thờ , do o viờc ren cho hoc sinh cac ki nng ve hinh , kha nng phõn tich tim li
giai v kh nng khai thỏc cỏc cỏch gii v phỏt trin bai toan hinh hoc la iờu hờt sc

cõn thiờt.
Vi tõm quan trong nh võy,thi viờc cai tiờn phng phap day hoc noi chung va
phng phap ren ky nng ve hinh va phõn tich tim li giai bai toan hinh hoc 9 noi
riờng vua la mụt yờu cõu cõn thiờt va la nhiờm vu thng xuyờn ụi vi giao viờn
day toan . Vi võy ngi thõy phai to cho hoc sinh hng suy nghi , tim toi kham pha
ra nhng hng chng minh cho mụi bai toan hinh hoc t ú hc sinh hng thỳ say
mờ, yờu thớch mụn hc v vn dng sỏng to kin thc mụn hc vo thc tin v cuc
sng.
2.2. THC TRANG LIấN QUAN TI VN ấ ANG NGHIấN CU
2.2.1 . ụi vi hoc sinh :
Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học môn hình học của học sinh còn
thấp ; Khi nói đến môn hình học thì học sinh thường ngại học đặc biệt là quá trình
vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn, quá trình làm bài tập đôi khi
còn gặp nhiều bế tắc , vẽ hình còn không đúng ,không biết bắt đầu từ đâu , không biết
nhìn nhận phân tích hình vẽ để làm bài, quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ hoặc
luẩn quẩn, trình cẩu thả, tuỳ tiện,. Đa số học sinh chỉ làm những bài toán chứng minh
hình học đơn giản. Song thực tế nội dung của bài toán hình thì rất phong phú và có
nhiều cách giải khác nhau .Hơn nữa học sinh khai thác và phát triển bài toán thì rất
hạn chế , ngay cả những học sinh khá giỏi cũng rất lúng túng chưa biết vận dụng linh
hoạt các kiến thức để giải bài toán hình học .Vì thế ,tỷ lệ học sinh yếu kém chưa được
giảm nhiều và tỷ lệ học sinh khá giỏi môn toán chưa cao.
2.2.2 Đối với giáo viên:
Phần lớn giáo viên chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy học giải toán.
Còn nhiều giáo viên chưa cho học sinh thực sự làm toán mà chủ yếu giải toán cho học
sinh và chú ý đến số lượng hơn là chất lượng. Trong quá trình dạy học giải toán giáo
viên ít quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận.
Thông thường giáo viên thường giải đến đâu vấn đáp hoặc giải thích cho học sinh đến
đó, không những vậy mà nhiều giáo viên còn coi việc giải xong một bài toán kết thúc
hoạt động , giáo viên chưa thấy được trong quá trình giải toán nó giúp cho học sinh có
được phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổ

xung nguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới không thể có được.
Năm học 2011 – 2012 là năm học thứ mười hai tôi được phân công giảng dạy bộ
môn toán THCS và là năm thứ tư tôi được phân công giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh giỏi môn toán lớp 9 nên phần nào tôi đã có kinh nghiệm trong dạy học bộ môn .
Qua thực tế bản thân cũng nhận thấy trong quá trình dạy học môn toán giáo viên phải
biết hướng dẫn, tổ chức cho học sinh tìm hiểu vấn đề phát hiện và phân tích mối quan
hệ giữa các kiến thức đã học trong một bài toán để từ đó học tìm được cho mình
phương pháp giải quyết vấn đề của bài toán . Chỉ trong quá trình giải toán tiềm năng
sáng tạo của học sinh được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận
một sự kiện dưới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi phải lý giải
một vấn đề, biết đề xuất nhữnh giải pháp khác nhau khi sử lý một tình huống .Hơn
nữa tôi cũng nhận thấy rằng để gây hứng thú cho học sinh học tập bộ môn, kích thích
sự tìm tòi ,sáng tạo khám phá kiến thức của học sinh , người thầy với vai trò chủ đạo
cần định hướng giúp học sinh rèn kỹ năng vẽ hình , khả năng phân tích tìm lời giải và
nhìn nhận bài toán hình dưới nhiều khía cạnh khác nhau.
2.2.3. Đối với nhà trường :
Khi đặt vấn đề nghiên cứu sang kiến kinh nghiệm trước Hội đồng sư phạm của nhà
trường tôi đã được sự nhất trí đồng thuận của Ban giám hiệu nhà trường và của đồng
nghiệp và được sự quan tâm giúp đỡ của nhà trường về cơ sở vật chất và tinh thần
,được đồng nghiệp đóng góp nhiều kinh nghiệm quý báu trước khi tôi thực hiện
nghiên cứu sang kiến kinh nghiệm sư phạm này.
2.3 . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Với việc nhìn nhận được tầm quan trọng của vấn đề và đứng trước thực trạng trên
tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm . Đề tài mang tên là:
“Rèn kỹ năng vẽ hình và khả năng phân tích tìm lời giải hình học 9” Với mong
muốn góp phần nâng cao hiệu quả ,chất lượng trong dạy học môn hình học lớp 9 của
trường THCS Đại Bình theo tinh thần đổi mới .Củng cố thêm nghiệp vụ giảng dạy
của mình ,đồng thời mong được đóng góp một phần nhỏ bé của mình với các bạn
đồng nghiệp và giúp cho sư nghiệp giáo dục của đơn vị cũng như của huyện được
nâng lên.

2.4 . GIỚI HẠN NGHIÊN CỨU CỦA SANG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.4.1. Giới hạn về phạm vi và thời gian nghiên cứu.
a . Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm:
- Phạm vi nội dung: Biện pháp rèn kỹ năng vẽ hình và phân tích tìm lời giải
hình học 9
- Phạm vi không gian: Khối lớp 9 Trường THCS Đại Bình .
b . Thời gian nghiên cứu:
-Nghiên cứu trong 5 năm học: Năm học : 2007-2008 ;2008-2009 ;2009-2010 ;
2010-2011 ;2011-2012
-Kế hoạch nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm :
+)Năm học 2007-2008 : thảo luận ,tìm kiếm vấn đề nghiên cứu và nghiên cứu lí
thuyết ; xây dựng đề cương sáng kiến kinh nghiệm , hoàn chỉnh các biểu mẫu điều tra
+)Năm học 2008-2009; Tiến hành điều tra HS , sử lí số liệu ,cho vận dụng vào
thực tế giảng dạy môn hình học lớp 9 và tiếp tục được vận dụng vào giảng dạy môn
hình học lớp 9 tại trường trong các năm học tiếp theo.
+)Trong học kì I năm học 2011-2012 :Điều chỉnh lại và viết chính thức các nội
dung của sáng kiến kinh nghiệm, in ấn đóng quyển và nộp.
2.4.2. Giới hạn về phạm Giả thiết khoa học,mục đích,nhiệm vụ và phương
pháp nghiên cứu.
a. Giả thuyết khoa học:
Giả thuyết đặt ra là :HS có kỹ năng vẽ hình và khả năng phân tích tìm lời giải
cho bài toán hình học 9 từ đó học sinh có phương pháp học tập bộ môn , không còn
lúng túng trong việc giải một bài toán hình học và dẫn đến HS có hứng thú học tập
bộ môn hơn .
b. Mục đích nghiên cứu:
Trên cơ sở nghiên cứu lí luận và thực trạng dạy học phân môn hình học lớp 9
của Trường THCS Đại Bình ,sáng kiến kinh nghiệm này đã đề ra được các giải pháp
để rèn kỹ năng vẽ hình và khả năng phân tích tìm lời giải,khai thác bài toán hình học
9 cho học sinh ở trường THCS Đại Bình , từ đó giúp học sinh nắm vững và hiểu sâu
các kiến thức cơ bản, nhìn nhận một bài toán hình dưới nhiều khía cạnh khác nhau ,có

