SKKN Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm khi giải toán về căn bậc hai

Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm khi giải tốn về căn bậc hai
PHÁT HIỆN VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI
TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI.
I. Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện
ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán về “căn bậc hai – căn
bậc ba” còn yếu, kém trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn
bậc hai – căn bậc ba và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai – căn
bậc ba rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích… Việc giúp
học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một
công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời
cuộc rất cao, giúp các em có một sự am hiểu vững trắc về lượng kiến thức căn bậc
hai (đại diện cho căn bậc chẵn) căn bậc ba (đại diện cho căn bậc lẻ) tạo nền
móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này.
II. Phạm vi triển khai thực hiện.
- Trong trường THCS xã Hàng Vịnh
III. Mơ tả sáng kiến.
1. Kiến thức cơ bản:
- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : sốdương kí hiệu là
a
và số âm kí hiệu là -
a
.
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
0
= 0
.
- Căn bậc hai số học:

2
0x
x a
x a
≥

= ⇔

=

Trường THCS Hàng Vịnh Trang 1 GV : Phạm Hồng Út
Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm khi giải tốn về căn bậc hai
- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a
≥
0, có
( )
aa
=
2
; với a bất kỳ có
||
2
aa
=
)
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Đònh lý về
so sánh các căn bậc hai số học : “Với a
≥
0, b
≥

0, ta có : a < b
ba <⇔
”)
- Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi: đònh lý
“ Với a
≥
0, b
≥
0, ta có :
baab
=
” và đònh lý “ Với a
≥
0, b > 0, ta có:
b
a
b
a
=
”)
* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi
các công thức sau :
⇔ ≥ tồn tại A 0A
(với A là biểu thức đại số)
2
A
=
A
(với A là biểu thức đại số)
BAAB

=
(với A, B là hai biểu thức mà A
≥
0, B
≥
0)
B
A
B
A
=
(với A, B là hai biểu thức mà A
≥
0, B > 0)
BABA ||
2
=
(với A, B là hai biểu thức mà B
≥
0 )
AB
BB
A 1
=

(với A, B là hai biểu thức màA B
≥
0, B
≠
0)

B
BA
B
A
=
(với A, B là biểu thức và B > 0)
( )
2
C A B
C
A B
A B
±
=
−
±

(với A, B là hai biểu thức màA
≥
0, A
≠
B
2
)
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 2 GV : Phạm Hồng Út
Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm khi giải tốn về căn bậc hai
( )
C A B
C
A B

A B
±
=
−
±

(với A, B, C là các biểu thức mà A, B
≥
0, A
≠
B)
2. Sai lầm và biện pháp khắc phục khi giải toán về căn bậc hai.
a/ Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số
học của một số dương a.
VD: Giải bài tập 1 (sgk - 6)
Tìm căn bậc hai số học của 169 rồi suy ra căn bậc hai của chúng.
+ Cách giải sai:
Ta có:
169
= 13

⇒
số 169 có 2 căn bậc hai được viết là
169
= 13 và
169
= -13 (!)
+ Cách giải đúng:
Căn bậc hai số học của 169 là:
169

= 13, còn căn bậc hai của 169 là:
169
= 13; -
169
= - 13.
b/ Sai lầm khi HS không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai,
A
có nghóa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.
VD: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9 – trang 18).
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
A x x= +
+ Cách giải sai:
Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để
x
xác đònh mà vội vàng tìm
giá trò nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào
2
2
1 1
2 4
x x x
 
+ = + −
 ÷
 
mà biến đổi
2
1 1 1
2 4 4
 

= + = + − ≥ −
 ÷
 
A x x x
1
min
4
⇒ = −A

⇔
1
0
2
x + = ⇔
1
4
−
=x

Trường THCS Hàng Vịnh Trang 3 GV : Phạm Hồng Út
Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm khi giải tốn về căn bậc hai
Vậy
1
min
4
= −A

⇔

1

4
= −x
+ Cách giải đúng:
x
xác đònh khi
0x ≥
. Do đó:
0 min 0 0A x x A x= + ≥ ⇒ = ⇔ =
c/ Sai lầm khi HS chưa hiểu đúng về đònh nghóa giá trò tuyệt đối của một số.
VD: Rút gọn biểu thức sau: A =
2
2 5a a−
( Với a < 0 )
+ Cách giải sai;
A =
2
2 5a a−
=
2 5 2 5 3a a a a a− = − = −
( với a < 0 ) (!)
+ Cách giải đúng là:
A =
2
2 5a a−
=
2 5 2 5 7a a a a a− = − − = −
( với a < 0 )
d/ Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức:
2
A A=

- VD: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11)
Tìm x, biết:
2
9 12x = −
+ Cách giải sai:
2
9 12x = −

⇒

2
9 12x =
Vì
2 2
9 (3 ) 3x x x= =
nên ta có: 3x = 12
⇒
x = 4.
+ Cách giải đúng:
Vì
2 2
9 (3 ) 3x x x= =
nên ta có:
3 12x = −