kỹ năng vận dụng các kiến thức vào bài tập và thực tiễn .Cung cấp cho các em
phương pháp tự học từ đó các em chủ động, tự tin và sáng tạo trong học toán và có
hứng thú học tập bộ môn hơn
Đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong quá trình đọc và
nghiên cứu tài liệu, cũng như giảng dạy môn toán hinh. Đặc biệt đây là kinh nghiệm
giúp cho GV tham khảo khi thiết kế bài dạy các tiết luyện tập, ôn tập, luyện thi trong
quá trình dạy học của mình.
Ngoài mục đích trên đề tài có thể coi như một giải pháp góp phần thực hiện đổi
mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh
THCS.
c. Nhiệm vụ nghiên cứu :
Tiến hành nghiên cứu sáng kiến kinh nghiêm này , tô thực hiện qua 6 nhiệm vụ
sau:
+) Nghiên cứu cơ sở lí luận của biện pháp rèn kỹ năng vẽ hình và phân tích tìm
lời giải hình học 9.
+) Nghiên cứu phương pháp dạy học , đổi mới phương pháp dạy học môn toán
ở trường THCS , Nghiên cứu chương trình và SGK , SBT , Các tài liệu tham khảo và
nâng cao của môn hình học 9.
+) Phân tích thực trạng và kết quả giảng dạy môn hình học 9 ở trường THCS
Đại Bình trong các năm học 2007 – 2008; 2008-2009; 2009-2010 ; 2010 –
2011;2011-2012.
+) Đưa ra các biện pháp rèn kỹ năng vẽ hình , phân tích tìm lời giải và khai
thác bài toán hình học 9.
+) Vận dụng sang kiến kinh nghiệm vào trong công tác giảng dạy môn hình học 9
tại đơn vị nhà trường.
+) Rút kinh nghiệm và đánh giá kết quả đạt và chưa đạt trong quá trình vận dụng
thực tế của sáng kiến kinh nghiệm .
d. Phương pháp nghiên cứu :
Tiến hành sáng kiến kinh nghiệm này tôi sử dụng các nhóm phương pháp sau :
d.1)Nhóm phương pháp nghiên cứu lí thuyết :

Đọc và phân tích tài liệu về phương pháp dạy học môn toán ; đổi mới phương
pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động của HS ; Chương trình , SGK và
SBT ; tài liệu tham khảo của bộ môn toán hình 9 …
d.2)Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn :
- Quan sát theo dõi HS và học hỏi đồng nghiệp .
- Phương pháp điều tra sư phạm : Phỏng vấn ,trao đổi; khảo sát điều tra số liệu
theo phiếu ; thống kê và phân tích số liệu điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm :Giảng dạy thực nghiệm tại trường.
-Tổng kết kinh nghiệm và đánh giá kết quả.
3 :CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri
thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho
những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà
nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo
dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Để đáp ứng yêu cầu của thời đại khoa học kĩ thuật phát triển như vũ bão hiện nay.
Tại nghị quyết hội nghị lần thứ 2 của ban chấp hành Trung ương khóa VIII về những
giải pháp chủ yếu trong giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ: “ Đổi mới mạnh mẽ phương
pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư
duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương
tiện hiện đại vào dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho
học sinh”. Chính vì vậy đòi hỏi từng bộ môn trong nhà trường THCS phải có cách
nhìn nhận cải tiến phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học
theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn
của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ
nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập
và thực tiễn.
Quá trình học sinh nắm vững kiến thức không phải là tự phát mà là một quá trình
có mục đích rõ rệt, có kế hoạch tổ chức chặt chẽ, một quá trình nỗ lực tư duy trong đó

học sinh phát huy tính tích cực, tính tự giác của mình dưới sự chỉ đạo của giáo viên.
Trong quá trình ấy mức độ tự lực của học sinh càng cao thì việc nắm kiến thức càng
sâu sắc, tư duy độc lập sáng tạo càng phát triển cao, kết quả học tập càng tốt.Trên
thực tế quá trình dạy học là quá trình thống nhất bao gồm quá trình dạy và quá trình
học, nó là một hệ thống tác động lẫn nhau giữa giáo viên và học sinh, trong đó mỗi
chủ thể tác động lẫn nhau có vai trò và chức năng của mình.Trong quá trình dạy học
lấy học sinh làm trung tâm, không có nghĩa là hạ thấp vai trò của giáo viên mà trong
đó vai trò của giáo viên quyết định đến quá trình nhận biết - học - dạy và đặc trưng
cho việc định hướng giáo dục.Trong quá trình dạy học: Giáo viên đồng thời là người
hướng dẫn, người cố vấn, người mẫu mực cho học sinh , điều đó có nghĩa là hoạt
động dạy là xây dựng những quy trình, các thao tác chỉ đạo hoạt động nhận thức của
học sinh, hình thành cho học sinh nhu cầu thường xuyên học tập, tìm tòi kiến thức,
kích thích năng lực sáng tạo, hình thành cho các em tự kiểm tra, đánh giá kết quả học
tập của mình, rèn luyện phương pháp học tập, phương pháp suy nghĩ. Điều quan trọng
là hình thành cho các em cách học có hiệu quả nhất, đáp ứng được nhu cầu kiến thức
bộ môn.
Việc đổi mới phương pháp dạy học trong đó có đổi mới dạy học môn toán, Trong
trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem
việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giải toán đặc
biệt là giải toán hình học là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp
tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế. Thông qua việc giải toán thực chất là hình
thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn
toán.
Vì vậy trong công tác đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương
pháp dạy môn toán nói riêng, đòi hỏi giáo viên phải vận dụng sáng tạo các phương
pháp dạy học phù với môn học, đặc biệt cần phải tổ chức dạy học sao cho học sinh
hứng thú say mê, yêu thích môn học nói riêng và các bộ môn học khác nói chung, qua
đó hình thành kiến thức, kĩ năng và nhận thức của học sinh. Nhiệm vụ cơ bản của bộ
môn là đảm bảo cho học sinh nắm vững những kiến thức và vận dụng sáng tạo vào
thực tiễn.

4 : CƠ SỞ THỰC TIỂN:
Trong các môn học ở trường phổ thông, học sinh (HS) rất ngán học môn toán và
“sợ” môn hình học .HS “sợ”môn hình học cũng có lý do của nó, bởi lẽ các em cho
rằng hình học là môn học rất khó, trừu tượng cao đối vời học sinh bậc THCS và bởi
đây là môn học đòi hỏi độ chính xác cao, khả năng lập luận tốt. Ngoài ra, môn hình
học còn đòi hỏi HS phải có trí tưởng tượng, óc suy xét và tư duy logic.Do vây học
sinh đều cảm thấy có ít nhiều khó khăn ,bởi vì các em chưa biết vẽ hình, lúng túng
khi phân tích một đề toán hình, đặc biệt một số bài toán mà khi giải cần có thêm một
sáng tạo vẽ thêm đường phụ .Bởi vậy chất lượng học tập môn hình của các em còn
thấp. Qua kinh nghiệm của bản thân và một số đồng nghiệp tôi rút ra được một số
nguyên nhân sau:
-Các em còn yếu trong việc vẽ hình hay vẽ hình thiếu chính xác
-Khả năng suy luận hình học còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải bài
toán hình học còn khó khăn:
-Việc trình bày bài giải của học sinh còn thiếu chính xác,chưa khoa học , còn lủng
củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ ,không chặt chẽ:
- Một số em có thể do tâm lý ngại học hoặc sợ môn hình nên càng làm cho bài toán
từ dễ trở thành khó. Học sinh chưa biết nghĩ từ đâu? nghĩ như thế nào? cách trình bày,
lập luận ra sao ở một bài toán hình?
- Trong sách giáo khoa (SGK) bài toán mẫu còn ít, hướng dẫn gợi ý không đầy
đủ nên khó tiếp thu. Hơn nữa khối lượng kiến thức, bài tập trong SGK khá nhiều đôi
khi thầy và trò không làm hết trong thời gian qui định.
Kết quả điều tra thực trạng cho thấy: Thực tế ,học sinh học phân môn hình học
còn yếu về mọi mặt , tỉ lệ học sinh khá giỏi bộ môn toán hình trong các trường còn
hạn chế , khả năng vẽ hình và tư duy sáng tạo của học sinh còn yếu nên số học sinh
yếu kém chiếm tỉ lệ cao số HS yêu thích môn hình còn ít.
-Kết quả điều tra qua 200 bài kiểm tra một tiết môn hình học lớp 9 của trường
THCS Đại Bình trong năm học 2007-2008 cho thấy:
Điều tra 200
Giỏi Khá Trung bình Yếu kém

SL % SL % SL % SL % SL %
20 10% 30 15% 100 50% 30 15% 20 10%
-Kết quả điều tra qua 60 HS lớp 9 của trờng THCS Đại Bình trong năm học
2007-2008 về kĩ năng vẽ hình của môn hình học cho thấy.
Điều tra
60 HS
Thành thạo Chưa thành thạo Không làm được
SL % SL % SL %
15 25% 30 50% 15 25%
-Kết quả điều tra qua 60 HS lớp 9 của trờng THCS Đại Bình trong năm học 2007-
2008 về thái độ đối với môn hình học cho thấy:
Điều tra
60 HS
Yêu thích môn học Bình thường Không thích học
SL % SL % SL %
15 25% 25 41,7% 20 33,3%
5 :NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:
5.1. MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH TRONG HÌNH HỌC :
5.1.1. Vẽ hình bài toán :
Một trong những yếu tố quyết định đến việc giải một bài toán hình học là vẽ
hình chính xác. Qua thực tế dạy học tôi thấy việc vẽ hình trong một bài toán là tương
đối khó khăn với học sinh, các em còn yếu trong việc vẽ hình hay vẽ hình thiếu chính
xác, một số bài toán vẽ hình dẫn đến việc ngộ nhận kết quả,cũng có một số bài toán
với cách vẽ hình khác nhau thì việc chứng minh theo con đường khác nhau. Nguyên
nhân do chưa đọc kĩ bài, chưa biết xác định bài cho gì (GT), yêu cầu làm gì (KL)
hoặc sử dụng các dụng cụ, thao tác chưa chính xác hay vẽ hình còn cẩu thả dẫn đến
gây trở ngại cho việc định hướng chứng minh
VD: + Khi vẽ , AB = AC, AB //DC , vẽ tia phân giác của một góc ,trung điểm của
đoạn thẳng , trung trực của đoạn thẳng, đường trung tuyến, đường cao của tam giác
,dựng tam giác biết độ dài ba cạnh , dựng một góc bằng góc cho trước ,dụng tiếp

tuyến của đường tròn,vẽ đường tròn ngoại tiếp ,đường tròn nội tiếp tam giác học
sinh chưa thành thạo thậm chí nhiều em không vẽ được.
+ Không biết kí hiệu một cách hợp lí trên hình vẽ (GT cho) để hỗ trợ trong việc
chứng minh.
- Đôi khi vẽ hình, học sinh còn vẽ vào trường hợp đặc biệt, dẫn đến ngộ nhận làm
cho việc xây dựng hướng chứng minh sai lầm, không chứng minh được hay chứng
minh sai.
VD: Khi bài toán cho tam giác bất kì thì học sinh thường vẽ vào các trường hợp
là : tam giác cân ,tam giác vuông ,tam giác đều.Hoặc bài toán “cho d là đường trung
trực của đoạn thẳng AB, trên d lấy 2 điểm C & D khác phía đối với bờ AB. Tìm tất cả
các tia phân giác của các góc trong hình vẽ”. Nếu trong bài này học sinh vẽ vào
trường hợp C, D đối xứng với nhau qua AB thì sẽ có đến 4 tia phân giác.
5.1.2. Khả năng suy luận hình học còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế
hoạch giải bài toán hình học còn khó khăn:
Khi đã vẽ xong hình, việc tìm ra hướng giải bài toán là khó khăn nhất. Thực tế cho
thấy học sinh thường bị mắc ở khâu này. Nguyên nhân ở chỗ các em chưa biết sử
dụng giả thiết đã cho để kết hợp với khả năng phân tích hình vẽ để lựa chọn cách làm
bài. Việc huy động những kiến thức đã học để phục vụ cho việc chứng minh còn hạn
chế, có em còn lẫn lộn giữa giả thiết và kết luận. Việc liên hệ các bài toán còn chưa
tốt, khả năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn yếu. Nhiều bài toán đã được giải
nếu thay đổi dữ kiện thì học sinh còn khó khăn khi giải.
5.1.3. Việc trình bày bài giải của học sinh còn thiếu chính xác,chưa khoa
học , còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ ,không chặt
chẽ:
Học sinh lớp 9 cũng đã được tập dượt chứng minh ở lớp 7và lớp 8. Tuy nhiên đã
được làm quen với các bài toán chứng minh hình học ,nhưng khi trình bày bài giải
vẫn còn lủng củng thiếu lôgic không chặt chẽ , sử dụng các kí hiệu không đúng quy
định có khi còn bỏ qua như kí hiệu góc,kí hiệu cung kí hiệu của tam giác , kí hiệu
của đường tròn ,kí hiệu về đỉnh đôi khi còn viết chữ thường ,kí hiệu của điểm còn
viết chũ thường

Từ những thực tế trên, người thầy phải tìm ra những biện pháp hữu hiệu để
khắc phục những nhược điểm của học sinh, gây hứng thú học tập ở học sinh, phát huy
tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh, rèn luyện cách trình bày cho khoa học.
5.2 . BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC :
5.2.1. Hướng dẫn vẽ hình :
So với sách giáo khoa Toán 9 cũ thì sách giáo khoa Toán 9 mới đã giảm nhiều về
lí thuyết, tăng cường nhiều thời gian cho thực hành, luyện tập. Qua việc đo đạc, vẽ
hình học sinh nắm được những thao tác vẽ bài bản hơn. Song thực tế cho thấy trong
bài toán hình học vẽ hình là công việc khó đối với học sinh, thậm chí ngay ở những
bài mà hình vẽ không khó, học sinh vẫn có thể mắc sai lầm. Đối với học sinh lớp 9
rèn luyện cách vẽ hình cũng là rất quan trọng. Do vậy người thầy cần phải khai thác
tốt giờ luyện tập để học sinh biết sử dụng dụng cụ vẽ hình , kiểm tra hình vẽ nhờ dụng
cụ ,vẽ hình xuôi ngược để rèn luyện kĩ năng vẽ hình. Cần tập cho học sinh thói quen:
muốn vẽ hình chính xác trước hết phải nắm thật chắc đề bài, bài cho gì và yêu cầu
làm gì, tức phải phân biệt được rõ ràng giả thiết và kết luận. Khi vẽ, nên xét xem nên
vẽ gì trước, chọn dụng cụ nào vẽ để cho hình vẽ chính xác đơn giản hơn và những gì
giả thiết đã cho cần phải thể hiện kí hiệu quy ước trên hình vẽ.
Ví dụ1: Cho đường tròn (O; R) và điểm A với
2OA R
=
. Từ A kẻ hai tiếp tuyến
AM và AN.
a)Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình vuông.
b)Gọi H là trung điểm của dây MN, chứng minh rằng ba
điểm A, H, O thẳng hàng.
*Hướng dẫn học sinh vẽ hình:
? Ta vẽ gì trước? Dùng dụng cụ gì?(HS dễ dàng vẽ được đường tròn (O;R))
? Tiếp theo em cần làm gì? (Vẽ điểm A sao cho
2OA R
=