⇒
3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4
e/ Sai lầm khi HS chưa nắm vững các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai
VD: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 )
Rút gọn biểu thức sau:

20 45 3 18 72− + +
+Cách giải sai:
20 45 3 18 72 4.5 9.5 3 2.9 36.2
2 5 3 5 9 2 6 2 5 15 2 14 7
− + + = − + +
= − + + = − + =
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 4 GV : Phạm Hồng Út
B'
A'
B
A
O
F'
F
Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm khi giải tốn về căn bậc hai
+ Cách giải đúng là:
20 45 3 18 72 4.5 9.5 3 2.9 36.2
2 5 3 5 9 2 6 2 15 2 5
− + + = − + +
= − + + = −
2.
f/ Lạm dụng đònh nghóa căn bậc hai số học của một số
0a ≥
khi giải các bài toán
về căn bậc ba :
- VD: Giải bài tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19)
Giải phương trình:
3
1 1x x− + =
(2)

+ Cách gải sai:
( )
( )
( )
( ) ( )
3 3
3
2
1 1 1 1
1
1 0
1 2 0
1 1
1
1
0( )
1 2 0 1
2
x x x x
x
x
x x x
x x
x
x
x loai
x x x x
x
− + = ⇔ − = −
≥

− ≥


 
⇔ ⇔
 
− − =
− = −




≥


≥

=

 
⇔ ⇔
 

− − = =







=


Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x
1
=1; x
2
=2. (!)
+ Cách giải đúng:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3
3 3
3
2
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 2 0 1 2 0
x x x x x x
x x x x x x x x
− + = ⇔ − = − ⇔ − = −
⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ − − =
0x⇔ =
hoặc x = 1 hoặc x = 2.
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 5 GV : Phạm Hồng Út
Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm khi giải tốn về căn bậc hai
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:
1 2 3
0; 1; 2x x x= = =

g/ Những sai lầm của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong
dấu căn, sử dụng đònh nghóa căn bậc hai số học để giải phương trình.
- VD: Bài tập
Rút gọn:
( )
2
2
3 5 4A x x x= + − −
( với
0x ≥
)
+Cách giải sai :
( )
2
2
3 5 4 3 5 2 4A x x x x x x x= + − − = − − = −

+ Cách giải đúng là : Với
0x ≥
. Ta có:
( )
2
2
3 5 4
3 5 2 3 5 2 6
A x x x
x x x x x x x
= + − −
= + − − = + − =
h/ Khi trục căn thức ở mẫu, khai phương một tích, khai phương một thương HS

thường mắc phải một số sai lầm:
VD1: Bài tập 32b ( SGK toán 9 - tập 1 – trang 19 )
Tính
1,44.1,21 1,44.0,4−
+ Cách giải sai:
1,44.1,21 1,44.0,4 1,44.1,21 1,44.0,4
1,2.1,1 1,2.0,2 1,32 0,24 1,08 (!)
− = − =
= − = − =

+ Cách giải đúng:
( )
1,44.1,21 1,44.0,4 1,44 1,21 0,4 1,44.0,81 1,2.0,9 1,08− = − = = =
IV. Kết quả, hiệu quả mang lại.
Từ khi áp dụng sáng kiến trên vào việc giảng dạy tơi thấy đạt được kết quả
rất khả quang, cụ thể điểm bài kiểm tra 45 phút chương I như sau :
Lớp Sỉ số
điểm 9 - 10 điểm trên 5 điểm dưới 5
SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ
9a1 39 3 7.7% 33 84.6% 3 7.8%
9a2 40 4 10.0% 31 77.5% 5 12.5%
Khối 9 79 7 8.9% 64 81.0% 8 10.1%
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 6 GV : Phạm Hồng Út
Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm khi giải tốn về căn bậc hai
Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải
trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số
học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy
và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên.
V Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng của sáng kiên.
Sáng kiến này đã được các đồng nghiệp áp dụng từ năm học 2009 đến nay và

đạt hiệu quả cao, chất lượng mơn tốn 9 cuối năm ln đạt từ 85% trở lên.
VI. KiÕn nghÞ vµ ®Ị xt
1. Giáo viên :
Thông qua các phương án và phương pháp trên thì giáo viên cần phải
nghiêm khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên
kòp thời khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc
biệt lôi cuốn được đại đa số các em khác hăng hái vào công việc.
2. Học sinh :
- Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu được bản chất
của vấn đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh mới
có thể tránh được những sai lầm khi giải toán.
- Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy
tính điện tử bỏ túi Caisiô f(x) 500; giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở
nhà thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản
thân
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 7 GV : Phạm Hồng Út
Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm khi giải toán về căn bậc hai
Ý kiến xác nhận của thủ trưởng đơn vị
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………
Hàng Vịnh, ngày 19 tháng 3 năm 2013
Người viết
Phạm Hồng Út
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 8 GV : Phạm Hồng Út