)
Tuy nhiên để xác định chính xác điểm A sao cho
2OA R
=
đối với học sinh không
phải là rễ.
GV:HD
2OA R
=
là đường chéo của hình vuông cạnh R do vậy cần phải vẽ góc
vuông
·
0
MON 90=
(M,N thuộc (O;R)) OM=ON=R => Từ M kẻ Mx
⊥
OM, Từ N kẻ Ny
⊥
NO => Điểm A là giao của Ny và Mx => ta được hình vuông AMON có
OM=ON=R và
2OA R
=
.Và ta cũng được AM,AN là hai tiếp tuyến cần vẽ của (O;R)
? Vẽ điểm H như thế nào dễ hơn?(HS dễ dàng xác định được H là giao điểm của hai
đường chéo AO và MN của tam giác vuông AMON)
GV: cho HS lên bảng vẽ hình theo HD trên.
Trong chương trình hình học nhiều bài toán điều có thể vẽ hình chính xác ngay
khi đọc từng câu.Song có những bài học sinh phải đọc hết toàn bộ bài thậm chí phải
dựa vào cả kết luận mới vẽ được chính xác, có khi vẽ lần đầu chỉ là phác hoạ, không
đảm bảo sự chính xác của nội dung bài, từ hình phác hoạ đó phải tiến hành phân tích

các số liệu đã cho trên hình rồi từ đó có cách vẽ lần sau trọn vẹn.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn thẳng AD vuông
góc với AB ( D và C nằm khác phía đối với AB), AD =AB.
Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC (E và B nằm khác phía
đối với AC), AE vuông góc với AC. Biết rằng DE=BC. Tính
góc BAC
*Hướng dẫn HS vẽ hình:(Hình 2)
Để vẽ được chính xác hình bài này cần phải vẽ phác hoạ.
Thực tế khi dạy bài này cho học sinh chỉ một số ít học sinh vẽ đúng được hình, một
số em không vẽ được hình từ đó không làm được bài.Mấu chốt để vẽ hình chính xác
là phải tính góc BAC=90
0
(KL bài)
Thật vậy từ hình vẽ phác hoạ ta có ngay:
∆
ABC =
∆
ADE (c.c.c). Mà
Â
2
=Â
4
=90
0
.Từ đó ta vẽ tam giác ABC có Â=90
0
Thực tế còn có những bài toán mà có thể có nhiều hình vẽ, mỗi một hình cho ta
một đáp số. Với loại bài này phải cho học sinh thấy cần vẽ tất cả các trường hợp có
thể xảy ra.
5.2.2. Xây dựng kế hoạch giải:

5.2.2.1) Phân tích hình vẽ và sử dụng giả thiết để tìm cách giải :
Sau khi đã vẽ hình cần phải quan sát trên hình vẽ xem đã có thể hiện đày đủ giả
thiết trên hình vẽ chưa (cần chú ý các kí hiệu theo quy ước). Trên cơ sở phân tích
hình vẽ và huy động vốn kiến thức đã có học sinh sẽ định hướng được việc giải bài
toán dưới sự dẫn dắt của thầy giáo bằng hệ thống câu hỏi.
Ví dụ 3:: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By
cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE
với nửa đường tròn (E là tiếp điểm khác A), CE cắt By ở D.
1. Chứng minh
·
COD 1V=
; Từ đó suy ra CE.ED = R
2
2. Chứng minh
∆
AEB và
∆
COD đồng dạng.
Hướng dân bằng hệ thống câu hỏi:
1.Chứng minh:
·
COD 1V=
; Từ đó suy ra CE.ED =R
2

Hình 3
2. Chứng minh
∆
AEB ~
∆

COD :
?Ch/minh
·
COD 1V=
, ta chứng minh
điều gì ?
Với cách 1 GV hỏi tiếp:
?Góc
µ
µ
1
1
C , D
liên hệ với các góc nào ?
?Vận dụng yếu tố nào của đề bài để tìm
µ
µ
1
1
C , D
?
?Tổng hai góc
·
·
DCA và BDC
là bao
nhiêu? Vì sao ?
?Hệ thức nào trong
∆
v

COD có chứa tích
CE.ED?
?Đoạn thẳng nào có độ dài bằng R và có
liên hệ với CE, ED ?
HS:cách 1:
∆
COD có
µ
µ
1
1
C D 1V+ =
Cách 2: cm cho OC và OD là tia
phân giác của hai góc kề bù (
·
AOE
,
·
EOB
)
HS:
·
·
DCA và BDC
:
µ
·
µ
·
1

1
1
C DCA
2
1
D BDC
2

=




=


HS: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
=> CO,DO là hai tia phân giác của hai
góc
· ·
ACE và BDE
HS:
·
·
0
DCA = BDC 180=
(2 góc trong
cùng phía của AC//BD)
HS: CE.ED = OE
2

HS: OE có độ dài bằng R và có liên hệ
với CE, ED
? Trước hết cho học sinh nhận xét hình
vẽ. Hai tam giác học sinh chứng minh
đồng dạng là tam giác gì ?
?Với giả thiết đã cho để chứng minh hai
tam giác vuông
∆
AEB và
∆
COD đồng
dạng ta cần chỉ ra được yếu tố nào?
?Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt
nhau ta có
µ µ
1 2
D D=
; Vậy để chứng minh
µ
µ
1
1
B D
=
ta phải ch/minh điều gì?
? c/m
µ
µ
1 2
B D

=
bằng cách nào?
GV:Gợi ý:BE và DO có quan hệ gì? Từ
đó suy ra điều gì?
HS: Hai tam giác cần chứng minh đồng
dạng là tam giác vuông nên có thêm đk
HS:
µ
µ
1
1
B D
=
HS:
µ
µ
1 2
B D
=
HS:
BE DO
⊥
=>
µ
µ
1 2
B D
=
(góc có hai
cạnh tương ứng vuông góc)

*Học sinh có thể chứng minh
µ
µ
1 2
B D
=
(do cùng phụ với
·
DOB
hoặc
·
DBE
)
*Cũng có thể chứng minh
∆
v
AEB và
∆
v
COD có
·
·
EAB OCD=
nên đồng dạng bằng
cách vận dụng góc nội tiếp, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của (I) :
?Muốn chứng minhAB là tiếp tuyến
của (I) ta phải chứng minh điều gì
?AC
⊥

AB, BD
⊥
AB, vậy để IO
⊥
AB thì
phải thoả điều kiện gì ?
?Yếu tố nào của đề bài giúp ta chứng
minh IO là đường trung bình của hình
thang vuông ABDC.
*Có thể hướng dẫn học sinh chứng minh
O
∈
AB và OI là bán kính của (I)
GV: nêu câu hỏi củng cố:
? Các kiến thức cơ bản đã vận dụng
trong bài toán trên là gì?
HS: AB
⊥
IO tại O
∈
(I) ? (định lý
đảo)
HS:



= OBOA
BDACOI ////
=>OI là đường trung bình
của hình thang vuông ABDC

HS:



=
=
OBOA
IDIC
(giả thiết)
HS:-Tính chất về tổng các góc trong
tam giác.
-Các tính chất trong tam giác vuông.
-Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
-Tam giác đồng dạng.
-Tính chất đường trung bình
trong hình thang .
-Các tính chất của tiếp tuyến.
Ví dụ 4: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt
nhau tại A và B. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ qua B
cắt (O) và (O’) lần lượt tại các điểm C và D. Lấy điểm M
trên cung nhỏ CB. Đường thẳng MB cắt (O’) tại N, CM cắt
DN tại P.
a) ΔAMN là tam giác gì? tại sao?
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp.
Hướng dẫn HS bằng hệ thống câu hỏi:
a) ΔAMN là tam giác gì? tại sao?
(?1) Chứng minh ΔAMN cân
bằng cách nào?
(?2) Chứng minh như thế nào để
có

·
·
AMB ANB=
?

b) Chứng minh tứ giác ACPD
nội tiếp
(?3): Để chứng minh tứ giác
ACPD nội tiếp cần chứng minh
điều gì ?
(?4) Góc ADP cộng với góc nào
bằng 180
0
? ta cần chứng minh
điều gì ?
(?5) Muốn chứng minh
·
·
ACP ADN=
cần chứng minh được
điều gì ?
(?6) Muốn chứng minh
¼
»
AM AN
=

cần chứng minh được điều gì ?
(?7) Chứng minh AM = AN bằng
cách nào ?

HS:
·
·
AMB ANB=
- HS dự đoán thông qua quan sát:
(ΔAMN cân tại A)
·
¼
1
AMB sdAmB
2
=
và
·
¼
1
ANB sdAnB
2
=
và
¼
¼
AmB AnB
=

⇑

⇑

⇑

(Góc nội tiếp)( Góc nội tiếp) ((O) bằng (O’))
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp
HS:
·
·
0
ACP ADP 180+ =
HS:
·
·
0
ADN ADP 180+ =
(hai góc kề bù)
·
·
ACP ADN=
(Góc nội tiếp chắn hai cung
bằng nhau)
HS:
¼
»
AM AN=
HS: AM = AN
HS: ΔAMN cân tại A (c/câu a)
5.2.2.2)Sử dụng phương pháp phân tích đi lên để tìm hướng làm bài:
Trong các phương pháp đã thực hiện trong chương trình THCS, giải bài tập hình
học bằng phương pháp phân tích đi lên là phương pháp giúp HS dễ hiểu, có kỹ thuật
giải toán hình hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả nhất. Nếu giáo viên kiên trì làm tốt
phương pháp này, cùng học sinh tháo gỡ từng vướng mắc trong khi lập sơ đồ chứng
minh, cùng các em giải các bài tập từ dễ đến khó thì tôi tin rằng sẽ làm cho các em

hứng thú với môn hình và kết quả sẽ cao hơn.Vậy thế nào là phương pháp phân tích
đi lên? Có thể khái niệm rằng, đây là phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn đề cần
chứng minh dẫn tới vấn đề đã cho trong một bài toán. Thường thì chứng minh trong
một bài toán ta phải suy xuôi theo sơ đồ:
A = A
0

→
A
1

→
A
2

→

→
A
n
= B
Sơ đồ chứng minh bằng phương pháp phân tích đi lên có thể được khái quát như sau:

(1) (2) (3) (n)
Cần chứng minh vấn đề A= A
0

⇐
A
1

⇐
A
2

⇐

⇐
A
n
.Trong mỗi bước suy luận (1),
(2), (3), (n) đều được suy luận ra từ cơ sở luận chứng trước nó, cụ thể có được A
đúng thì phải có A
1
đúng, để có A
1
đúng thì phải có A
2
đúng đến A
n
là một điều đã
biết, đã được chứng minh là đúng hoặc đã có từ giả thiết.
Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, chúng tôi thấy phương pháp phân tích đi lên
luôn có tác dụng gợi mở, tác động mạnh đến tư duy của HS (bao gồm tư duy phân
tích và tư duy tổng hợp). Từ đó giúp các em hệ thống và nhớ được các kiến thức liên
quan đã học trước đó. Trong quá trình giải bài tập, các em vừa đi tìm đáp số vừa có
dịp “hồi tưởng” lại những kiến thức mình đã học mà có khi không nhớ hết.Có thể nói
trong khi giải bài tập bằng phương pháp phân tích đi lên thì việc lập được sơ đồ
chứng minh là đã thành công được một nửa, phần việc còn lại là bằng phương pháp
tổng hợp sắp xếp các bước theo một trình tự logic, trong đó mỗi bước lại có các căn
cứ, luận chứng .

Ví dụ5: Bài 13( SGK Toán 9 tập I – Trang 106)
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại
điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và
CD. chứng minh rằng:
a, EH = EK b, EA = EC.
Giải:
(O); A, B, C, D
∈
(O)
GT AB = CD
AB

CD =
{ }
E
AH = HB; CK = KD
KL a, EH = EK
b, EA = EC
Lập sơ đồ chứng minh chứng minh:
a, chứng minh:EH = EK
⇑
Δ
OEK =
Δ
OEK
⇑
· ·
0
OHE OKE 90
= =

OH=OK OE chung
⇑
AB = CD (gt)
a, Kẻ OH, OK
Ta có: AH = HB (gt)
CK = KD (gt)
nên OH
⊥
AB; OK
⊥
CD
(Đ. lý 3 – quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
Vì AB = CD (gt) nên OH = OK
(Đ. lý liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)
Xét
Δ
OEK và
Δ
OEK có:
· ·
0
OHE OKE 90
= =
( c/m trên)
OH = OK ( c/m trên)
OE cạnh chung
→

Δ
OEK =

Δ
OEK (cạnh huyền – cạnh góc
vuông)
→
EH = EK ( 2 cạnh tương ứng)
(đpcm)
b, chứng minh: EA = EC
⇑
AH + EH = CK + EK
⇑
AH=CK EH = EK(c/m ở phần a)
⇑
AB=CD(gt) AH=1/2AB(gt) CK=1/2CD(gt)
b,Vì AB = CD (gt)
Mà AH = HB (gt)
→
AH =
2
AB
CK = KD (gt)
→
CK =
2
CD
→
AH=CK (1)
Mặt khác: EH = EK(c/m ở phần a) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2)
→
AH + EH = CK + EK

→
EA = EC (đpcm)
Ví dụ 6: Bài 30 (SGK Toán 9 tập I – Trang 116)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn
chia đường tròn đó thành hai nửa đương tròn). gọi Ax, By là các tia vuông góc với
AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M
thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax
và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a,
·
0
COD 90
=
b, CD = AC + BD
c, Tích AC. BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
Giải:
(O; AB/2);
GT Ax
⊥
AB
≡
A
By
⊥
AB
≡
B
M
∈
(O; AB/2)

OM
⊥
CD
≡
M
CD

Ax =
{ }
C
CD

By =
{ }
D
KL a,
·
0
COD 90=
b, CD = AC + BD
c, AC.BD = cosnt khi M di chuyển
»
AB
Lập sơ đồ chứng minh
a, chứng minh:
·
0
COD 90
=
⇑

OC
⊥
OD
⇑
32
ˆˆ
OO
+
= 90
0
⇑
4312
ˆˆ
;
ˆˆ
OOOO
==
⇑
AC, DC là các tiếp tuyến
BD, DC là các tiếp tuyến.
Chứng minh
a, CD

Ax =
{ }
C

→

12

ˆˆ
OO
=
(tính chất 2 tiếp tuyến cát
nhau)
Tương tự: CD

By =
{ }
D
→

43
ˆˆ
OO
=
(tính chất 2 tiếp tuyến cát
nhau)
0
32
0
324321
90
ˆˆ
180)
ˆˆ
(2
ˆˆˆˆ
=+⇒
=+=+++

OO
OOOOOO
b, chứng minh:CD = AC + BD
⇑
CD = CM + DM
⇑
CM = AC; DM = DB
⇑
CA, CM là 2 tiếp tuyến của
(O; AB/2) cắt nhau tại C (gt)
DB, DM là 2 tiếp tuyến của
b)Vì CA, CM là 2 tiếp tuyến của
(O; AB/2) cắt nhau tại C (gt)
→
CM = AC (1)
*)Vì DB, DM là 2 tiếp tuyến của
(O; AB/2) cắt nhau tại D (gt)
→
DM = DB (2)
Mà CD = CM + DM (3)
Từ (1), (2) và (3)
→
CD = AC + BD (đpcm)
(O; AB/2) cắt nhau tại D (gt)
c)chứng minh:AC.BD = cosnt
⇑
CM.MD = cosnt (do AC = CM; BD = MD)
⇑
CM. MD = OM
2

= AB/2
⇑
Δ
COD vuông tại O (c/m ở phần a)
OM
⊥
CD (gt)
c)
Δ
COD vuông tại O(c/m ởphần a)
OM
⊥
CD (gt)
⇒
CM. MD = OM
2
= AB/2
⇒
CM.MD = cosnt
Mà CM = CA (c/m phần b)
MD = BD (c/m phần b)
⇒
CM.MD = AC.BD = const.
⇒
AC.BD = cosnt
Vậy tích AC. BD không đổi khi điểm
M di chuyển trên nửa đường tròn
đường kính AB.(đpcm)
*) Chú ý: Có nhiều cách để lập sơ đồ chứng minh một bài toán hình, do đó có nhiều
cách để trình bày lời giải một bài toán hình. Ở nội dung đề tài này chỉ trình bày một

cách.
Ví dụ 7:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng
phía với nửa đường tròn đối với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với
nửa đường tròn (E là tiếp điểm khác A), CE cắt By ở D.
1. Chứng minh
·
COD 1V=
; Từ đó suy ra CE.ED = R
2
2. Chứng minh
∆
AEB và
∆
COD đồng dạng.
Hướng dẫn lập Sơ đồ chứng minh:
Giáo viên hướng dẫn học sinh lập sơ đồ phân tích cho từng câu
của bài toán đi từ kết luận
→
giả thiết; học sinh tự chứng minh ngược
lại. Hệ thống câu hỏi nêu vấn đề từ dưới lên.
1.Chứng minh:
·
COD 1V=
; Từ đó suy ra CE.ED =R
2
Câu hỏi gợi ý:
? Vận dụng yếu tố nào của đề bài để tìm
µ
µ
1

1
C , D
?
?Tổng hai góc
·
·
DCA và BDC
là bao
nhiêu ? Vì sao ?
? Góc
µ
µ
1
1
C , D
liên hệ với các góc nào ? (
·
·
DCA và BDC
)
? Ch/minh
·
COD 1V
=
, ta chứng minh
Sơ đồ:
CE.ED = R
2
↑
CE.ED = OE

2
↑
∆
COD vuông (
·
COD 1V
=
)
↑
∆
COD có
µ
µ
1
1
C D 1V+ =
điều gì ? (
µ
µ
1
1
C D 1V+ =
).
? Áp dụng hệ thức lượng trong
∆
v
COD
với OE là đường cao.
? Đoạn thẳng nào có độ dài bằng R và có
liên hệ với CE, ED ?

↑
µ
·
µ
·
1
1
1
C DCA
2
1
D BDC
2

=




=


↑
(
·
·
DCA BDC 2V+ =
)
*Với cách phân tích tương tự như trên có thể cho học sinh chứng minh cách khác như sau:
Cách 2:-Vì CA,CE là hai tiếp tuyến của nửa (O) nên tia OC là tia phân giác của

·
AOE
.
-Tương tự OD là tia phân giác của
·
EOB
-
·
AOE
và
·
EOB
là hai góc kề bù nên OC
⊥
OD tại O hay
·
COD 1V
=
⇒
OE
2
= CE.ED hay CE.ED = R
2
Cách 3:Ta có :
·
·
AOC COE=
(do CA, CE là hai tiếp tuyến)

·

·
BOD DOE=
(do DB, DE là hai tiếp tuyến)
Suy ra :
·
·
·
·
AOC BOD COE DOE
+ = +
Mặt khác :
·
·
·
·
AOC BOD COE DOE 2V+ + + =

2(
·
·
COE DOE+
) = 2V

·
·
COE DOE+
= 1V hay
·
COD 1V
=

⇒
OE
2
= CE.ED
⇒
R
2
= CE.ED
*Học sinh có thể phát hiện ra cách chứng minh khác. Giáo viên hướng dẫn học sinh
phân tích bằng sơ đồ chi tiết, về nhà các em sẽ giải được ngay.
2. Chứng minh
∆
AEB ~
∆
COD :
Trước hết cho học sinh nhận xét hình vẽ. Hai tam giác học sinh chứng minh đồng
dạng là tam giác gì ? Cần có thêm điều kiện nào ?
Câu hỏi gợi ý:
?Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt
nhau ta có
µ µ
1 2
D D=
; Vậy phải ch/minh
µ
µ
1 2
B D
=
bằng cách nào? (góc có cạnh

tương ứng vuông góc)
?Chứng minh hai tam giác vuông đồng
dạng phải có thêm điều kiện gì?
Sơ đồ:
∆
AEB ~
∆
COD
↑
∆
AEB vuông (vì AEB = 1V)
∆
COD vuông (cmt)
µ
µ
1 1
B D=
↑
µ
µ
µ µ
1 2
1 2
B D
D D

=


=



(t/c tiếp tuyến)
↑
DB
⊥
AB và DO
⊥
EB
(tính chất của tiếp tuyến)
3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của (I) :
Câu hỏi gợi ý:
?Yếu tố nào của đề bài giúp ta chứng
minh IO là đường trung bình của hình
thang vuông ABDC.
?AC
⊥
AB, BD
⊥
AB, vậy để IO
⊥
AB thì phải thoả điều kiện gì ?
?Muốn chứng minhAB là tiếp tuyến của
(I) ta phải chứng minh điều gì ? (định lý
đảo)
Sơ đồ:
AB là tiếp tuyến của (I)
↑
AB
⊥

IO tại O
∈
(I)
↑



= OBOA
BDACOI ////
↑
OI là đường trung bình
của hình thang vuông ABDC
↑



=
=
OBOA
IDIC
(giả thiết)
*Có thể hướng dẫn học sinh chứng minh O
∈
AB và OI là bán kính của (I)
Ví dụ 8: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và
(O’)cắt nhau tại A và B. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ
qua B cắt (O) và (O’) lần lượt tại các điểm C và D. Lấy
điểm M trên cung nhỏ CB. Đường thẳng MB cắt (O’) tại N,
CM cắt DN tại P.
a) ΔAMN là tam giác gì? tại sao?

b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp.
c) Gọi Q là giao điểm của AP với (O’). Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao?
Hướng dẫn Lập sơ đồ chứng minh:
a) a) ΔAMN là tam giác gì? tại sao?
- HS dự đoán thông qua quan sát:
(ΔAMN cân tại A)
Chứng minh: ΔAMN cân tại A
(?1)
⇑
chứng minh:
a) ΔAMN là tam giác gì? tại
sao?
·
¼
1
AMB sdAmB
2
=
(Gócnộitiếp)(1)
·
¼
1
ANB sdAnB
2
=
(Gócnội tiếp) (2)
(O) bằng (O’) nên ta có:

·
·

AMB ANB=
(?2)
⇑
·
¼
1
AMB sdAmB
2
=
và
·
¼
1
ANB sdAnB
2
=
và
¼
¼
AmB AnB
=

⇑

⇑

⇑
(Góc nội tiếp) ( Góc nội tiếp) ( (O) bằng (O’))
(?1) Chứng minh ΔAMN cân bằng cách
nào?

(?2) Chứng minh như thế nào để có
·
·
AMB ANB=
?
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp
(?3) (?4)
⇑

·
·
0
ACP ADP 180+ =
⇑
·
·
·
·
0
ACP ADP ADN ADP 180+ = + =
(kề bù)
⇑
·
·
ACP ADN=
(Góc nội tiếp chắn hai cung bằng
nhau)
(?5)
⇑

¼
»
AM AN
=
(?6)
⇑
AM = AN
(?7)
⇑
ΔAMN cân tại A
(?3): Để chứng minh tứ giác ACPD nội
tiếp cần chứng minh điều gì ?
(?4) Góc ADP cộng với góc nào bằng
180
0
? ta cần chứng minh điều gì ?
(?5) Muốn chứng minh
·
·
ACP ADN
=
cần
chứng minh được điều gì ?
(?6) Muốn chứng minh
¼
»
AM AN
=
cần
chứng minh được điều gì ?

(?7) Chứng minh AM = AN bằng cách
¼
¼
AmB AnB
=
(3)
Từ (1), (2) và (3)
⇒
·
·
AMB ANB=
⇒ ΔAMNcân
tại A.
b) Chứng minh tứ giác
ACPD nội tiếp
ΔAMN cân tại A
⇒
AM = AN
⇒
¼
»
AM AN
=
⇒
·
·
ACP ADN=
( Góc
nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
⇒

·
·
·
·
0
ACP ADP ADN ADP 180
+ = + =

(kề bù)
⇒
·
·
0
ACP ADP 180+ =

⇒
tứ giác ACPD nội tiếp.
c. Tứ giác BCPQ là hình gì?
nào ?
c. Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao?
HS dự đoán ( BCPQ là hình thang )
Để chứng minh BCPQ là hình thang
(?8)
⇑
BQ // CP
(?9)
⇑
·
·
AQB APC

=
( ở vị trí đồng vị )
(?10)
⇑
·
·
AQB ADC
=
và
·
·
APC ADC=
(? 11)
⇑

⇑
( =
2
1
sđ
¼
AmB
) (=
2
1
sđ
»
AC
)
(?12)

⇑
(Tứ giác ACPD nội tiếp )
(?8) Để chứng minh tứ giác BCPQ là
hình thang cần chứng minh được điều
gì ?
(?9) Muốn chứng minh BQ // CP cần
chứng minh được điều gì ?
(?10) Sử dụng phương pháp nào để
chứng minh
·
·
AQB APC
=
?
(?11) Sử dụng phương pháp nào để
chứng minh
·
·
AQB ADC
=
?
(?12) Sử dụng phương pháp nào để
chứng minh
·
·
APC ADC
=
?
tại sao?
Tứ giác ACPD nội tiếp

⇒
·
·
APC ADC
=
(=
2
1
sđ
»
AC
) (4)
Mặt khác lại có:

·
·
AQB ADC
=
(=
2
1
sđ
¼
AmB
) (5)
Từ (4) và (5)
⇒
·
·
AQB APC

=
( ở vị trí đồng vị )
⇒
BQ // CP
⇒
Tứ giác BCPQ là hình
thang.
Sau khi giải xong Gv cho HS nhắc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh mục
đích:
* Củng cố kiến thức:
+ Trong hai đường tròn bằng nhau hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nhau.
+ Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
* Củng cố phương pháp:
+ PP chứng minh tam giác cân.
+ PP chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách sử dụng hai góc kề bù để chỉ ra tổng
hai góc đối bằng 180
0
.
+ PP chứng minh hai góc bằng nhau theo quan hệ bắc cầu.
+ PP chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách chỉ ra hai góc ở vị trí đồng
vị bằng nhau.
Ví dụ 9: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến xBx’ , gọi C, D là hai
điểm nằm trên đường tròn và ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB, Tia AC cắt Bx
tại M, tia AD cắt Bx’ tại N. (Hình 9)
a) Chứng minh: AC.AM=AD.AN
b) Chứng minh: tứ giác MNDC nội tiếp.
c) Chứng minh: Tích AC.AM không đổi khi C, D di động trên đường tròn.
Hướng dẫn Lập sơ đồ chứng minh:
Khai thác giả thiết:
-Ta có:

·
·
·
0
90ACB ADB ABM= = =
a) Chứng minh AC.AM=AD.AN
(?1)
⇑

AM
AD
AN
AC
=
(?2)
⇑
Δ ADC ~ Δ AMN
(?3)
⇑
Góc A chung và
·
·
ADC AMN=
(?4)
⇑
·
1
ADC
2
=

sđ
»
AC
và
·
»
»
¼
sd(AB CB) sdAC
AMN
2 2
−
= =
⇑
⇑
(Góc nội tiếp) (Góc có đỉnh bên ngoài đường
tròn)
Câu hỏi dẫn dắt
(?1) Để chứng minh AC.AM=AD.AN cần
chứng minh tỷ lệ thức nào ?
(?2) Để có
AM
AD
AN
AC
=
cần chứng minh điều
gì ?
Chứng minh
Học sinh căn cứ đường lối

trình bày lời giải
·
»
»
¼
sd(AB CB) sdAC
AMN
2 2
−
= =
(Góc
có đỉnh bên ngoài đường tròn) (1)
·
1
ADC
2
=
sđ
»
AC
(Góc nội tiếp)(2)
Từ (1) và (2)
⇒
·
·
ADC AMN=
Xét ADC và AMN có:
µ
·
·

Achung
ADC AMN(cmt)


⇒

=



ΔADC~ΔAMN
⇒
AM
AD
AN
AC
=
(?3) Để chứng minh Δ ADC ~ Δ AMN cần
chỉ ra các điều kiện nào ?
(?4) Quan sát hình vẽ cho biết cần sử dụng
kiến thức nào để chứng minh
·
·
ADC AMN=
?
b) Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp
(?5)
⇑

·

·
0
CMN CDN 180+ =
(?6)
⇑
·
·
·
·
0
CMN CDN ADC CDN 180+ = + =
(Kề
bù)
(?7)
⇑
·
·
CMN ADC=

⇑
·
·
ADC AMN=
Câu hỏi dẫn dắt
(?5) để chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp
ta sử dụng phương pháp nào ? và cần chỉ ra
điều gì ?
(?6) Vận dụng kiến thức nào để chứng
minh
·

·
0
CMN CDN 180+ =
(?7) Muốn có
·
·
·
·
0
CMN CDN ADC CDN 180+ = + =
cần chứng
minh được điều gì ?
Đối với học sinh yếu GV có thể đưa ra
bài tập điền khuyết bảng phụ
·
·
ADC AMN=
⇒
·
CMN =
⇒
·
·
0
CMN CDN 180 ( )
+ = + =
⇒
·
·
CMN CDN + =

⇒
…………………………
⇒
AC.AM=AD.AN.
c) Chỉ cần cho học sinh quan sát và dự đoán các yếu tố không đổi khi C, D di động
mối quan hệ giữa tích cần chứng minh và các yếu tố không đổi theo kiến thức nào đã
học .
GV cho học sinh đọc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh và từ đó củng cố
+ Phần a là dạng toán có quy trình riêng có thể vận dụng cho nhiều bài khi đi tìm
lời giải bài toán đó ?
+Củng cố, khắc sâu kiến thức về góc nội tiếp và góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.
+ Khắc sâu PP chứng minh tứ giác nội tiếp theo hướng sử dụng góc kề bù để chứng
minh tổng hai góc đối của tứ giác bằng 180
0
.
GV khuyến khích học sinh tìm cách giải khác.
5.2.2.3) Kẻ thêm đường phụ :
Khi giải một bài toán chứng minh hình học , trừ một số bài dễ còn lại phần lớn các
bài toán đều cần phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh dược . Vậy vẽ đường phụ
như thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì ? Đó là điều mà người học cần phải biết được
đối với mỗi bài toán cụ thể . Không thể có một phương pháp chung nào cho việc vẽ
đường phụ trong bài toán chứng minh hình học. Ngay đối với một bài toán cũng có
thể có những cách vẽ đường phụ khác nhau tuỳ thuộc vào cách giải bài toán.
* Những điểm cần lưu ý khi vẽ đường phụ :
-Vẽ đường phụ phải có mục đích , không vẽ tuỳ tiện . Phải nắm thật vững đề bài ,
định hướng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục vụ cho mục
đích chứng minh của mình.
-Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dựng hình cơ bản .
-Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác

nhau .
*Một số loại đường phụ thường vẽ như sau :
- Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng bằng
đoạn thẳng cho trước .
- Vẽ thêm một đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ một điểm cho
trước .
- Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước
- Nối 2 điểm cho trước hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trước .
- Dựng đường phân giác của một góc cho trước .
- Dựng một góc bằng một góc cho trước hay bằng nửa góc cho trước
-Vẽ tiếp tuyến với một đường tròn cho trước từ một điểm cho trước .
- Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đường nối tâm khi có hai đường tròn giao
nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau.
*các ví dụ minh họa
Ví dụ 10 (Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với
đường tròn cho trước)
Cho hình vẽ. BD và CE là đường cao của tam giác ABC, O là tâm
của đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh: AO
⊥
DE (Hình10)
Suy xét: Muốn có AO ⊥ DE, ta có thể dựng đường thẳng vuông góc với AO và
chứng minh đường thẳng này song song với DE. Do đó ta có thể dựng tiếp tuyến AF
của đường tròn tại A, khi đó ta có OA ⊥ AF, ta cần chứng minh DE // AF. Ta có tứ
giác BEDC nội tiếp nên
·
·
0
BED BCA 180+ =
mà
·

·
0
BED AEC 180+ =
, suy ra
·
·
BCA AED=
. Ta lại có
·
·
BCA BAF=
nên
·
·
BAF AED
=
, do đó AF // DE.
Giải:
-Dựng tiếp tuyến AF của đường tròn tại A.
⇒
.
·
·
0 0
BEC 90 ; BDC 90
= =
(gt)
⇒
Tứ giác BEDC nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh cùng nhìn cạnh còn lại dưới góc vuông)
⇒

·
·
0
BED BCA 180+ =
( Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Ta lại có
·
·
0
BEC AED 180+ =
( Hai góc kề bù)

⇒
.
·
·
BCA AED=
Mà
·
·
BCA BAF=
(Góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một
cung)
Suy ra
·
·
BAF AED
=
Do đó AF // DE (AB cắt AF và DE tạo ra cặp góc so le trong bằng nhau)

Suy ra AO ⊥ DE (Do AO ⊥ FA)
Ví dụ 11:( hai đường tròn giao nhau thì kẻ được dây cung chung.)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B.
Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn.
Chứng minh rằng ba điểm C, B D thẳng hàng. (Hình
11)
Suy xét: Để chứng minh C, B, D thẳng hàng, ta có thể từ B kẻ BA và chứng minh 2
góc tạo bởi BA và hai tia BC, BD kề bù. Vì
·
·
0
ABC ABD 90= =
(góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn) nên
·
·
0
ABC ABD 180 .+ =
Giải:
- Nối BA, BC, BD
-
·
·
0
ABC ABD 90= =
(. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
-
·
·
·

CBD ABC ABD= +
mà
·
·
0
ABC ABD 180 .+ =
⇒
·
0
CBD 180=
⇒
C, B, D thẳng hàng.
Ví dụ 12:( Hai đường tròn tiếp xúc nhau ta có thể dựng tiếp tuyến chung hoặc
đường nối tâm.)
Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại P, dây cung
AB của một đường tròn kéo dài tiếp xúc với đường
ròn kia tại C, kéo dài AP đến D. (Hình 12)
Chứng minh BPC = CPD.
Suy xét: Hai góc mà ta cần chứng minh không phải là
góc nội tiếp hoặc góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung,
chúng không có mối liên quan nên không thể dùng các
phương pháp chứng minh góc bằng nhau để chứng minh được. Ta có thể dựng tiếp
tuyến chung PE, ta được
$
µ
$
µ
1 2
P A, P C
= =

; cộng hai vế trái với nhau ta được tổng của
$ $
·
1 2
P và P là BPC
; cộng hai vế phải với nhau (
µ
µ
A và C
) ta được tổng của hai góc này là góc
ngoài
·
CPD
của tam giác ACP. Như vậy là đã giải quyết được vấn đề.
Chứng minh:
Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn qua P cắt AC tại E
Vì EP = EC (Hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.)
Nên
$
µ
2
P C
=
( Góc đáy của tam giác cân bằng nhau.)
Vì
$
µ
1
P A=
(Góc giữa tiếp tuyến và một dây qua tiếp điểm và góc nội tiếp cùng chắn một cung.)

⇒
Ta có:
·
µ
µ
BPC A C= +
Nhưng
·
µ
µ
CPD A C= +
(Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.)
Vậy
·
·
BPC CPD
=
Ví dụ 13:(Nếu có bốn điểm nằm trên một đường tròn thì qua bốn điểm đó có thể
dựng thêm đường tròn phụ.)
Cho tam giác ABC, các đường cao BH, CK.
Chứng minh rằng:
a)Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.
b)HK
<
BC. (hình 13)
Suy xét: Ở câu b), để chứng minh HK < BC, ta có thể vận dụng kết quả câu a): 4
điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn; nếu vẽ đường tròn đi qua 4 điểm B, C,
H, K, ta có HK là dây cung còn BC là đường kính nên suy ra được điều phải chứng
minh.

Chứng minh:
a) -Gọi I là trung điểm của BC
⇒
IB=IC (1)
- Ta có IH =
2
1
BC (Tam giác BHC vuông tại H.) (2)